Équivalents, séries et interversions : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : équivalents, séries et interversions

Le sujet du contrôle : équivalents, séries et interversions

Exercice 1 – Équivalents et formule de Stirling (3 points)

Pour tout entier \(n \geq 1\), on pose

\[a_n = \ln\left(1 + \frac{2}{n}\right) – \sin\left(\frac{2}{n}\right), \qquad b_n = (2n+1)^{1/n} – 1, \qquad c_n = \frac{(3n)!}{27^n\,(n!)^3}.\]

La formule de Stirling est admise sous la forme \(n! = n^n\,\mathrm{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}\,\left(1 + o(1)\right)\) quand \(n\) tend vers l’infini.

1. Montrer que \(a_n \sim -\frac{2}{n^2}\). (0,75 point)
2. Déterminer ensuite un équivalent simple de \(b_n\), en justifiant chaque étape. (0,75 point)
3. Établir que \(c_n \sim \frac{\sqrt{3}}{2\pi n}\). (1 point)
4. En déduire la nature des séries \(\sum a_n\), \(\sum b_n\) et \(\sum c_n\). (0,5 point)

Exercice 2 – Une suite définie implicitement (3,5 points)

On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x^5 + x\). La figure montre sa courbe et les droites horizontales d’équations \(y = 2\), \(y = 10\) et \(y = 34\).

1. Montrer que, pour tout entier \(n \geq 1\), l’équation \(g(x) = n\) admet une unique solution réelle, notée \(x_n\). Vérifier alors que \(x_2 = 1\) et \(x_{34} = 2\). (0,5 point)
2. Prouver que la suite \((x_n)\) est strictement croissante, positive, puis que \(x_n \leq n^{1/5}\) et que \(x_n \to +\infty\). (0,75 point)
3. Démontrer que \(x_n \sim n^{1/5}\). (0,75 point)
4. Établir le développement asymptotique \(x_n = n^{1/5} – \frac{1}{5}\,n^{-3/5} + o\left(n^{-3/5}\right)\). (1 point)
5. Les écarts \(x_n – n^{1/5}\) forment-ils une série convergente ? Justifier. (0,5 point)

Exercice 3 – Reste d’une série et intégrale (3,5 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \([1, +\infty[\) par \(f(t) = \frac{\ln t}{t^2}\). Sur la figure, les rectangles orange ont pour base \([k-1, k]\) et les verts pour base \([k, k+1]\) ; tous ont pour hauteur \(f(k)\).

1. Étudier les variations de \(f\) et vérifier qu’elle décroît sur \([2, +\infty[\). Montrer ensuite que la série \(\sum_{k \geq 1} f(k)\) converge. (1 point)
2. Pour \(n \geq 1\), calculer \(\int_n^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\), en justifiant son existence par une primitive. (0,5 point)
3. Le reste d’ordre \(n\) est noté \(R_n = \sum_{j > n} f(j)\). Prouver que, pour tout \(n \geq 2\),

   \[\frac{\ln(n+1) + 1}{n+1} \leq R_n \leq \frac{\ln n + 1}{n},\]

   puis en déduire que \(R_n \sim \frac{\ln n}{n}\). (1,25 point)

4. Déterminer enfin la nature des séries \(\sum R_n\), \(\sum (-1)^n R_n\) et \(\sum R_n^2\). (0,75 point)

Exercice 4 – Trois sommes doubles (4 points)

Dans chaque question, la justification de l’interversion ou du regroupement compte pour la moitié des points.

1. Prouver que \(\left(\frac{1}{(p+q)!}\right)_{p \geq 0,\, q \geq 0}\) est une famille sommable, de somme égale à \(2\mathrm{e}\). On pourra regrouper les couples selon la valeur de \(p + q\). (1,5 point)
2. Pour \(n \geq 1\), on pose \(r_n = \sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2\,2^k}\). On admet que \(\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k\,2^k} = \ln 2\). Prouver alors que \(\sum_{n=1}^{+\infty} r_n = \ln 2\). (1,5 point)
3. Pour \(p \geq 0\) et \(q \geq 0\) entiers, on fixe \(a_{p,p} = 1\), \(a_{p,p+1} = -1\) et \(a_{p,q} = 0\) dans tous les autres cas. Le tableau ci-dessous en donne les premières valeurs, la ligne \(p\) et la colonne \(q\).
   

   

   Évaluer la somme des lignes \(\sum_{p=0}^{+\infty} \left(\sum_{q=0}^{+\infty} a_{p,q}\right)\), puis celle des colonnes \(\sum_{q=0}^{+\infty} \left(\sum_{p=0}^{+\infty} a_{p,q}\right)\). Ces deux valeurs diffèrent : dire alors quelle hypothèse du théorème de Fubini fait défaut ici. (1 point)

Exercice 5 – Problème : les restes de la fonction zêta (6 points)

Dans tout le problème, \(\zeta(k)\) désigne, pour un entier \(k \geq 2\), la somme \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^k}\), qui existe d’après le critère de Riemann. De plus, la valeur \(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\) est admise. Sur la figure, en échelle logarithmique, les nombres \(\zeta(k) – 1\) et \(2^{-k}\) sont comparés pour \(k\) allant de 2 à 12.

Partie A : un équivalent

1. Fixons un entier \(k \geq 2\). En comparant une somme à une intégrale, établir l’encadrement \(0 \leq \zeta(k) – 1 – 2^{-k} \leq \frac{2^{1-k}}{k-1}\). (1 point)
2. Déduire de cet encadrement que \(\zeta(k) – 1 \sim 2^{-k}\) lorsque \(k \to +\infty\), puis que \(\sum_{k \geq 2} \left(\zeta(k) – 1\right)\) converge. (0,5 point)

Deux sommes par interversion (partie B)

3. En sommant la famille \(\left(n^{-k}\right)_{n \geq 2,\, k \geq 2}\) de deux façons, démontrer que \(\sum_{k=2}^{+\infty} \left(\zeta(k) – 1\right) = 1\). (1 point)
4. Expliquer pourquoi la famille \(\left((-1)^k n^{-k}\right)_{n \geq 2,\, k \geq 2}\) est sommable, puis calculer ainsi \(\sum_{k=2}^{+\infty} (-1)^k \left(\zeta(k) – 1\right)\). (1 point)

Un produit de Cauchy (partie C)

5. Dans cette question, \(x\) est un réel tel que \(|x| < 1\). Multiplier au sens de Cauchy la série géométrique \(\sum_{k \geq 0} x^k\) avec elle-même, puis en tirer l’égalité \(\sum_{k=0}^{+\infty} (k+1)\,x^k = \frac{1}{(1-x)^2}\). (1 point)
6. Montrer alors que \(\sum_{k=2}^{+\infty} k\,x^k = \frac{x}{(1-x)^2} – x\). (0,5 point)
7. Prouver enfin que \(\sum_{k=2}^{+\infty} k\left(\zeta(k) – 1\right) = 1 + \frac{\pi^2}{6}\). (1 point)

Réviser équivalents, séries et interversions avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours équivalents, petits o et grands o puis critères de convergence des séries numériques puis sommation par paquets et familles sommables ; entraînez-vous sur les exercices équivalents, petits o et grands o et critères de convergence des séries numériques et sommation par paquets et familles sommables avant de retenter le sujet.

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