Sommabilité et produit de Cauchy en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une famille indexée par Z

1. Calculer la somme de la famille \(\left((2/5)^{|n|}\right)_{n\in\mathbb{Z}}\) à l’aide d’un regroupement par paquets.
2. Ensuite, montrer que la famille \(\left(\frac{1}{1+n^2}\right)_{n\in\mathbb{Z}}\) est sommable.
3. Enfin, établir que la famille \(\left(n\,(2/5)^{|n|}\right)_{n\in\mathbb{Z}}\) est sommable et que sa somme est nulle.

Exercice 2 – Somme double de termes géométriques

1. Calculer \(\displaystyle\sum_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}\frac{1}{2^p\,5^q}\) en justifiant le calcul.
2. Ensuite, prouver que la famille \(\left(\frac{(-1)^p}{2^p\,5^q}\right)_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}\) est sommable, puis calculer sa somme.

Exercice 3 – Sommes de familles positives

Déterminer, dans \([0,+\infty]\), la somme de chacune des familles suivantes.

1. D’abord, la famille \(\left(\frac{1}{n(n+2)}\right)_{n\geqslant 1}\).
2. Ensuite, la famille \(\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)_{n\geqslant 1}\).
3. De même, la famille double \(\left(\frac{1}{p!\,q!}\right)_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}\).
4. Enfin, la famille \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par \(u_0=+\infty\) et \(u_n=0\) pour \(n\geqslant 1\). Que donne le produit de cette somme par \(0\) ?

Exercice 4 – Une somme pondérée par Fubini positif

1. Écrire \(\dfrac{k}{4^k}=\displaystyle\sum_{j=1}^{k}\frac{1}{4^k}\) et en déduire une famille positive indexée par un domaine triangulaire de \(\mathbb{N}^{*2}\).
2. Ensuite, en intervertissant les sommes, calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k}{4^k}\).

Exercice 5 – Carré de Cauchy d’une série géométrique

1. Former le produit de Cauchy de \(\sum_{n\geqslant 0}3^{-n}\) avec elle-même.
2. En déduire la valeur de \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+1}{3^n}\), en justifiant l’emploi du théorème.

Exercice 6 – Suites sommables ou non

Pour chacune des suites suivantes, indexées par \(\mathbb{N}\), dire si elle est sommable et, le cas échéant, calculer sa somme.

1. D’abord, la suite \(\left(\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}\right)\), sans chercher la valeur de la somme.
2. Ensuite, la suite \(\left(\frac{(-1)^n}{n+1}\right)\).
3. Enfin, la suite \(\left((i/2)^n\right)\), dont on donnera la somme sous forme algébrique.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Sommabilité de quatre familles doubles

Les familles suivantes sont indexées par \(\mathbb{N}^{*2}\). Étudier leur sommabilité.

1. D’abord, la famille \(\left(\frac{1}{p^2q^2}\right)\).
2. Ensuite, la famille \(\left(\frac{1}{(p+q)^2}\right)\), en regroupant selon \(n=p+q\).
3. De même, la famille \(\left(\frac{1}{(p+q)^3}\right)\).
4. Enfin, la famille \(\left(\frac{1}{p^2+q^2}\right)\), par comparaison avec la deuxième.

La figure ci-dessous rappelle le découpage en diagonales de \(\mathbb{N}^{*2}\).

Exercice 8 – Paquets pairs et impairs

On admet que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\).

1. Calculer \(\displaystyle\sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{(2k)^2}\), puis \(\displaystyle\sum_{k\geqslant 0}\frac{1}{(2k+1)^2}\).
2. De même, déterminer la somme de la famille \(\left(\frac{1}{n^2}\right)_{n\in\mathbb{Z}^*}\).
3. Enfin, justifier que la famille \(\left(\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\right)_{n\geqslant 1}\) est sommable, puis calculer sa somme.

Exercice 9 – Deux calculs d’une même somme double

Soit \(z\) un complexe tel que \(|z|<1\).

1. Montrer que la famille \(\left(z^{p+q}\right)_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}\) est sommable.
2. Ensuite, calculer sa somme en sommant par lignes.
3. Enfin, évaluer cette même somme en regroupant selon \(n=p+q\). En déduire \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)z^n\), puis \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}nz^n\).

Exercice 10 – Une somme de valeurs de zêta

Pour \(s>1\), on note \(\zeta(s)=\sum_{k=1}^{+\infty}k^{-s}\).

1. Montrer que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\big(\zeta(2n)-1\big)=\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k^{2n}}\).
2. Ensuite, justifier l’interversion des deux sommes, puis calculer \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\big(\zeta(2n)-1\big)\).

Exercice 11 – Une somme double alternée

On considère la famille \(u_{n,k}=\dfrac{(-1)^k}{k^{2n}}\), pour \(n\geqslant 1\) et \(k\geqslant 2\). On admet que \(\sum_{j\geqslant 1}\frac{(-1)^{j+1}}{j}=\ln 2\).

1. À l’aide de l’exercice précédent, montrer que la famille \((u_{n,k})\) est sommable.
2. Ensuite, calculer \(\displaystyle\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k^2-1}\) en utilisant une décomposition en éléments simples.
3. En déduire la valeur de \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k^{2n}}\).

Exercice 12 – Produit de Cauchy et exponentielle

On rappelle que la série \(\sum\frac{z^n}{n!}\) converge absolument pour tout \(z\in\mathbb{C}\), et l’on note \(e^z\) sa somme.

1. Expliciter le terme \(c_n\) obtenu en multipliant au sens de Cauchy les séries \(\sum\frac{z^n}{n!}\) et \(\sum\frac{(-z)^n}{n!}\).
2. En déduire que \(e^z\,e^{-z}=1\), puis que \(e^z\neq 0\).
3. Plus généralement, établir que \(e^z\,e^w=e^{z+w}\) pour tous complexes \(z\) et \(w\).

Exercice 13 – Coefficients triangulaires par produit de Cauchy

Soit \(x\) un réel tel que \(|x|<1\). On admet que \(\sum_{n\geqslant 0}(n+1)x^n=\frac{1}{(1-x)^2}\), avec convergence absolue.

1. Effectuer le produit de Cauchy de cette série par \(\sum x^n\).
2. En déduire que \(\dfrac{1}{(1-x)^3}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\,x^n\).
3. Enfin, calculer \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2^{n+1}}\).

Exercice 14 – Somme sur les couples ordonnés

On admet que \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\) et \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}\). On pose \(S=\displaystyle\sum_{1\leqslant p<q}\frac{1}{p^2q^2}\).

1. Justifier l’existence de \(S\) dans \(\mathbb{R}\).
2. En découpant \(\mathbb{N}^{*2}\) en trois paquets, montrer que \(\left(\frac{\pi^2}{6}\right)^2=\frac{\pi^4}{90}+2S\).
3. En déduire la valeur de \(S\).

Exercice 15 – Paquets selon la somme des indices

1. Calculer \(\displaystyle\sum_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}\frac{1}{(p+q+1)!}\).
2. De même, calculer \(\displaystyle\sum_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}\frac{1}{(p+q+2)!}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Sommes itérées différentes sans sommabilité

Pour \((p,q)\in\mathbb{N}^2\), on pose \(a_{p,q}=2^{p-q}\) si \(q>p\), \(a_{p,p}=-1\), et \(a_{p,q}=0\) si \(q<p\).

1. Calculer, pour chaque \(p\), la somme \(\sum_{q\geqslant 0}a_{p,q}\), puis \(\sum_p\sum_q a_{p,q}\).
2. Ensuite, calculer, pour chaque \(q\), la somme \(\sum_{p\geqslant 0}a_{p,q}\), puis \(\sum_q\sum_p a_{p,q}\).
3. Enfin, montrer que la famille \((a_{p,q})\) n’est pas sommable et expliquer pourquoi le résultat ne contredit pas le théorème de Fubini.

Exercice 17 – Série de Lambert et nombre de diviseurs

Pour \(n\geqslant 1\), on note \(d(n)\) le nombre de diviseurs positifs de \(n\). Soit \(x\in[0,1[\).

1. Montrer que \(d(n)\leqslant n\), puis que la série \(\sum d(n)x^n\) converge.
2. En considérant la famille \(\left(x^{km}\right)_{(k,m)\in\mathbb{N}^{*2}}\), établir que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}d(n)x^n=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^k}{1-x^k}\).
3. Ensuite, étendre cette égalité à tout complexe \(z\) tel que \(|z|<1\).
4. En déduire que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{2^k-1}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{d(n)}{2^n}\).

Les couples \((k,m)\) tels que \(km=n\) se lisent sur des hyperboles, comme le montre la figure.

Exercice 18 – Un produit de Cauchy qui diverge

Pour \(n\in\mathbb{N}\), on pose \(a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\).

1. Établir la convergence de \(\sum a_n\) ainsi que la divergence de \(\sum|a_n|\).
2. On note \(c_n=\sum_{k=0}^{n}a_ka_{n-k}\). Montrer que \((k+1)(n-k+1)\leqslant\left(\frac{n+2}{2}\right)^2\) pour \(0\leqslant k\leqslant n\).
3. En déduire que \(|c_n|\geqslant\dfrac{2(n+1)}{n+2}\), puis que la série \(\sum c_n\) diverge.
4. Par conséquent, laquelle des hypothèses du théorème n’est pas satisfaite ici ?

Exercice 19 – Problème : nombres harmoniques et sommes doubles

Pour \(n\geqslant 1\), on note \(H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\). On admet que \(\sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\). Soit \(x\in[0,1[\).

1. En intégrant sur \([0,x]\) l’égalité \(\dfrac{1}{1-t}=\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}t^k+\frac{t^N}{1-t}\), montrer que \(-\ln(1-x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}\).
2. À l’aide d’un produit de Cauchy, montrer que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}H_nx^n=\frac{-\ln(1-x)}{1-x}\).
3. En déduire la valeur de \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{H_n}{2^n}\).
4. Par ailleurs, retrouver le résultat de la question 2 par le théorème de Fubini positif, en écrivant \(H_nx^n=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^n}{k}\).
5. Par la même méthode, montrer que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{H_n}{n(n+1)}=\frac{\pi^2}{6}\).

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