Quiz sommes doubles et regroupements en MPSI

Quiz sommes doubles et regroupements en maths sup (MPSI)

Dix questions rapides pour savoir quand tu as le droit de regrouper, d'intervertir ou de multiplier des sommes infinies, et pour calculer quelques sommes doubles de tête.

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

Ce quiz express passe en revue les automatismes des familles sommables : le calcul dans l'intervalle étendu, la sommation par paquets pour des termes positifs puis complexes, l'interversion de sommes par le théorème de Fubini et le produit de Cauchy, qui multiplie terme à terme deux séries dont les modules ont une somme finie. Chaque question vise un réflexe précis : repérer l'hypothèse de sommabilité, écrire un coefficient, reconnaître une somme double qui se factorise.

Fais-le avant une colle ou au début d'une séance de TD, sans calculatrice. Pour chaque erreur, reviens à la règle d'or : on vérifie d'abord que la famille des modules a une somme finie, et seulement ensuite on regroupe ou on permute. À l'approche d'un partiel, recommence jusqu'à répondre juste aux dix questions, puis entraîne-toi à rédiger la justification complète d'une interversion sur un exemple de ton choix.

Aller plus loin sur sommes doubles et regroupements

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Questions fréquentes : sommes doubles et regroupements en MPSI

Pourquoi peut-on tout intervertir quand les termes sont positifs ?

Pour une famille de réels positifs, la somme est définie dans l'intervalle étendu et ne dépend ni de l'ordre ni du découpage en paquets. Le résultat peut valoir plus l'infini, mais l'égalité entre les différentes façons de sommer reste vraie.

Quelle est la différence entre série absolument convergente et famille sommable ?

Pour une famille indexée par les entiers naturels, les deux notions coïncident. La sommabilité a l'avantage de s'appliquer à des ensembles d'indices quelconques, comme des couples d'entiers, sans choisir d'ordre.

Multiplier à la Cauchy deux séries simplement convergentes donne-t-il une série convergente ?

Pas forcément. On demande en général la convergence absolue des deux facteurs pour garantir que la série obtenue converge vers le produit des sommes. Avec une simple convergence, il existe des contre-exemples où le produit diverge.

Quiz sommes doubles et regroupements en maths sup (MPSI)

Que vaut \(\sum_{(p,q)\in\mathbb{N}^2} \frac{1}{2^p\,3^q}\) ?

Par Fubini positif, \(\sum_{k\geqslant 0} (k+1)\,2^{-k}\) vaut :

Avant de sommer par paquets une famille de complexes, il faut :

Une suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de complexes est sommable si et seulement si :

Dans \([0,+\infty]\), la convention du cours donne \(0 \times (+\infty) =\)

Terme \(c_2\) du produit de Cauchy de \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) :

On multiplie à la Cauchy \(\sum \frac{2^n}{n!}\) avec \(\sum \frac{3^n}{n!}\). Somme obtenue ?

En élevant \(\sum_{n} x^n\) au carré terme à terme (Cauchy), le coefficient de \(x^n\) est :

Que vaut la somme double \(\sum_{p,q\geqslant 0} \frac{1}{p!\,q!}\) ?

Si \(\sum u_n\) converge sans converger absolument, permuter ses termes peut :

Ce que ce quiz de maths sup fait réviser

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