Matrices semblables et trace : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : matrices semblables et trace

Le sujet du contrôle : matrices semblables et trace

Exercice 1 – Un endomorphisme lu dans une base adaptée (4 points)

On note \(\mathcal{B}\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) et \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans \(\mathcal{B}\) est

\[A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.\]

On considère aussi les vecteurs \(f_1 = (1, 0, 1)\), \(f_2 = (1, 1, 1)\) et \(f_3 = (1, 1, 2)\), représentés sur la figure. Celle-ci n’est pas à l’échelle.

1. Montrer que la famille \(\mathcal{F} = (f_1, f_2, f_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). On note \(P\) la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{F}\). (0,75 point)
2. Calculer \(u(f_1)\), \(u(f_2)\) et \(u(f_3)\), puis en déduire la matrice \(T\) de \(u\) dans la base \(\mathcal{F}\). (1,25 point)
3. Sans nouveau calcul sur \(A\), donner le rang et la trace de \(A\). Préciser ensuite une base de \(\mathrm{Ker}\,u\). (1 point)
4. On admet que \(P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Calculer \(T^n\) pour \(n \geq 1\), puis en déduire \(A^n\). (1 point)

Exercice 2 – Un rang qui dépend de a (4 points)

Soit \(a\) un réel. On définit la matrice à trois lignes et quatre colonnes

\[M(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & a & 3 & 2 \\ 2 & a + 1 & a + 3 & 3 \end{pmatrix}.\]

On identifie \(M(a)\) à l’application linéaire de \(\mathbb{R}^4\) dans \(\mathbb{R}^3\) qu’elle représente dans les bases canoniques.

1. Par des opérations élémentaires sur les lignes, déterminer le rang de \(M(a)\) selon la valeur de \(a\). (1,5 point)
2. Dans le cas \(a = 2\), donner une base du noyau de \(M(2)\), puis vérifier sa dimension grâce au théorème du rang. (1,5 point)
3. Soit \(C(a)\) la matrice carrée extraite de \(M(a)\) formée de ses trois premières colonnes. Pour quelles valeurs de \(a\) est-elle inversible ? Lorsque \(a = 1\), exhiber une autre matrice carrée extraite de taille 3 qui est inversible, et commenter. (1 point)

Exercice 3 – Vrai ou faux sur la similitude (4 points)

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis le justifier : une preuve si elle est vraie, un contre-exemple ou un argument d’invariant si elle est fausse. La figure illustre l’affirmation b, où \(e_1 = (1, 0)\), \(e_2 = (0, 1)\) et \(w = (1, 1)\).

1. a) Toute matrice carrée réelle d’ordre 3 semblable à \(2I_3\) est égale à \(2I_3\). (1 point)
2. b) La matrice \(G = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) est semblable à \(\Delta = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\). (1 point)
3. c) Deux matrices carrées réelles d’ordre 2 partageant leur trace et leur rang sont toujours semblables. (1 point)
4. d) Pour un entier \(n \geq 1\), on peut trouver deux matrices carrées réelles \(U\) et \(V\) d’ordre \(n\) vérifiant \(UV – VU = I_n\). (1 point)

Exercice 4 – Trace et rang d’un projecteur (3 points)

Dans tout l’exercice, \(E\) désigne un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel dont la dimension \(n \geq 1\) est finie.

1. On considère un projecteur \(p\) de \(E\), de rang \(r\). En utilisant une base adaptée à la décomposition \(E = \mathrm{Im}\,p \oplus \mathrm{Ker}\,p\), démontrer que \(\mathrm{tr}\,p = \mathrm{rg}\,p\). (1,5 point)
2. On pose \(Q = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\). Vérifier que \(Q^2 = Q\), puis en déduire le rang de \(Q\) sans échelonner. (1 point)
3. Montrer enfin qu’un projecteur de trace nulle est l’endomorphisme nul. (0,5 point)

Exercice 5 – Problème : translation dans R2[X] (5 points)

On note \(E = \mathbb{R}_2[X]\), muni de sa base canonique \(\mathcal{C} = (1, X, X^2)\), et \(u\) l’application qui à \(P\) associe le polynôme \(u(P) = P(X + 1)\). Nous admettons que \(u\) est un endomorphisme de \(E\). Le polynôme suivant jouera aussi un rôle central :

\[H_2 = \frac{X(X – 1)}{2}.\]

La figure montre les courbes de \(H_2\) et de \(u(H_2)\) : la seconde se déduit de la première par une translation de \(-1\) parallèlement à l’axe des abscisses.

1. Écrire la matrice \(A\) de \(u\) dans la base \(\mathcal{C}\). (0,5 point)
2. Montrer que \(\mathcal{H} = (1, X, H_2)\) est une base de \(E\). Écrire ensuite la matrice de passage \(P\) de \(\mathcal{C}\) à \(\mathcal{H}\), puis calculer \(P^{-1}\) en exprimant \(1\), \(X\) et \(X^2\) dans la base \(\mathcal{H}\). (1 point)
3. Déterminer la matrice \(T\) de \(u\) dans la base \(\mathcal{H}\), puis vérifier l’égalité \(AP = PT\). (1 point)
4. On pose \(R = T – I_3\). Calculer \(R^2\) et \(R^3\), puis en déduire \(T^n\) pour tout entier \(n \geq 0\). Exprimer alors \(u^n(H_2)\) dans la base \(\mathcal{H}\) et contrôler le résultat en développant \(H_2(X + n)\). (1,5 point)
5. Démontrer que \(A\) n’est pas semblable à \(I_3\), puis prouver l’impossibilité de trouver \(v \in \mathcal{L}(E)\) vérifiant \(u \circ v – v \circ u = \mathrm{id}_E\). (1 point)

Réviser matrices semblables et trace avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours matrice d’une application linéaire, rang et trace ; entraînez-vous sur les exercices matrice d’une application linéaire, rang et trace avant de retenter le sujet.

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