QCM : Équivalents et négligeabilité en maths sup (MPSI)

Réponse C.

Par définition, \(u_n=o(v_n)\) signifie que \(u_n/v_n\) tend vers 0, pour \(v_n\) non nul. Ici \(n^2/n^3=1/n\) tend vers 0. À l’inverse, \(n^3/n^2=n\) diverge. Le piège \(o(2n^2)\) confond négligeabilité et inégalité : le quotient vaut \(1/2\), qui ne tend pas vers 0. Enfin, \(n^2/n=n\) n’est pas borné, donc \(n^2\) n’est pas dominé par \(n\).

Réponse D.

Écrire \(u_n=O(1)\) signifie que la suite est bornée, ce qui est le cas puisque \(|\sin n|\le1\). En revanche, \(o(1)\) signifierait que \(\sin n\) tend vers 0, et \(\sin n\sim1\) qu’elle tend vers 1 ; or elle n’a pas de limite. De même, \(O(1/n)\) imposerait \(|n\sin n|\) borné, ce qui est faux car \(\sin n\) ne tend pas vers 0.

Réponse B.

Le quotient \(u_n/v_n\) tend vers 1, donc il devient strictement positif : les deux suites ont alors le même signe. En revanche, avec \(u_n=n+\sqrt n\) et \(v_n=n\), la différence tend vers \(+\infty\). Ce même exemple donne \(e^{u_n}/e^{v_n}=e^{\sqrt n}\), qui diverge. Enfin, l’équivalence ne dit rien de l’ordre des termes, comme le montrent \(n+1\) et \(n-1\).

Réponse C.

Toute puissance de \(\ln n\) est négligeable devant toute puissance strictement positive de \(n\), même très petite. La relation sur \((\ln n)^{100}\) est donc vraie, bien qu’elle ne se voie qu’à partir de rangs énormes. En revanche, une exponentielle l’emporte sur toute puissance, et la factorielle l’emporte sur toute exponentielle. Enfin, \(e^{\sqrt n}\) croît plus vite que \(n^5=e^{5\ln n}\), car \(\sqrt n\) domine \(\ln n\).

Réponse A.

Le numérateur est équivalent à \(n^3\) et le dénominateur à \(\sqrt n\). Or le quotient d’équivalents est autorisé, donc l’expression est équivalente à \(n^3/\sqrt n=n^{5/2}\). La réponse \(n^3/3\) garde à tort la constante 3 du dénominateur, alors que c’est \(\sqrt n\) qui domine. Par ailleurs, \(n^3\) oublie complètement le dénominateur, tandis que \(n^2\) divise par \(n\) au lieu de \(\sqrt n\).

Réponse B.

On ne somme pas des équivalents. En effet, \(u_n\sim n^2+n\) signifie seulement \(u_n\sim n^2\) : le terme \(n\) est perdu. Ainsi, \(u_n=n^2\) et \(v_n=-n^2\) donnent une somme nulle, alors que \(u_n=n^2+n^{3/2}\) donne \(n^{3/2}\). Le piège « \(\sim n\) » additionne les équivalents. De plus, écrire \(\sim0\) n’a pas de sens pour une suite non nulle.

Réponse D.

On écrit \(\ln(n^2+n)=2\ln n+\ln\left(1+\frac1n\right)\), et le second terme tend vers 0, donc l’équivalence est juste. Cependant, on ne compose pas un équivalent par l’exponentielle : \(e^{n+1}/e^n=e\) ne tend pas vers 1. De même, le quotient \(e^{n}\) diverge pour la version avec \(n^2\). Enfin, \((1+1/n)^n\) tend vers \(e\) : remplacer la base par 1 avant d’élever à la puissance \(n\) est fautif.

Réponse D.

On multiplie par la quantité conjuguée : \(\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\). Comme le dénominateur est équivalent à \(2\sqrt n\), on obtient \(\frac{1}{2\sqrt n}\). Le piège classique consiste à soustraire les équivalents \(\sqrt n\) et \(\sqrt n\), ce qui donne 0, or une suite non nulle n’est jamais équivalente à 0. En outre, \(1/\sqrt n\) oublie le facteur 2 du dénominateur.

Réponse C.

Par définition de la partie entière, \(n\sqrt2-1<\lfloor n\sqrt2\rfloor\le n\sqrt2\). En divisant par \(n\sqrt2\), on encadre le quotient entre deux suites qui tendent vers 1. Par conséquent, le théorème d’encadrement donne l’équivalent \(n\sqrt2\). La réponse \(n\) oublie le facteur constant, alors qu’un équivalent le conserve. Quant à \(\sqrt{2n}\), il place à tort \(n\) sous la racine.

Réponse B.

Stirling donne \(n!\sim\sqrt{2\pi n}\,n^ne^{-n}\). Comme le quotient d’équivalents est permis, \(\dfrac{n^n}{n!}\sim\dfrac{n^n}{\sqrt{2\pi n}\,n^ne^{-n}}=\dfrac{e^n}{\sqrt{2\pi n}}\). La réponse \(e^n\) oublie le facteur \(\sqrt{2\pi n}\), qui ne tend pas vers 1. Par ailleurs, placer ce facteur au numérateur revient à ne pas l’inverser. Enfin, \(e^{-n}\) oublie que l’on divise par \(e^{-n}\).

Réponse A.

On prend le logarithme de Stirling : \(\ln(n!)=\ln\sqrt{2\pi n}+n\ln n-n+o(1)\), car \(\ln(a_n)-\ln(b_n)\) tend vers 0 lorsque \(a_n\sim b_n\). Or \(\ln\sqrt{2\pi n}=\frac12\ln(2\pi)+\frac12\ln n\). Ainsi \(c=\frac12\ln(2\pi)\). La réponse \(\ln(2\pi)\) oublie la racine carrée. Par ailleurs, \(\frac12\ln\pi\) perd le facteur 2, tandis que 0 néglige toute la constante de Stirling.

Réponse A.

Comme \(x_n>0\), on a \(nx_n<1\), donc \(x_n\) tend vers 0. Ensuite, \(x_n=\dfrac{1-x_n^3}{n}\) donne \(x_n\sim\frac1n\). En reportant, \(x_n^3=\frac{1}{n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)\), d’où \(x_n=\frac1n-\frac{1}{n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\). Le terme en \(1/n^3\) oublie la division par \(n\). De plus, le signe plus néglige que \(x_n^3\) est retranché.