Équivalents et négligeabilité en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

On dit que \(f\) est dominée par \(g\) au voisinage de \(a\), et on note \(f = O(g)\), si le quotient \(f/g\) est borné au voisinage de \(a\).

On dit que \(f\) est négligeable devant \(g\) au voisinage de \(a\), et on note \(f = o(g)\), si \(f/g\) tend vers \(0\) en \(a\).

L’écriture \(f = o(g)\) n’est pas une égalité. Elle signifie « \(f\) appartient à l’ensemble des fonctions négligeables devant \(g\) ». On la lit donc de gauche à droite seulement. Par exemple, \(x = o(x^2)\) et \(x^{3/2} = o(x^2)\) en \(+\infty\), mais on n’en déduit surtout pas \(x = x^{3/2}\).

Enfin, \(f = o(1)\) signifie que \(f\) tend vers \(0\) en \(a\), et \(f = O(1)\) que \(f\) est bornée au voisinage de \(a\).

Soit \(\alpha, \beta, \gamma\) des réels strictement positifs.

• En \(+\infty\) : \((\ln x)^\alpha = o(x^\beta)\) et \(x^\beta = o(e^{\gamma x})\).
• En \(0^+\) : \(|\ln x|^\alpha = o(x^{-\beta})\).
• Pour les suites : \(n^\beta = o(q^n)\) pour tout \(q > 1\), \(q^n = o(n!)\) pour tout réel \(q\), et \(n! = o(n^n)\).

Au voisinage de \(a\) :

• si \(f = o(g)\) et \(g = o(h)\), alors \(f = o(h)\) ; de même avec \(O\) ;
• si \(f = o(g)\) et \(g = O(h)\), ou si \(f = O(g)\) et \(g = o(h)\), alors \(f = o(h)\) ;
• \(o(g) + o(g) = o(g)\) et \(\lambda\, o(g) = o(g)\) pour toute constante \(\lambda\) ;
• \(f \cdot o(g) = o(fg)\) et \(o(f) \cdot o(g) = o(fg)\).

Étudions \(\phi(x) = x^2\sin\frac{1}{x}\) au voisinage de \(0\). D’abord, \(\big|\phi(x)/x^2\big| = \big|\sin\frac{1}{x}\big| \leq 1\), donc \(\phi = O(x^2)\). Ensuite, \(\phi(x)/x = x\sin\frac{1}{x}\) tend vers \(0\), car c’est le produit d’une fonction bornée par \(x\). Ainsi, \(\phi = o(x)\). En revanche, \(\phi\) n’est équivalente à aucune puissance de \(x\) : le quotient \(\phi(x)/x^2\) oscille sans limite. Un \(O\) donne donc une information utile même quand aucun équivalent n’existe.

On dit que \(f\) est équivalente à \(g\) au voisinage de \(a\), et on note \(f \sim g\), si \(f – g = o(g)\). Avec notre hypothèse sur \(g\), qui ne prend pas la valeur \(0\) près de \(a\), cela revient à dire que \(f/g\) tend vers \(1\).

Un polynôme non nul est équivalent en \(\pm\infty\) à son terme de plus haut degré, et en \(0\) à son terme non nul de plus bas degré. Par exemple, \(4x^6 – x^2 + 9x^3\) est équivalent à \(4x^6\) en \(+\infty\) et à \(-x^2\) en \(0\).

Au voisinage de \(0\), pour tout réel \(\alpha\) :

\[ \sin u \sim u, \quad \tan u \sim u, \quad \arctan u \sim u, \quad e^u – 1 \sim u, \quad \ln(1 + u) \sim u, \]

\[ 1 – \cos u \sim \frac{u^2}{2}, \qquad (1 + u)^\alpha – 1 \sim \alpha u \quad (\alpha \neq 0). \]

Calculons la limite en \(0\) de \(L(x) = \dfrac{e^{\sin(2x)} – 1}{\ln(1 + 5x)}\). D’abord, \(\sin(2x)\) tend vers \(0\). La substitution dans \(e^u – 1 \sim u\) donne donc \(e^{\sin(2x)} – 1 \sim \sin(2x) \sim 2x\). Ensuite, \(\ln(1 + 5x) \sim 5x\). Par quotient, \(L(x) \sim \frac{2x}{5x}\). Ainsi, \(L(x)\) tend vers \(\frac{2}{5}\).

On remarque que la substitution s’enchaîne : on l’applique d’abord à l’exponentielle, puis au sinus. Chaque étape remplace une fonction qui tend vers \(0\) par un équivalent plus simple.

Supposons \(f \sim g\) au voisinage de \(a\).

• Si \(g\) admet une limite \(\ell\) (finie ou infinie) en \(a\), alors \(f\) admet la même limite.
• Au voisinage de \(a\), les fonctions \(f\) et \(g\) sont de même signe strict.

On écrit \(f = g \cdot u\) avec \(u\) qui tend vers \(1\). D’abord, la limite de \(f\) est le produit des limites, soit \(\ell \cdot 1\). Ensuite, comme \(u\) tend vers \(1\), on a \(u > 1/2\) au voisinage de \(a\). Par conséquent, \(f\) et \(g\) y ont le même signe.

Étudions le signe de \(h(x) = \ln(1 + x^3) – \tan(2x^3)\) près de \(0\). Chaque terme est équivalent à un multiple de \(x^3\), mais on ne peut pas additionner les équivalents. On écrit donc \(\ln(1 + x^3) = x^3 + o(x^3)\) et \(\tan(2x^3) = 2x^3 + o(x^3)\). La différence vaut \(-x^3 + o(x^3)\), donc \(h(x) \sim -x^3\). Ainsi, \(h\) est positive à gauche de \(0\) et négative à droite.

Supposons \(f_1 \sim g_1\) et \(f_2 \sim g_2\) au voisinage de \(a\). Alors :

• \(f_1 f_2 \sim g_1 g_2\) et, si les quotients ont un sens, \(f_1 / f_2 \sim g_1 / g_2\) ;
• pour tout réel \(\alpha\) fixé, \(f_1^\alpha \sim g_1^\alpha\) dès que ces puissances sont définies ;
• si \(\varphi(t)\) tend vers \(a\) quand \(t\) tend vers \(b\), alors \(f_1 \circ \varphi \sim g_1 \circ \varphi\) au voisinage de \(b\).

Cherchons un équivalent en \(0^+\) de \(F(x) = \dfrac{(e^{3x} – 1)\,\sqrt{\sin x}}{\ln(1 + x^2)}\). On traite chaque facteur. D’abord, \(e^{3x} – 1 \sim 3x\). Ensuite, \(\sin x \sim x\), donc \(\sqrt{\sin x} \sim \sqrt{x}\). Enfin, \(\ln(1 + x^2) \sim x^2\). Par produit et quotient, on obtient

\[ F(x) \sim \frac{3x \sqrt{x}}{x^2} = \frac{3}{\sqrt{x}}. \]

En particulier, \(F\) tend vers \(+\infty\) en \(0^+\).

Somme. En \(+\infty\), on a \(x^2 + 7x \sim x^2 + 1\) et \(-x^2 \sim -x^2\). Pourtant, la somme des premiers membres vaut \(7x\), celle des seconds vaut \(1\), et \(7x\) n’est pas équivalent à \(1\).

Composition à gauche. En \(+\infty\), on a \(x + 2 \sim x\). Cependant, \(e^{x+2}/e^x = e^2\) ne tend pas vers \(1\). Donc \(e^{x+2}\) n’est pas équivalent à \(e^x\).

Soit \(f\) et \(g\) strictement positives avec \(f \sim g\) en \(a\). Si \(g\) tend vers une limite \(\ell \in [0, +\infty]\) différente de \(1\), alors \(\ln f \sim \ln g\).

On écrit \(\ln f = \ln g + \ln(f/g)\). Le terme \(\ln(f/g)\) tend vers \(\ln 1 = 0\). De plus, \(\ln g\) tend vers \(\ln \ell \neq 0\), ou vers \(\pm\infty\). Dans les deux cas, \(\ln(f/g) = o(\ln g)\). Par conséquent, \(\ln f = \ln g + o(\ln g)\), ce qui est la définition.

Pour trouver un équivalent d’une somme \(f + g\) :

1. chercher un équivalent simple de chaque terme ;
2. si un terme est négligeable devant l’autre, la somme est équivalente au terme dominant ;
3. si les deux termes sont du même ordre, réécrire chacun sous la forme « équivalent \(+\, o(\dots)\) » et additionner ;
4. si les équivalents se compensent exactement, factoriser, utiliser une quantité conjuguée ou une formule de trigonométrie pour aller plus loin.

Cherchons un équivalent en \(+\infty\) de \(D(x) = \sqrt{x^2 + 6x} – x\). Les deux termes sont équivalents à \(x\) : ils se compensent. On multiplie donc par la quantité conjuguée :

\[ D(x) = \frac{6x}{\sqrt{x^2 + 6x} + x}. \]

Le dénominateur est une somme de deux termes positifs équivalents à \(x\), donc il est équivalent à \(2x\). Ainsi, \(D(x) \sim \frac{6x}{2x} = 3\), et \(D\) tend vers \(3\).

Supposons \(u \leq f \leq v\) au voisinage de \(a\), avec \(u \sim h\) et \(v \sim h\), où \(h\) est strictement positive au voisinage de \(a\). Alors \(f \sim h\).

On divise l’encadrement par \(h > 0\) : \(\frac{u}{h} \leq \frac{f}{h} \leq \frac{v}{h}\). Les deux bornes tendent vers \(1\). Par le théorème d’encadrement des limites, \(f/h\) tend aussi vers \(1\).

Cherchons un équivalent de \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}\). La fonction racine est croissante. Pour \(k \geq 1\), on a donc \(\int_{k-1}^{k} \sqrt{t}\,dt \leq \sqrt{k} \leq \int_{k}^{k+1} \sqrt{t}\,dt\). En sommant pour \(k\) de \(1\) à \(n\), on obtient

\[ \frac{2}{3}\, n^{3/2} \leq S_n \leq \frac{2}{3}\big((n+1)^{3/2} – 1\big). \]

Les deux bornes sont équivalentes à \(\frac{2}{3} n^{3/2}\). Par conséquent, \(S_n \sim \frac{2}{3}\, n^{3/2}\).

Cherchons la limite de \(w_n = n^2\big(1 – \cos\frac{\pi}{n}\big)\). La suite \(\pi/n\) tend vers \(0\). Par substitution, \(1 – \cos\frac{\pi}{n} \sim \frac{\pi^2}{2n^2}\). En multipliant par \(n^2\), on obtient \(w_n \sim \frac{\pi^2}{2}\). Par conséquent, \(w_n\) converge vers \(\frac{\pi^2}{2} \approx 4{,}93\). Géométriquement, ce calcul mesure l’écart entre un cercle et un polygone régulier à \(n\) côtés.

Quand \(n\) tend vers \(+\infty\),

\[ n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \Big(\frac{n}{e}\Big)^n. \]

Cherchons un équivalent de \((n!)^{1/n}\). On ne peut pas élever l’équivalent de Stirling à la puissance \(1/n\) sans justification. Passons donc au logarithme. Stirling donne \(\ln(n!) = n\ln n – n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n) + o(1)\). En divisant par \(n\), on trouve

\[ \frac{1}{n}\ln(n!) = \ln n – 1 + \varepsilon_n, \quad \text{avec } \varepsilon_n \to 0. \]

Ainsi, \((n!)^{1/n} = \frac{n}{e}\, e^{\varepsilon_n}\), et \(e^{\varepsilon_n}\) tend vers \(1\). Finalement, \((n!)^{1/n} \sim \frac{n}{e}\).

1. Justifier l’existence et l’unicité de \(x_n\) : stricte monotonie et théorème des valeurs intermédiaires.
2. Trouver la limite de \(x_n\), souvent par un encadrement ou par la monotonie de \((x_n)\).
3. Réécrire l’équation sous la forme \(x_n = \Phi(n, x_n)\), où le terme en \(x_n\) à droite est petit. En déduire un équivalent.
4. Reporter cet équivalent dans l’équation : on en tire la correction d’ordre inférieur, et l’on itère si l’énoncé le demande.

Pour \(n \geq 3\), la fonction \(x \mapsto x e^x\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\). Elle va de \(0\) à \(+\infty\). L’équation \(x e^x = n\) admet donc une unique solution \(x_n \geq 0\). De plus, \(1 \cdot e^1 < n\), donc \(x_n > 1\).

En prenant le logarithme, on obtient \(x_n + \ln x_n = \ln n\). D’abord, \(x_n \leq \ln n\), car \(\ln x_n > 0\). Ensuite, \(x_n\) tend vers \(+\infty\) : sinon \(x_n e^{x_n}\) resterait borné. Par croissances comparées, \(\ln x_n = o(x_n)\). L’égalité devient \(x_n(1 + o(1)) = \ln n\), donc \(x_n \sim \ln n\).

Réinjectons maintenant cet équivalent. On a \(\ln x_n = \ln \ln n + \ln\frac{x_n}{\ln n}\), et le dernier terme tend vers \(0\). Par conséquent,

\[ x_n = \ln n – \ln \ln n + o(1). \]

Pour \(n \geq 1\), le polynôme \(X^3 + X – n\) est strictement croissant sur \(\mathbb{R}\). Il possède donc une unique racine réelle \(y_n\), et \(y_n > 0\) car la valeur en \(0\) vaut \(-n\). De plus, \(y_n \leq n^{1/3}\), puisque \(y_n^3 = n – y_n \leq n\).

D’abord, \(y_n\) tend vers \(+\infty\) : sinon \(y_n^3 + y_n\) resterait borné. Ensuite, \(y_n \leq n^{1/3}\) entraîne \(y_n = o(n)\). L’égalité \(y_n^3 = n – y_n\) donne donc \(y_n^3 \sim n\). Par puissance fixe \(\frac{1}{3}\), on obtient \(y_n \sim n^{1/3}\).

Cherchons maintenant la correction. On écrit \(y_n = n^{1/3}\big(1 – \frac{y_n}{n}\big)^{1/3}\). Comme \(\frac{y_n}{n}\) tend vers \(0\), l’équivalent usuel donne \(\big(1 – \frac{y_n}{n}\big)^{1/3} – 1 \sim -\frac{y_n}{3n} \sim -\frac{1}{3}n^{-2/3}\). En multipliant par \(n^{1/3}\), on trouve

\[ y_n = n^{1/3} – \frac{1}{3}\, n^{-1/3} + o\big(n^{-1/3}\big). \]

Pour \(n = 1000\), cela prédit \(y_n \approx 10 – 0{,}0333 = 9{,}9667\). On vérifie que \(9{,}9667^3 + 9{,}9667 \approx 1000{,}0\).

• S’exercer : exercices corrigés de maths sup (MPSI) sur équivalents et négligeabilité
• Bases utiles : Limite d'une fonction, continuité et TVI, Suites définies par u(n+1) = f(u(n)) et points fixes
• Chapitre d’avant : PGCD de polynômes et décomposition en éléments simples
• Chapitre d’après : Calculer un développement limité et étude locale
• Vérifier ses acquis : QCM de maths sup (MPSI) sur équivalents et négligeabilité
• Contrôle corrigé en temps limité : Équivalents, séries et interversions : contrôle de maths en MPSI
• Tous les chapitres : le sommaire de maths sup (MPSI)
• Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3