Module, argument et racines n-ièmes en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

Le conjugué de \(z=x+iy\) est \(\overline{z}=x-iy\). Le module de \(z\) est le réel positif \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\). Géométriquement, \(|z|\) est la distance de l’origine \(O\) au point d’affixe \(z\), et \(|b-a|\) est la distance entre les points d’affixes \(a\) et \(b\).

Pour tous complexes \(z\) et \(w\) :

• \(\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}\), \(\overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}\) et \(z+\overline{z}=2\,\mathrm{Re}(z)\) ;
• \(z\overline{z}=|z|^2\), donc \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}\) si \(z\neq 0\) ;
• \(|zw|=|z|\,|w|\) et \(|\mathrm{Re}(z)|\leqslant |z|\).

Nous écrivons \(q=\dfrac{7-4i}{2+3i}\) sous forme algébrique. On multiplie en haut et en bas par \(2-3i\). Le dénominateur devient \(2^2+3^2=13\). Le numérateur vaut \((7-4i)(2-3i)=14-21i-8i+12i^2=2-29i\). Par conséquent, \(q=\dfrac{2}{13}-\dfrac{29}{13}\,i\).

De plus, on obtient le module sans calcul supplémentaire : \(|q|=\dfrac{|7-4i|}{|2+3i|}=\dfrac{\sqrt{65}}{\sqrt{13}}=\sqrt{5}\).

Pour tous complexes \(z\) et \(w\), on a \(\big||z|-|w|\big|\leqslant |z+w|\leqslant |z|+|w|\). De plus, si \(w\neq 0\), l’égalité \(|z+w|=|z|+|w|\) a lieu si et seulement s’il existe un réel \(\lambda\geqslant 0\) tel que \(z=\lambda w\).

Les deux membres sont positifs, donc nous comparons leurs carrés. D’une part, \(|z+w|^2=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})=|z|^2+|w|^2+2\,\mathrm{Re}(z\overline{w})\). D’autre part, \((|z|+|w|)^2=|z|^2+|w|^2+2|z\overline{w}|\). Or \(\mathrm{Re}(z\overline{w})\leqslant|z\overline{w}|\), d’où l’inégalité.

Ensuite, l’égalité équivaut à \(\mathrm{Re}(z\overline{w})=|z\overline{w}|\), c’est-à-dire \(z\overline{w}\in\mathbb{R}_+\). On pose alors \(\lambda=z\overline{w}/|w|^2\geqslant 0\) et l’on obtient \(z=\lambda w\). La réciproque est immédiate. Enfin, l’inégalité de gauche s’obtient en appliquant la précédente à \(z=(z+w)+(-w)\).

On note \(\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C}\ :\ |z|=1\}\). Pour tout réel \(t\), on pose \(e^{it}=\cos t+i\sin t\). L’application \(t\mapsto e^{it}\) va de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{U}\), elle est surjective et vérifie \(e^{i(s+t)}=e^{is}e^{it}\).

Pour tout réel \(t\) et tout entier \(n\in\mathbb{Z}\) :

• formules d’Euler : \(\cos t=\dfrac{e^{it}+e^{-it}}{2}\) et \(\sin t=\dfrac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\) ;
• formule de Moivre : \((\cos t+i\sin t)^n=\cos(nt)+i\sin(nt)\).

Nous exprimons \(\dfrac{\sin(4t)}{\sin t}\) en fonction de \(c=\cos t\), pour \(t\notin\pi\mathbb{Z}\). On note \(s=\sin t\). D’après Moivre et la formule du binôme, \(\sin(4t)\) est la partie imaginaire de \((c+is)^4\), soit \(4c^3s-4cs^3\).

On divise par \(s\) et l’on remplace \(s^2\) par \(1-c^2\). Finalement, \(\dfrac{\sin(4t)}{\sin t}=4c^3-4c(1-c^2)=8c^3-4c\).

1. Factoriser par l’exponentielle de l’angle moyen : \(e^{ia}+e^{ib}=e^{i\frac{a+b}{2}}\left(e^{i\frac{a-b}{2}}+e^{-i\frac{a-b}{2}}\right)\).
2. Reconnaître une formule d’Euler : la parenthèse vaut \(2\cos\frac{a-b}{2}\). Pour une différence, on obtient \(2i\sin\frac{a-b}{2}\).
3. Étudier le signe du facteur réel avant de conclure sur le module et l’argument.

Soit \(w=e^{i\pi/9}+e^{4i\pi/9}\). L’angle moyen vaut \(\frac{5\pi}{18}\) et la demi-différence vaut \(\frac{3\pi}{18}=\frac{\pi}{6}\). Ainsi \(w=e^{5i\pi/18}\cdot 2\cos\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}\,e^{5i\pi/18}\).

Le facteur \(\sqrt{3}\) est positif. Par conséquent, \(|w|=\sqrt{3}\) et \(\frac{5\pi}{18}\) est un argument de \(w\).

1. Remplacer chaque \(\cos t\) et chaque \(\sin t\) par sa formule d’Euler.
2. Développer, si possible en regroupant d’abord des facteurs \((e^{it}+e^{-it})(e^{it}-e^{-it})=e^{2it}-e^{-2it}\).
3. Regrouper les termes conjugués \(e^{ikt}\) et \(e^{-ikt}\) pour faire apparaître \(2\cos(kt)\) ou \(2i\sin(kt)\).

Nous linéarisons \(f(t)=\cos^3t\,\sin^2t\). On a \(f(t)=\dfrac{(e^{it}+e^{-it})^3(e^{it}-e^{-it})^2}{8\times(2i)^2}=-\dfrac{1}{32}(e^{it}+e^{-it})(e^{2it}-e^{-2it})^2\).

Or \((e^{2it}-e^{-2it})^2=e^{4it}-2+e^{-4it}\). En développant, on trouve \(2\cos(5t)+2\cos(3t)-4\cos t\) dans le produit. Donc \(f(t)=\dfrac{2\cos t-\cos(3t)-\cos(5t)}{16}\). En \(t=0\), les deux membres sont bien nuls.

Pour \(t\notin 2\pi\mathbb{Z}\) et \(n\in\mathbb{N}\), on a \[\sum_{k=0}^{n}e^{ikt}=\frac{e^{i(n+1)t}-1}{e^{it}-1}=e^{int/2}\,\frac{\sin\frac{(n+1)t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}.\] En prenant les parties réelle et imaginaire, on obtient \(\sum_{k=0}^{n}\cos(kt)\) et \(\sum_{k=0}^{n}\sin(kt)\).

Tout complexe \(z\neq 0\) s’écrit \(z=r\,e^{i\theta}\) avec \(r=|z|>0\) et \(\theta\) réel. Un tel \(\theta\) s’appelle un argument de \(z\). Il est défini modulo \(2\pi\) : on écrit \(\arg z\equiv\theta\ [2\pi]\).

Pour trouver les \(\delta=a+ib\) tels que \(\delta^2=u+iv\) :

1. Identifier parties réelles et imaginaires : \(a^2-b^2=u\) et \(2ab=v\).
2. Ajouter l’égalité des modules : \(a^2+b^2=\sqrt{u^2+v^2}\).
3. En déduire \(a^2\) et \(b^2\), puis choisir les signes grâce au signe de \(ab\).

Nous cherchons les racines carrées de \(-21-20i\). On a \(a^2-b^2=-21\), \(2ab=-20\) et \(a^2+b^2=\sqrt{441+400}=29\). Donc \(a^2=4\) et \(b^2=25\). Comme \(ab=-10<0\), \(a\) et \(b\) sont de signes contraires. Ainsi, les racines carrées sont \(2-5i\) et \(-2+5i\).

Soit \(a,b,c\) complexes avec \(a\neq 0\), et \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\delta\) est une racine carrée de \(\Delta\), les solutions de \(az^2+bz+c=0\) sont \(\dfrac{-b\pm\delta}{2a}\). Leur somme vaut \(-b/a\) et leur produit vaut \(c/a\).

Résolvons \(z^2-(3+i)z+4+3i=0\). Le discriminant vaut \((3+i)^2-4(4+3i)=8+6i-16-12i=-8-6i\). Or \((1-3i)^2=1-6i-9=-8-6i\). Les solutions sont donc \(\dfrac{3+i+1-3i}{2}=2-i\) et \(\dfrac{3+i-1+3i}{2}=1+2i\).

Vérification rapide par les relations coefficients-racines : la somme vaut \(3+i\) et le produit \((2-i)(1+2i)=4+3i\).

L’ensemble \(\mathbb{U}_n=\{z\in\mathbb{C}\ :\ z^n=1\}\) contient exactement \(n\) éléments : \[\mathbb{U}_n=\left\{e^{2ik\pi/n}\ :\ k\in\{0,1,\dots,n-1\}\right\}.\] C’est un sous-groupe de \(\mathbb{U}\). En notant \(\omega=e^{2i\pi/n}\), on a \(\mathbb{U}_n=\{1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1}\}\).

Si \(z^n=1\), alors \(|z|^n=1\), donc \(|z|=1\) et \(z=e^{i\theta}\). L’équation devient \(e^{in\theta}=1\), c’est-à-dire \(n\theta\in 2\pi\mathbb{Z}\). Ainsi \(\theta=2k\pi/n\) avec \(k\in\mathbb{Z}\). Ensuite, \(e^{2ik\pi/n}=e^{2i\ell\pi/n}\) si et seulement si \(k-\ell\) est multiple de \(n\). Par conséquent, on obtient \(n\) valeurs distinctes en prenant \(k\) de 0 à \(n-1\).

Pour \(n\geqslant 2\), la somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle : \(\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=\dfrac{\omega^n-1}{\omega-1}=0\), car \(\omega\neq 1\). Plus généralement, \(\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{pk}\) vaut \(n\) si \(n\) divise \(p\) et 0 sinon.

Soit \(a=re^{i\theta}\) avec \(r>0\). L’équation \(z^n=a\) possède exactement \(n\) solutions : \[z_k=r^{1/n}\,e^{i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)},\quad k\in\{0,\dots,n-1\}.\] Autrement dit, si \(z_0\) est une solution particulière, les solutions sont les \(z_0\,u\) avec \(u\in\mathbb{U}_n\).

1. Écrire \(a\) sous forme trigonométrique \(re^{i\theta}\).
2. Poser \(z=\rho e^{i\varphi}\) et identifier : \(\rho^n=r\) et \(n\varphi\equiv\theta\ [2\pi]\).
3. Conclure \(\rho=r^{1/n}\) et \(\varphi=\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\), en gardant exactement \(n\) valeurs de \(k\).

Nous cherchons les racines quatrièmes de \(a=-8+8\sqrt{3}\,i\). D’abord, \(|a|=\sqrt{64+192}=16\) et \(a=16\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=16\,e^{2i\pi/3}\). Ensuite, une solution particulière est \(z_0=2e^{i\pi/6}=\sqrt{3}+i\).

Enfin, on multiplie par les éléments de \(\mathbb{U}_4=\{1,i,-1,-i\}\). Les quatre solutions sont donc \(\sqrt{3}+i\), \(-1+i\sqrt{3}\), \(-\sqrt{3}-i\) et \(1-i\sqrt{3}\).

Pour \(\omega\in\mathbb{U}_n\), on a \(\overline{\omega}=\omega^{-1}=\omega^{n-1}\). Ainsi, conjuguer une racine de l’unité revient à changer l’exposant. Cette remarque simplifie beaucoup de calculs de modules : par exemple, \(|1+\omega|^2=(1+\omega)(1+\omega^{n-1})=2+\omega+\omega^{n-1}\).

Nous calculons \(\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}\). Notons \(\omega=e^{2i\pi/5}\). D’abord, la somme \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4\) est nulle. Ensuite, \(\omega^4=\overline{\omega}\) et \(\omega^3=\overline{\omega^2}\). En prenant la partie réelle, on obtient \(1+2\cos\frac{2\pi}{5}+2\cos\frac{4\pi}{5}=0\). Par conséquent, la somme cherchée vaut \(-\frac{1}{2}\).

Pour \(z=x+iy\), on pose \(e^{z}=e^{x}e^{iy}\). Ainsi \(|e^{z}|=e^{\mathrm{Re}(z)}\) et \(\mathrm{Im}(z)\) est un argument de \(e^{z}\). De plus, \(e^{z+w}=e^{z}e^{w}\) pour tous complexes \(z\) et \(w\).

Fixons \(a=re^{i\theta}\) avec \(r>0\). Un complexe \(z\) vérifie \(e^{z}=a\) exactement lorsque \(z\) s’écrit \(\ln r+i(\theta+2k\pi)\) pour un entier relatif \(k\). En revanche, pour \(a=0\), l’ensemble des solutions est vide.

Résolvons \(e^{z}=-3+3i\). Le module vaut \(3\sqrt{2}\) et un argument est \(\frac{3\pi}{4}\). En posant \(z=x+iy\), on obtient \(e^{x}=3\sqrt{2}\) et \(y\equiv\frac{3\pi}{4}\ [2\pi]\). Donc les solutions sont \(z_k=\ln(3\sqrt{2})+i\left(\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\), \(k\in\mathbb{Z}\). Il y en a une infinité, alignées sur une droite verticale.

Soit \(A\), \(B\), \(C\) d’affixes \(a\), \(b\), \(c\), avec \(A\neq B\) et \(A\neq C\). Un argument de \(\dfrac{c-a}{b-a}\) est une mesure de l’angle orienté \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\). On en déduit :

• \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si \(\dfrac{c-a}{b-a}\) est réel ;
• \((AB)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires si et seulement si \(\dfrac{c-a}{b-a}\) est imaginaire pur.

Soit \(A(1+i)\), \(B(4+3i)\) et \(C(-1+4i)\). On calcule \(\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{-2+3i}{3+2i}\). Or \(i(3+2i)=-2+3i\), donc ce quotient vaut \(i\). Ainsi, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). De plus, son module vaut 1, donc \(AB=AC\) : le triangle est rectangle isocèle.

Une similitude directe est une application du plan dont l’écriture complexe est \(z\mapsto az+b\), avec \(a\in\mathbb{C}^*\) et \(b\in\mathbb{C}\). Les translations (\(a=1\)), les rotations (\(|a|=1\)) et les homothéties (\(a\) réel) en sont des cas particuliers.

Soit \(f:z\mapsto az+b\) avec \(a\neq 1\). Alors \(f\) possède un unique point fixe \(\Omega\), d’affixe \(\omega=\dfrac{b}{1-a}\), et \(f(z)-\omega=a(z-\omega)\) pour tout \(z\). Ainsi \(f\) est la composée de la rotation de centre \(\Omega\) d’angle \(\arg a\) et de l’homothétie de centre \(\Omega\) de rapport \(|a|\).

L’équation \(az+b=z\) équivaut à \(z(1-a)=b\). Comme \(a\neq 1\), elle a l’unique solution \(\omega=b/(1-a)\). Ensuite, on soustrait \(\omega=a\omega+b\) à \(f(z)=az+b\). On obtient \(f(z)-\omega=a(z-\omega)\). Enfin, en écrivant \(a=|a|e^{i\alpha}\), la multiplication par \(a\) tourne de \(\alpha\) et dilate d’un facteur \(|a|\) autour de \(\Omega\).

Considérons \(f(z)=(1+i)z+2-i\). Le point fixe vérifie \(\omega(1-1-i)=2-i\), donc \(\omega=\dfrac{2-i}{-i}=1+2i\). Par ailleurs, \(1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\). Donc \(f\) est la similitude de centre \(\Omega(1+2i)\), de rapport \(\sqrt{2}\) et d’angle \(\frac{\pi}{4}\).

Une similitude directe conserve les angles orientés et multiplie les distances par \(|a|\). Réciproquement, pour deux couples de points distincts \((A,B)\) et \((A^{\prime},B^{\prime})\), il existe une unique similitude directe envoyant \(A\) sur \(A^{\prime}\) et \(B\) sur \(B^{\prime}\).

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