Formules trigonométriques et fonctions arc : contrôle de maths en MPSI

Télécharger en PDF Le livre des 25 contrôles corrigés en MPSI PDF à imprimer Voir le livre ›

Ce qu’évalue le contrôle : formules trigonométriques et fonctions arc

Le sujet du contrôle : formules trigonométriques et fonctions arc

Exercice 1 – Valeurs exactes et angle moitié (3 points)

Les questions de cet exercice sont indépendantes. Aucune valeur approchée n’est acceptée.

1. En écrivant \(\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4}\), calculer \(\cos \frac{\pi}{12}\), puis montrer que \(\tan \frac{\pi}{12} = 2 – \sqrt{3}\). (1 point)
2. Soit \(x\) un réel qui n’appartient pas à \(\pi\mathbb{Z}\). Démontrer que \(\frac{1 – \cos x}{\sin x} = \tan \frac{x}{2}\), puis en déduire la valeur exacte de \(\tan \frac{\pi}{8}\). (1 point)
3. Prouver d’abord que \(\sin x \leq x\) pour tout \(x \geq 0\). Établir ensuite l’inégalité \(|\sin x| \leq |x|\) pour tout réel \(x\). (1 point)

Exercice 2 – Équations et inéquation trigonométriques (4 points)

On cherche les solutions sous forme de familles indexées par un entier \(k\). La figure représente la fonction \(g : x \mapsto \cos 2x + \cos x\) sur \([0\,;\,2\pi]\) ; elle sert seulement à contrôler la question c).

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\cos 2x = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\). (1,5 point)
2. Mettre \(\sqrt{3}\cos x – \sin x\) sous la forme \(r\cos(x + \varphi)\), avec \(r > 0\). Résoudre alors dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\sqrt{3}\cos x – \sin x = \sqrt{2}\). (1 point)
3. Factoriser \(g(x)\) comme un polynôme en \(\cos x\). En déduire l’ensemble des réels \(x\) de \([0\,;\,2\pi]\) tels que \(\cos 2x + \cos x \leq 0\). (1,5 point)

Exercice 3 – Une identité entre deux arctangentes (4 points)

Pour tout réel \(x \neq -1\), on pose \(h(x) = \mathrm{Arctan}\,x + \mathrm{Arctan}\,\frac{1 – x}{1 + x}\).

1. Justifier que \(h\) est dérivable sur \(]-\infty\,;\,-1[\) et sur \(]-1\,;\,+\infty[\), puis calculer \(h^{\prime}(x)\). (1,5 point)
2. En déduire une expression simple de \(h(x)\) sur chacun de ces deux intervalles. (1 point)
3. Montrer que \(\mathrm{Arctan}\,\frac{1}{2} + \mathrm{Arctan}\,\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}\). (0,5 point)
4. Pour tout réel \(x\), exprimer \(\cos(\mathrm{Arctan}\,x)\) et \(\sin(2\,\mathrm{Arctan}\,x)\) sans fonction trigonométrique. (1 point)

Exercice 4 – Étude d’une fonction construite avec sh (4 points)

On étudie la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \mathrm{sh}\,x – 2x\). On pose \(a = \ln\left(2 + \sqrt{3}\right)\), et on donne les encadrements \(7{,}3 < \mathrm{e}^2 < 7{,}4\) et \(20 < \mathrm{e}^3 < 20{,}1\).

1. Étudier la parité de \(f\). Calculer ensuite \(\mathrm{ch}\,a\) et \(\mathrm{sh}\,a\), puis le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur \([0\,;\,+\infty[\). (1 point)
2. Dresser le tableau de variations complet de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), avec les limites et la valeur exacte des extremums locaux. Préciser aussi la nature de la branche infinie en \(+\infty\). (1,5 point)
3. Montrer que l’équation \(\mathrm{sh}\,x = 2x\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\,;\,+\infty[\), puis que \(2 < \alpha < 3\). (1 point)
4. Tracer l’allure de la courbe de \(f\) sur \([-3\,;\,3]\), avec ses tangentes horizontales. (0,5 point)

Exercice 5 – Problème : une composée de Arcsin (5 points)

On note \(\psi(x) = 2x\sqrt{1 – x^2}\) pour \(x\) dans \([-1\,;\,1]\), puis \(G(x) = \mathrm{Arcsin}\big(\psi(x)\big)\). La figure donne la courbe de \(\psi\), qui atteint son maximum en \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

1. Montrer que \(|\psi(x)| \leq 1\) pour tout \(x\) de \([-1\,;\,1]\). Justifier ainsi que \(G\) est définie sur \([-1\,;\,1]\), puis qu’elle est impaire. (1 point)
2. Soit \(x \in [-1\,;\,1]\) et \(\theta = \mathrm{Arcsin}\,x\). Prouver que \(\psi(x) = \sin 2\theta\). (0,5 point)
3. Établir que \(G(x) = 2\,\mathrm{Arcsin}\,x\) sur \(\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\) et que \(G(x) = \pi – 2\,\mathrm{Arcsin}\,x\) sur \(\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\,1\right]\). Donner ensuite \(G(x)\) sur \(\left[-1\,;\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\). (1,5 point)
4. Étudier la dérivabilité de \(G\) sur \(]-1\,;\,1[\). En \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), calculer les dérivées à gauche et à droite, puis conclure. (1 point)
5. Tracer l’allure de la courbe de \(G\), puis résoudre l’équation \(G(x) = \frac{\pi}{3}\). (1 point)

Réviser formules trigonométriques et fonctions arc avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours formules de trigonométrie et équations trigonométriques puis étude de fonctions, fonctions réciproques et usuelles ; entraînez-vous sur les exercices formules de trigonométrie et équations trigonométriques et étude de fonctions, fonctions réciproques et usuelles avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en MPSI regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.

Télécharger en PDF Le livre des 25 contrôles corrigés en MPSI PDF à imprimer Voir le livre ›

Télécharger ou imprimer cette fiche «formules trigonométriques et fonctions arc : contrôle de maths en MPSI» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

 Maths PDF c'est 16 224 763 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.