Interpolation de Lagrange et Viète : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : interpolation de Lagrange et Viète

Le sujet du contrôle : interpolation de Lagrange et Viète

Exercice 1 – Une racine d’ordre élevé (4 points)

On considère le polynôme \(P = X^5 – 3X^4 + 2X^3 + 2X^2 – 3X + 1\) de \(\mathbb{R}[X]\).

1. Vérifier que \(1\) est racine de \(P\), puis déterminer son ordre de multiplicité à l’aide des dérivées successives de \(P\). (2 points)
2. En déduire la factorisation de \(P\) en produit de polynômes irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\). (1 point)
3. Déterminer ensuite les réels \(a\) et \(b\) pour lesquels \(Q = X^4 + aX^2 + bX + 3\) est divisible par \((X – 1)^2\). Factoriser alors \(Q\) dans \(\mathbb{R}[X]\). (1 point)

Exercice 2 – Sommes de puissances des racines d’un cubique (4 points)

Soit \(R = X^3 – 2X^2 – 3X + 5\). On note \(x_1\), \(x_2\) et \(x_3\) ses racines complexes, comptées avec multiplicité, puis \(S_k = x_1^k + x_2^k + x_3^k\) pour tout entier \(k \geq 1\). La courbe de la fonction polynomiale associée est tracée ci-dessous.

1. Démontrer que les trois racines de \(R\) sont réelles et distinctes, puis situer chacune d’elles entre deux entiers consécutifs. (1 point)
2. Rappeler les relations entre les coefficients et les racines de \(R\). Calculer alors \(S_1\) et \(S_2\). (1 point)
3. Calculer \(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3}\) sans déterminer les racines. (0,75 point)
4. Justifier que \(x_i^3 = 2x_i^2 + 3x_i – 5\) pour chaque indice \(i\). En déduire \(S_3\), puis \(S_4\). (1,25 point)

Exercice 3 – Les racines huitièmes de l’unité (4,5 points)

On pose \(\omega = \mathrm{e}^{i\pi/4}\). La figure place les puissances \(\omega^0, \omega^1, \ldots, \omega^7\) sur le cercle unité, ainsi que le segment qui joint \(1\) à \(\omega\).

1. Déterminer les racines complexes de \(X^8 – 1\) et écrire sa factorisation dans \(\mathbb{C}[X]\). (1 point)
2. Factoriser ensuite \(X^8 – 1\) en produit de polynômes irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\). (1,5 point)
3. Écrire \(X^8 – 1 = (X – 1)\,T\), où \(T\) est un polynôme à expliciter. Montrer alors que \(\prod_{k=1}^{7} (1 – \omega^k) = 8\). (1 point)
4. Prouver que \(|1 – \omega^k| = 2\sin\left(\frac{k\pi}{8}\right)\) pour \(1 \leq k \leq 7\). En déduire la valeur exacte de \(\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)\). (1 point)

Exercice 4 – Problème : interpoler la fonction puissance de 2 (7,5 points)

On fixe les quatre abscisses \(x_0 = -1\), \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) et \(x_3 = 2\). Pour \(i \in \{0, 1, 2, 3\}\), on définit le polynôme de Lagrange \(L_i = \prod_{j \neq i} \dfrac{X – x_j}{x_i – x_j}\), le produit portant sur les indices \(j\) distincts de \(i\). On cherche un polynôme de degré au plus 3 dont la courbe passe par les points \(A_i\) de la courbe de \(x \mapsto 2^x\) d’abscisses \(x_i\).

1. Soit \((y_0, y_1, y_2, y_3)\) une famille de réels. Montrer qu’il existe au plus un polynôme \(P \in \mathbb{R}_3[X]\) tel que \(P(x_i) = y_i\) pour tout \(i\). Vérifier ensuite que \(L_i(x_j)\) vaut \(1\) si \(j = i\) et \(0\) sinon, puis prouver l’existence d’un tel polynôme. (1,5 point)
2. Écrire \(L_0\), \(L_1\), \(L_2\) et \(L_3\) sous forme factorisée, avec leur coefficient constant simplifié. (1,5 point)
3. Déterminer sous forme développée le polynôme \(P \in \mathbb{R}_3[X]\) tel que \(P(x_i) = 2^{x_i}\) pour tout \(i\), puis contrôler le résultat en \(x_0\) et en \(x_3\). (1,5 point)
4. Démontrer, sans calcul de développement, que \(L_0 + L_1 + L_2 + L_3 = 1\) et que \(\sum_{i=0}^{3} x_i L_i = X\). Établir ensuite que \(\sum_{i=0}^{3} x_i^4 L_i = X^4 – (X + 1)X(X – 1)(X – 2)\). (1,5 point)
5. Calculer \(P\left(\frac{1}{2}\right)\) sous forme de fraction. Montrer alors que ce nombre approche \(\sqrt{2}\) par défaut avec une erreur inférieure à \(10^{-2}\). (1,5 point)

Réviser interpolation de Lagrange et Viète avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours polynômes ; entraînez-vous sur les exercices polynômes avant de retenter le sujet.

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