Dénombrement et conditionnement en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Cadenas à quatre molettes

Un cadenas possède quatre molettes, chacune portant les chiffres de \(0\) à \(9\). Un code est la suite des quatre chiffres lus de gauche à droite.

1. D’abord, déterminer le nombre total de codes.
2. Ensuite, dénombrer les codes formés de quatre chiffres deux à deux distincts.
3. De plus, compter les codes dont les chiffres sont strictement croissants de gauche à droite.
4. Enfin, déterminer le nombre de codes contenant au moins un chiffre \(7\).

Exercice 2 – Bureau et comité d’un club

Un club compte \(12\) membres : \(7\) femmes et \(5\) hommes.

1. D’abord, dénombrer les bureaux possibles, formés d’un président, d’un trésorier et d’un secrétaire, trois personnes distinctes.
2. Ensuite, dénombrer les comités de \(4\) membres, sans fonction particulière.
3. Parmi eux, dénombrer ceux comportant exactement \(2\) femmes.
4. Enfin, dénombrer les comités de \(4\) membres comportant au moins un homme.

Exercice 3 – Multiples de 2, 3 ou 5

On note \(A\), \(B\), \(C\) les ensembles des entiers de \([\![1, 600]\!]\) multiples respectivement de \(2\), de \(3\) et de \(5\).

1. En appliquant deux fois la formule pour deux ensembles, établir pour trois ensembles finis :
   \[\mathrm{Card}(A \cup B \cup C) = \mathrm{Card}\, A + \mathrm{Card}\, B + \mathrm{Card}\, C – \mathrm{Card}(A \cap B) – \mathrm{Card}(A \cap C) – \mathrm{Card}(B \cap C) + \mathrm{Card}(A \cap B \cap C).\]
2. Calculer le nombre d’entiers de \([\![1, 600]\!]\) multiples de \(2\), de \(3\) ou de \(5\).
3. En déduire le nombre d’entiers de \([\![1, 600]\!]\) qui ne sont divisibles ni par \(2\), ni par \(3\), ni par \(5\).

Exercice 4 – Anagrammes de PAPAYE

1. D’abord, déterminer le nombre d’anagrammes du mot PAPAYE, en comptant le mot lui-même.
2. Parmi elles, combien ont leurs deux P côte à côte ?
3. Enfin, combien commencent par la lettre A ?

Exercice 5 – Parties d’un ensemble à huit éléments

On pose \(E = [\![1, 8]\!]\).

1. D’abord, combien \(E\) possède-t-il de parties ?
2. Ensuite, combien de parties de \(E\) contiennent \(1\) mais pas \(2\) ?
3. De plus, combien de parties à \(3\) éléments contiennent \(8\) ?
4. En développant \((1 – 1)^8\), montrer que \(E\) possède autant de parties de cardinal pair que de cardinal impair, et donner ce nombre.

Exercice 6 – Deux dés discernables

On lance deux dés équilibrés à six faces, l’un rouge et l’autre vert.

1. Décrire un univers sur lequel la probabilité est uniforme, et donner son cardinal.
2. Ensuite, calculer la probabilité que la somme vaille \(9\), puis celle que le plus grand des deux résultats vaille \(4\).
3. Puis calculer la probabilité que le produit des deux résultats soit pair.
4. Sachant que la somme vaut \(8\), calculer la probabilité que les deux dés affichent le même nombre.

Exercice 7 – Trois enfants et une information

Une famille a trois enfants. On modélise la suite des sexes, de l’aîné au cadet, par la probabilité uniforme sur \(\{F, G\}^3\).

1. D’abord, calculer la probabilité que les trois enfants soient des filles, sachant qu’il y a au moins une fille.
2. Ensuite, calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux filles, sachant que l’aîné est une fille.
3. Les événements \(A\) : « l’aîné est une fille » et \(B\) : « la famille a exactement un garçon » sont-ils indépendants ?

Pour s’entraîner

Exercice 8 – Mains de cinq cartes dans un jeu de 32

Un jeu de \(32\) cartes comporte \(4\) couleurs et \(8\) hauteurs. Une main est une partie de \(5\) cartes.

1. D’abord, calculer le nombre de mains.
2. Ensuite, dénombrer les mains contenant un carré, c’est-à-dire quatre cartes de même hauteur.
3. De même, dénombrer les mains contenant un full : trois cartes d’une hauteur et deux d’une autre.
4. Par ailleurs, dénombrer les mains contenant exactement une paire, les trois autres cartes étant de hauteurs distinctes entre elles et de celle de la paire.
5. Enfin, dénombrer les mains dont les cinq cartes sont de la même couleur.

Exercice 9 – Double comptage et somme de coefficients binomiaux

Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels avec \(p \leqslant n\).

1. En classant les parties à \(p + 1\) éléments de \([\![1, n + 1]\!]\) selon leur plus grand élément, montrer que
   \[\sum_{k=p}^{n} \binom{k}{p} = \binom{n+1}{p+1}.\]
2. En déduire la valeur de \(\sum_{k=1}^{n} k\), puis celle de \(\sum_{k=2}^{n} k(k – 1)\).
3. En utilisant l’identité \(k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}\), calculer \(\sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k}\) pour \(n \geqslant 1\).

Exercice 10 – Binôme et couples de parties emboîtées

Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments. On note \(\mathcal{C}\) l’ensemble des couples \((A, B)\) de parties de \(E\) tels que \(A \subset B\).

1. En classant les couples selon le cardinal \(k\) de \(B\), montrer que \(\mathrm{Card}\, \mathcal{C} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^k\).
2. En associant à chaque couple la position de chaque élément de \(E\) (dans \(A\), dans \(B\) mais pas dans \(A\), hors de \(B\)), montrer que \(\mathrm{Card}\, \mathcal{C} = 3^n\).
3. Retrouver l’égalité \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^k = 3^n\) par la formule du binôme.
4. Dénombrer les couples \((A, B)\) de parties de \(E\) tels que \(A \cap B = \varnothing\).

Exercice 11 – Surjections sur deux et trois éléments

Soit \(n \geqslant 1\). On note \(S(n, m)\) le nombre de surjections de \([\![1, n]\!]\) sur \([\![1, m]\!]\).

1. D’abord, montrer que \(S(n, 2) = 2^n – 2\).
2. Pour \(i \in \{1, 2, 3\}\), on note \(N_i\) l’ensemble des applications de \([\![1, n]\!]\) dans \([\![1, 3]\!]\) qui ne prennent pas la valeur \(i\). Calculer les cardinaux de \(N_i\), de \(N_i \cap N_j\) pour \(i \neq j\), et de \(N_1 \cap N_2 \cap N_3\).
3. À l’aide de la formule de l’exercice 3, en déduire \(S(n, 3) = 3^n – 3 \times 2^n + 3\).
4. Vérifier le résultat pour \(n = 3\), puis calculer \(S(4, 3)\).

Exercice 12 – Test de dépistage

Dans une région, \(2\,\%\) des habitants sont porteurs d’un virus. Un réactif détecte le virus chez \(95\,\%\) des porteurs, mais il réagit aussi, à tort, chez \(4\,\%\) des non-porteurs. Un habitant tiré au sort passe l’analyse. On désigne par \(M\) le fait d’être porteur et par \(T\) un résultat positif.

1. D’abord, calculer \(P(T)\).
2. Ensuite, calculer la probabilité qu’une personne testée positive soit malade. Commenter.
3. Enfin, calculer la probabilité qu’une personne testée négative soit saine.

Exercice 13 – Transfert d’une boule entre deux urnes

L’urne \(U_1\) contient \(3\) boules blanches et \(2\) noires. L’urne \(U_2\) contient \(1\) boule blanche et \(4\) noires. Une boule prise au hasard dans \(U_1\) est déplacée vers \(U_2\). Après ce déplacement, on prélève une boule dans \(U_2\), elle aussi au hasard.

1. Calculer la probabilité que la boule tirée dans \(U_2\) soit blanche.
2. Sachant que cette boule est blanche, calculer la probabilité que la boule transférée ait été blanche.

L’arbre ci-dessous décrit l’expérience ; ses branches portent les probabilités à compléter.

Exercice 14 – Attente de la première boule verte

Une urne contient \(5\) boules rouges et \(4\) boules vertes. On tire les boules une à une, sans remise, jusqu’à ce que l’urne soit vide.

1. D’abord, calculer la probabilité que la première boule verte apparaisse au premier tirage, au deuxième, puis au troisième.
2. Ensuite, calculer la probabilité que les cinq boules rouges sortent avant toute boule verte.
3. En modélisant le résultat par l’ensemble des positions des boules vertes, calculer la probabilité que la dernière boule tirée soit verte.

Exercice 15 – Anniversaires sur une planète à dix jours

Sur une planète, l’année compte \(10\) jours. On réunit \(n\) personnes dont les jours de naissance sont supposés uniformes et indépendants.

1. Décrire l’univers et montrer que la probabilité que les \(n\) jours soient deux à deux distincts vaut \(\dfrac{10 \times 9 \times \cdots \times (10 – n + 1)}{10^n}\) pour \(n \leqslant 10\).
2. Calculer, pour \(n = 4\), la probabilité qu’au moins deux personnes partagent le même jour.
3. Déterminer le plus petit \(n\) pour lequel cette probabilité dépasse \(1/2\).
4. Alice fait partie d’un groupe de \(5\) personnes. Calculer la probabilité qu’une des quatre autres ait le même jour qu’elle, et comparer.

Exercice 16 – Alarmes indépendantes

Un local est protégé par trois alarmes qui fonctionnent indépendamment. Lors d’une intrusion, elles se déclenchent avec les probabilités respectives \(0{,}9\), \(0{,}8\) et \(0{,}7\).

1. D’abord, calculer la probabilité qu’au moins une alarme se déclenche.
2. Ensuite, calculer la probabilité qu’exactement une alarme se déclenche.
3. On remplace le dispositif par \(m\) alarmes indépendantes, chacune de probabilité \(0{,}7\). Déterminer le plus petit \(m\) qui garantit un déclenchement avec probabilité au moins \(0{,}999\).

Exercice 17 – Indépendance deux à deux sans indépendance mutuelle

Un dé bleu et un dé jaune, tous deux équilibrés, sont jetés ensemble. Soient \(A\) : « le bleu montre un nombre pair », \(B\) : « le jaune montre un nombre pair » et \(C\) : « le total des deux faces est pair ».

1. D’abord, calculer \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(C)\).
2. Ensuite, montrer que \(A\), \(B\), \(C\) sont indépendants deux à deux.
3. Sont-ils mutuellement indépendants ? Calculer \(P_{A \cap B}(C)\).
4. Enfin, montrer que \(A\) et l’événement \(E\) : « le bleu montre \(1\) ou \(2\) » sont indépendants, bien qu’ils portent sur le même dé.

Pour approfondir

Exercice 18 – Chemins dans une grille et formule de Vandermonde

Un chemin de \((0, 0)\) à \((p, q)\), avec \(p, q\) entiers naturels, est une suite de pas unitaires vers la droite ou vers le haut.

1. D’abord, montrer que le nombre de tels chemins est \(\binom{p+q}{p}\).
2. Combien de chemins de \((0, 0)\) à \((5, 5)\) passent par le point \((2, 3)\) ? On choisit un chemin au hasard parmi tous les chemins de \((0, 0)\) à \((5, 5)\) : quelle est la probabilité qu’il passe par ce point ?
3. Soient \(a, b, n\) des entiers naturels. En comptant de deux façons les comités de \(n\) personnes choisies parmi \(a\) femmes et \(b\) hommes, montrer la formule de Vandermonde :
   \[\binom{a+b}{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{a}{k}\binom{b}{n-k}.\]
4. En remarquant que tout chemin de \((0, 0)\) à \((n, n)\) rencontre la droite d’équation \(x + y = n\) en un seul point, retrouver l’égalité \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}\).

La figure montre un chemin de \((0, 0)\) à \((5, 5)\) qui passe par le point \((2, 3)\).

Exercice 19 – Problème – Le dé truqué

Une boîte contient trois dés d’apparence identique. Deux sont équilibrés ; le troisième porte un \(6\) sur chacune de ses faces. On choisit un dé au hasard dans la boîte, puis on le lance plusieurs fois. On note \(T\) l’événement « le dé choisi est truqué », \(S_k\) l’événement « le \(k\)-ème lancer donne \(6\) » et \(U_n = S_1 \cap \cdots \cap S_n\). On admet que, conditionnellement au dé choisi, les lancers sont mutuellement indépendants.

1. D’abord, calculer \(P(U_n)\) pour tout \(n \geqslant 1\).
2. On pose \(p_n = P_{U_n}(T)\). Montrer que \(p_n = \dfrac{1}{1 + 2 \times 6^{-n}}\), puis calculer \(p_1\) et \(p_2\).
3. Étudier la monotonie et la limite de \((p_n)\). Déterminer le plus petit \(n\) tel que \(p_n \geqslant 0{,}999\).
4. Ensuite, calculer \(P_{U_1}(S_2)\) de deux façons : par la définition, puis par la formule des probabilités totales relative au système complet \((T, \overline{T})\) pour la probabilité \(P_{U_1}\).
5. Les événements \(S_1\) et \(S_2\) sont-ils indépendants ? Interpréter.

Le graphique représente les premières valeurs de \(p_n\).

Exercice 20 – Problème – L’urne de Pólya

Au départ, l’urne renferme deux boules : l’une blanche, l’autre noire. Le protocole se répète : on extrait une boule uniformément, on observe sa teinte, puis on la replace accompagnée d’une nouvelle boule de cette teinte. On note \(B_i\) l’événement « la \(i\)-ème boule tirée est blanche ».

1. D’abord, calculer \(P(B_1)\) et \(P(B_2)\).
2. Combien l’urne contient-elle de boules juste avant le \(i\)-ème tirage ? Soient \(n \geqslant 1\) et \(0 \leqslant k \leqslant n\). Montrer que la probabilité d’obtenir \(k\) boules blanches puis \(n – k\) noires vaut \(\dfrac{k!\,(n – k)!}{(n + 1)!}\).
3. Montrer que toute suite de \(n\) tirages comportant exactement \(k\) blanches a la même probabilité.
4. En déduire que la probabilité d’obtenir exactement \(k\) blanches lors des \(n\) premiers tirages vaut \(\dfrac{1}{n + 1}\), pour tout \(k \in [\![0, n]\!]\).
5. Sachant que les \(n\) premiers tirages ont donné \(k\) blanches, quelle est la probabilité que le tirage suivant donne une blanche ? En déduire \(P(B_{n+1})\).

Pour aller plus loin

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