Limite d’une suite et convergence en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Revenir à la définition de la limite

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(u_n = \frac{2n – 1}{n + 4}\).

1. Calculer \(|u_n – 2|\).
2. Soit \(\varepsilon > 0\). Déterminer un rang \(N\) tel que \(|u_n – 2| \leqslant \varepsilon\) pour tout \(n \geqslant N\). Conclure.
3. Déterminer le plus petit rang \(N\) qui convient pour \(\varepsilon = 10^{-3}\).
4. Montrer que \(u_n < 2\) pour tout \(n\), puis que \(2\) est la borne supérieure de l’ensemble des termes.

Exercice 2 – Monotonie et limite de deux suites explicites

1. Soit \(v_n = \frac{n + 3}{2n + 1}\) pour \(n \in \mathbb{N}\). Écrire \(v_n = \frac{1}{2} + \frac{c}{2n+1}\) avec une constante \(c\) à préciser. En déduire la monotonie de \((v_n)\), un encadrement et sa limite.
2. Soit \(w_n = \frac{n}{2^n}\) pour \(n \geqslant 1\). Calculer \(\frac{w_{n+1}}{w_n}\) et en déduire que \((w_n)\) est décroissante.
3. Justifier que \((w_n)\) converge vers une limite \(\ell\). Ensuite, passer à la limite dans la relation \(w_{n+1} = \frac{n+1}{2n} w_n\) pour obtenir \(\ell\).

Exercice 3 – Limites par opérations

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes.

1. \(a_n = \frac{3n^2 – n + 5}{1 – 2n^2}\).
2. \(b_n = \sqrt{n^2 + 3n} – n\).
3. \(c_n = \frac{2^n + 5^n}{3^n + 5^n}\).
4. \(d_n = \frac{\ln(n^2 + 1)}{\ln n}\) pour \(n \geqslant 2\).

Exercice 4 – Deux encadrements directs

1. Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(w_n = \frac{\lfloor n\sqrt{3} \rfloor}{n}\). Encadrer \(w_n\), puis déterminer sa limite.
2. Pour \(n \geqslant 2\), on pose \(z_n = \frac{n + 2\sin n}{3n – \cos n}\). Justifier que le dénominateur est strictement positif, puis montrer que \(\frac{n – 2}{3n + 1} \leqslant z_n \leqslant \frac{n + 2}{3n – 1}\). Conclure.

Exercice 5 – Suite arithmético-géométrique de raison 1/3

On définit \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \frac{u_n}{3} + 4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Déterminer le réel \(c\) tel que \(c = \frac{c}{3} + 4\).
2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis déterminer la limite de \((u_n)\).
3. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k\).

Exercice 6 – Récurrence d’ordre 2 à racines réelles

On définit \(u_0 = 3\), \(u_1 = 0\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Résoudre l’équation caractéristique associée.
2. En déduire le terme général \(u_n\) et le vérifier sur \(u_2\) et \(u_3\).
3. Déterminer la limite de \((u_n)\) et celle de \(\left(\frac{u_n}{2^n}\right)\).

Exercice 7 – Premières suites complexes

1. Soit \(z_n = \left(\frac{1 + i\sqrt{3}}{4}\right)^n\). Calculer le module de \(\frac{1 + i\sqrt{3}}{4}\) et en déduire la limite de \((z_n)\).
2. Soit \(w_n = \frac{n + i n^2}{n^2 + 2i}\) pour \(n \geqslant 1\). Déterminer la limite de \((w_n)\).
3. Soit \(t_n = e^{in\pi/2}\). Calculer \(t_{4n}\) et \(t_{4n+2}\). La suite \((t_n)\) converge-t-elle ?

Pour s’entraîner

Exercice 8 – Suites convergentes : bornes et signe

Soit \((u_n)\) une suite réelle qui converge vers \(\ell\).

1. Démontrer, à partir de la définition, que \((u_n)\) est bornée.
2. On suppose \(\ell > 0\). Montrer que \(u_n > \frac{\ell}{2}\) à partir d’un certain rang.
3. On suppose \(u_n > 0\) pour tout \(n\). Montrer que \(\ell \geqslant 0\), puis donner un exemple où \(\ell = 0\).
4. Donner un exemple de suite bornée qui diverge, en justifiant la divergence.

Exercice 9 – Encadrer une somme

1. Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}\). Encadrer chaque terme de la somme, puis déterminer la limite de \((S_n)\).
2. Soit \(x\) un réel. Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(\displaystyle T_n = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} \lfloor kx \rfloor\). Montrer que \((T_n)\) converge vers \(\frac{x}{2}\).

Exercice 10 – Un produit croissant et majoré

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(\displaystyle P_n = \prod_{k=1}^{n}\left(1 + \frac{1}{2^k}\right)\).

1. Montrer que \((P_n)\) est croissante.
2. On admet que \(\ln(1 + t) \leqslant t\) pour tout \(t > -1\). Montrer que \(P_n < e\) pour tout \(n\).
3. En déduire que \((P_n)\) converge vers une limite \(\ell\), et donner un encadrement de \(\ell\).
4. Calculer \(\displaystyle Q_n = \prod_{k=1}^{n}\left(1 + \frac{1}{k}\right)\). Que montre cet exemple ?

Exercice 11 – Suite récurrente avec deux points fixes

Soit \(f(x) = \frac{x^2 + 6}{5}\). On définit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). La figure représente la courbe de \(f\) et la droite d’équation \(y = x\).

1. Résoudre l’équation \(f(x) = x\).
2. Montrer que \(u_{n+1} – u_n = \frac{(u_n – 2)(u_n – 3)}{5}\).
3. Établir par récurrence l’encadrement \(0 \leqslant u_n \leqslant 2\), valable à chaque rang.
4. Justifier la convergence de \((u_n)\) et calculer sa limite.
5. On change la valeur initiale : \(u_0 = 4\). Montrer que \((u_n)\) est croissante, puis qu’elle tend vers \(+\infty\).

Exercice 12 – Sommes alternées et suites adjacentes

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{2k – 1}\).

1. Exprimer \(S_{2n+2} – S_{2n}\) et \(S_{2n+3} – S_{2n+1}\) pour \(n \geqslant 1\), puis préciser leur signe.
2. Montrer que les suites \((S_{2n})\) et \((S_{2n+1})\) sont adjacentes.
3. En déduire que \((S_n)\) converge vers une limite \(\ell\).
4. Calculer \(S_3\) et \(S_4\), puis en déduire un encadrement de \(\ell\).

Exercice 13 – Divergence par suites extraites

Montrer que les suites suivantes divergent.

1. \(u_n = \frac{n}{n+1}\sin\left(\frac{n\pi}{4}\right)\), dont la figure représente les premiers termes.
2. \(v_n = \lfloor n/3 \rfloor – \frac{n}{3}\).
3. \(w_n = (-1)^n \frac{n^2 + 1}{n^2 + n + 1}\).

Exercice 14 – Densité par les suites

On note \(D\) l’ensemble des nombres \(\frac{p}{2^n}\), avec \(p \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\).

1. Pour \(x\) réel, on pose \(x_n = \frac{\lfloor 2^n x \rfloor}{2^n}\). Montrer que \((x_n)\) est une suite d’éléments de \(D\) qui converge vers \(x\).
2. Soient \(a < b\) deux réels. En utilisant la question 1 avec \(x = \frac{a+b}{2}\), montrer que \(]a, b[\) contient un élément de \(D\).
3. Montrer que tout réel est limite d’une suite de nombres irrationnels. Qu’en déduit-on ?

Exercice 15 – Récurrence d’ordre 2 à racine double

On définit \(u_0 = 2\), \(u_1 = 3\) et \(u_{n+2} = 6u_{n+1} – 9u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Déterminer le terme général \(u_n\).
2. Vérifier le résultat sur \(u_2\) et \(u_3\).
3. Déterminer la limite de \((u_n)\), puis celle de \(\left(\frac{u_n}{n\,3^n}\right)\).

Exercice 16 – Récurrence d’ordre 2 à racines complexes

On définit \(u_0 = 1\), \(u_1 = 2\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} – u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Résoudre l’équation caractéristique et écrire ses racines sous forme exponentielle.
2. En déduire \(u_n = A\cos\frac{n\pi}{3} + B\sin\frac{n\pi}{3}\) avec des réels \(A\) et \(B\) à déterminer.
3. Écrire \(u_n\) sous la forme \(R\cos\left(\frac{n\pi}{3} – \alpha\right)\), puis montrer que la suite est périodique.
4. La suite \((u_n)\) converge-t-elle ?

Exercice 17 – Suite arithmético-géométrique complexe

Soit \(q = \frac{1 + i}{2}\). On définit \(z_0 = 0\) et \(z_{n+1} = q z_n + 1\) pour tout \(n\).

1. Calculer \(z_1\), \(z_2\) et \(z_3\).
2. Déterminer le complexe \(\omega\) tel que \(\omega = q\omega + 1\).
3. Exprimer \(z_n\) en fonction de \(n\), puis montrer que \((z_n)\) converge.
4. Calculer \(|z_n – \omega|\) et déterminer à partir de quel rang il est inférieur à \(10^{-2}\).

Pour approfondir

Exercice 18 – Trois suites extraites

Soit \((u_n)\) une suite réelle.

1. Démontrer que si \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) convergent vers la même limite \(\ell\), alors \((u_n)\) converge vers \(\ell\).
2. On suppose que \((u_{2n})\), \((u_{2n+1})\) et \((u_{3n})\) convergent. Montrer que \((u_n)\) converge.
3. Construire une suite \((u_n)\) telle que \((u_{2n})\) et \((u_{3n})\) convergent, mais pas \((u_n)\).

Exercice 19 – Une seule valeur d’adhérence

On dit que \(\ell\) est une valeur d’adhérence de \((u_n)\) s’il existe une suite extraite de \((u_n)\) qui converge vers \(\ell\).

1. Soit \((u_n)\) une suite bornée qui admet une seule valeur d’adhérence \(\ell\). Montrer par l’absurde que \((u_n)\) converge vers \(\ell\), en utilisant le théorème de Bolzano-Weierstrass.
2. Montrer que l’hypothèse « bornée » est indispensable, à l’aide de la suite définie par \(u_n = n\) si \(n\) est pair et \(u_n = 0\) si \(n\) est impair.
3. Déterminer les valeurs d’adhérence de \(u_n = \cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)\).

Exercice 20 – Moyennes de Cesàro

Soit \((u_n)_{n \geqslant 1}\) une suite réelle. On pose \(m_n = \frac{u_1 + u_2 + \cdots + u_n}{n}\).

1. On suppose que \(u_n \to 0\). Soit \(\varepsilon > 0\) et \(N\) tel que \(|u_k| \leqslant \varepsilon\) pour \(k > N\). Montrer que \(|m_n| \leqslant \frac{|u_1 + \cdots + u_N|}{n} + \varepsilon\) pour \(n > N\), puis que \(m_n \to 0\).
2. En déduire que si \(u_n \to \ell\) réel, alors \(m_n \to \ell\).
3. Montrer que la réciproque est fausse.
4. Application : on définit \(a_1 = 0\) et \(a_{n+1} = a_n + 2 + \frac{(-1)^n}{n}\). Montrer que \(\frac{a_n}{n}\) tend vers \(2\).

Exercice 21 – Problème – Moyennes arithmétique et harmonique

On définit \(a_0 = 8\), \(b_0 = 2\) et, pour tout \(n\),

\[a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}, \qquad b_{n+1} = \frac{2a_n b_n}{a_n + b_n}.\]

1. Calculer \(a_1\), \(b_1\), \(a_2\) et \(b_2\).
2. Vérifier que les deux suites sont bien définies et à termes strictement positifs. Établir ensuite l’identité \(a_{n+1} – b_{n+1} = \frac{(a_n – b_n)^2}{2(a_n + b_n)}\) et comparer \(a_n\) et \(b_n\).
3. Étudier le sens de variation de chacune des deux suites.
4. Majorer l’écart \(a_{n+1} – b_{n+1}\) par la moitié de \(a_n – b_n\). Que peut-on dire du couple \((a_n), (b_n)\) ?
5. Montrer que \(a_n b_n = 16\) pour tout \(n\), puis déterminer la limite commune.
6. En utilisant \(a_n + b_n \geqslant 8\), montrer que \(a_{n+1} – b_{n+1} \leqslant \frac{(a_n – b_n)^2}{16}\). Majorer alors \(a_3 – b_3\).

Pour aller plus loin

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