Convergence uniforme et normale en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Fonctions x/(x+n) sur un segment et sur la demi-droite

On définit, pour tout entier \(n\geqslant 1\), la fonction \(f_n:x\mapsto\dfrac{x}{x+n}\) sur \([0,+\infty[\).

1. Préciser vers quelle fonction \((f_n)\) tend point par point.
2. Soit \(a>0\). Établir l’uniformité de cette convergence sur \([0,a]\).
3. Évaluer \(f_n(n)\). Y a-t-il convergence uniforme sur toute la demi-droite ?

Exercice 2 – Maximum de x(1-x)^n

Sur \([0,1]\), on considère \(f_n(x)=x(1-x)^n\) et \(g_n(x)=n\,x(1-x)^n\), avec \(n\geqslant 1\).

1. Vérifier que \(f_n(x)\) et \(g_n(x)\) tendent vers \(0\) pour chaque \(x\in[0,1]\).
2. Dresser le tableau de variations de \(f_n\), puis calculer \(\|f_n\|_\infty\). Conclure quant à l’uniformité.
3. Calculer \(\|g_n\|_\infty\) et sa limite. Que dire de \((g_n)\) ?

Exercice 3 – Puissances du sinus

Sur \([0,\pi/2]\), on note \(s_n(x)=(\sin x)^n\) pour \(n\geqslant 1\).

1. Identifier la limite ponctuelle \(s\) de \((s_n)\) sur \([0,\pi/2]\).
2. Expliquer, sans calculer de norme, pourquoi l’uniformité échoue sur \([0,\pi/2]\).
3. Soit \(a\in\,]0,\pi/2[\). Prouver que \(\|s_n\|_{\infty,[0,a]}\to 0\).
4. Trouver \(x_n\in[0,\pi/2[\) tel que \(s_n(x_n)=1/2\). Qu’en conclure sur \([0,\pi/2[\) ?

Exercice 4 – Deux séries face à la convergence normale

1. Prouver que \(\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{\cos(nx)}{n^2+3}\) est normalement convergente sur \(\mathbb{R}\). Quelles propriétés de la somme en découlent ?
2. Sur \([0,+\infty[\), on note \(v_n(x)=x\,\mathrm{e}^{-nx^2}\) pour \(n\geqslant 1\). Calculer la borne supérieure de \(v_n\), puis expliquer pourquoi \(\sum v_n\) n’est pas normalement convergente sur la demi-droite.
3. Soit \(a>0\). Établir la convergence normale de \(\sum v_n\) sur \([a,+\infty[\).

Exercice 5 – Intégrer une série trigonométrique

Soit \(S(x)=\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{\sin(nx)}{n^3}\). On admet l’égalité \(\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{1}{n^4}=\dfrac{\pi^4}{90}\).

1. Justifier que \(S\) a un sens en tout réel et y est continue.
2. Pour \(n\geqslant 1\), évaluer \(\int_0^\pi\sin(nx)\,\mathrm{d}x\).
3. Établir que \(\int_0^\pi S(x)\,\mathrm{d}x=2\sum_{k\geqslant 0}\dfrac{1}{(2k+1)^4}\).
4. Donner la valeur exacte de cette intégrale.

Exercice 6 – Double limite en 1

Sur \([0,+\infty[\), on étudie \(f_n(x)=\dfrac{x^n}{1+x^n}\), pour \(n\geqslant 1\).

1. Identifier la limite ponctuelle \(f\) sur \([0,+\infty[\).
2. Comparer \(\lim_{x\to 1^-}f_n(x)\) et \(\lim_{x\to 1^-}f(x)\). Grâce à l’interversion des limites, prouver que l’uniformité échoue sur \([0,1[\).
3. Soit \(a\in\,]0,1[\) et \(b>1\). Établir l’uniformité sur \([0,a]\) puis sur \([b,+\infty[\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – n sin(x/n) et convergence locale

Pour \(n\geqslant 1\) et \(x\) réel, soit \(f_n(x)=n\sin\left(\dfrac{x}{n}\right)\).

1. Établir l’encadrement \(0\leqslant u-\sin u\leqslant\dfrac{u^3}{6}\) pour tout \(u\geqslant 0\). L’inégalité \(1-\cos u\leqslant\dfrac{u^2}{2}\) peut être admise.
2. Vers quoi \(f_n(x)\) tend-il, à \(x\) fixé ?
3. Prouver l’uniformité de la convergence sur chaque segment \([-A,A]\).
4. Évaluer \(f_n(n\pi)\). L’uniformité vaut-elle sur \(\mathbb{R}\) ?

Exercice 8 – Intégrales qui ne passent pas à la limite

Sur \([0,1]\), soit \(h_n(x)=n^2x^n(1-x)\) et \(g_n(x)=n\,x^n(1-x)\), où \(n\geqslant 1\).

1. Vérifier que les deux suites tendent ponctuellement vers \(0\).
2. Évaluer \(\int_0^1 h_n(x)\,\mathrm{d}x\) et sa limite. Qu’en conclure sur l’uniformité pour \((h_n)\) ?
3. Prouver que \(\int_0^1 g_n(x)\,\mathrm{d}x\to 0\).
4. Calculer \(\|g_n\|_\infty\) et sa limite. Quelle leçon tirer de cet exemple ?

La figure représente quelques fonctions \(h_n\) : leurs pics se déplacent vers \(1\) en grandissant.

Exercice 9 – Dériver une limite uniforme

1. Soit \(f_n(x)=x+\dfrac{\sin(n^2x)}{n}\), avec \(n\geqslant 1\) et \(x\) réel. Prouver que \((f_n)\) tend uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers une fonction \(f\) que l’on explicitera.
2. Évaluer \(f_n^{\prime}(0)\). Les dérivées \(f_n^{\prime}\) tendent-elles vers \(f^{\prime}\) point par point ?
3. Soit maintenant \(k_n(x)=x^2+\dfrac{\sin(nx)}{n^2}\). Contrôler chacune des hypothèses du théorème de dérivation, puis retrouver la dérivée de la limite.
4. Dire en une phrase ce qui fait défaut à la question 2.

Exercice 10 – Série alternée uniforme mais pas normale

Sur \([0,+\infty[\), soit \(u_n(x)=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+x}}\) pour \(n\geqslant 1\), et \(S=\sum_{n\geqslant 1}u_n\).

1. Justifier la convergence de \(\sum u_n(x)\) en chaque \(x\geqslant 0\), puis borner \(|R_n(x)|\) par une quantité libre de \(x\).
2. Qu’en déduire sur l’uniformité, puis sur la continuité de \(S\) ?
3. Expliquer pourquoi \(\sum u_n\) n’est pas normalement convergente sur la demi-droite.
4. Calculer \(\lim_{x\to+\infty}S(x)\).
5. Établir l’encadrement \(-1\leqslant S(0)\leqslant -1+\dfrac{1}{\sqrt 2}\).

Exercice 11 – Somme continue en 0 mais pas dérivable

Soit \(u_n(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-nx}}{1+n^2}\) pour \(n\geqslant 0\), et \(S(x)=\sum_{n\geqslant 0}u_n(x)\) quand la série converge.

1. Décrire l’ensemble \(D\) des réels où \(S\) est définie.
2. Prouver la continuité de \(S\) sur \(D\).
3. Établir que \(S\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0,+\infty[\), en écrivant \(S^{\prime}(x)\) sous forme de série.
4. Prouver que \(S^{\prime}(x)\to-\infty\) lorsque \(x\to 0^+\). Pourquoi \(S\) n’est-elle pas dérivable à droite en \(0\) ?
5. Calculer \(\lim_{x\to+\infty}S(x)\).

La figure trace \(S\) sur \([0,4]\) : la tangente devient verticale à l’origine.

Exercice 12 – Une somme de classe C infini

Soit \(u_n(x)=\mathrm{e}^{-x\sqrt n}\) pour \(n\geqslant 1\), et \(F=\sum_{n\geqslant 1}u_n\).

1. Prouver que \(\sum u_n(x)\) converge exactement lorsque \(x>0\), en comparant par exemple \(u_n(x)\) à \(1/n^2\).
2. Soit \(k\in\mathbb{N}\) et \(a>0\). Établir la convergence de \(\sum_n n^{k/2}\,\mathrm{e}^{-a\sqrt n}\).
3. Prouver que \(F\) est \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]0,+\infty[\) et écrire \(F^{(k)}(x)\) comme somme de série.
4. Étudier la monotonie de \(F\) et sa limite en \(+\infty\).
5. Prouver que \(F(x)\to+\infty\) lorsque \(x\to 0^+\).

Exercice 13 – Moments nuls à partir du rang 5

Soit \(f:[0,1]\to\mathbb{R}\) continue, vérifiant \(\int_0^1 t^k f(t)\,\mathrm{d}t=0\) pour chaque entier \(k\geqslant 5\).

1. Avec \(g(t)=t^5f(t)\), établir que \(\int_0^1 g(t)P(t)\,\mathrm{d}t=0\) quel que soit le polynôme réel \(P\).
2. Grâce au théorème de Weierstrass, prouver que \(\int_0^1 g^2=0\).
3. Conclure : \(f\) est identiquement nulle.

Exercice 14 – Oscillations rapides et fonctions en escalier

Soit \([a,b]\) un segment et \(\lambda>0\). Pour \(f\) continue par morceaux sur \([a,b]\), on note \(I(f,\lambda)=\int_a^b f(t)\sin(\lambda t)\,\mathrm{d}t\) et \(J(f,\lambda)=\int_a^b f(t)\cos(\lambda t)\,\mathrm{d}t\).

1. Soit \([c,d]\subset[a,b]\) et \(\varphi\) l’indicatrice de \([c,d]\). Établir que \(|I(\varphi,\lambda)|\leqslant 2/\lambda\) et \(|J(\varphi,\lambda)|\leqslant 2/\lambda\).
2. Étendre la limite nulle de \(I\) et \(J\) en \(+\infty\) à toute fonction \(\varphi\) en escalier.
3. L’étendre ensuite à toute \(f\) continue par morceaux sur \([a,b]\).
4. Application : calculer \(\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\sqrt t\,\sin^2(nt)\,\mathrm{d}t\).

Exercice 15 – Deux séries géométriques déformées

Sur \([0,1]\), soit \(u_n(x)=x^n(1-x)\) et \(v_n(x)=x^n(1-x)^2\) pour \(n\geqslant 0\).

1. Calculer la somme \(U\) de \(\sum u_n\) sur \([0,1]\). L’uniformité a-t-elle lieu sur \([0,1]\) ?
2. Calculer \(\|u_n\|_\infty\) et constater l’absence de convergence normale.
3. Calculer la somme \(V\) de \(\sum v_n\) sur \([0,1]\) et observer sa continuité.
4. Établir que \(\|v_n\|_\infty\leqslant\dfrac{4}{(n+2)^2}\). Que peut-on en conclure ?

Pour approfondir

Exercice 16 – Une fonction qui prolonge la série harmonique

Sur \([0,+\infty[\), soit \(u_n(x)=\dfrac{x}{n(n+x)}\) pour \(n\geqslant 1\), et \(f=\sum_{n\geqslant 1}u_n\). On note \(H_p=\sum_{k=1}^p\dfrac1k\).

1. Établir la convergence normale de \(\sum u_n\) sur chaque \([0,a]\), et son absence sur \([0,+\infty[\).
2. Vérifier l’identité \(u_n(x)=\dfrac1n-\dfrac{1}{n+x}\). Prouver ensuite que \(f\) est \(\mathcal{C}^1\) et croissante sur \([0,+\infty[\).
3. Établir la relation \(f(x+1)-f(x)=\dfrac{1}{x+1}\) pour \(x\geqslant 0\), puis l’égalité \(f(p)=H_p\) pour \(p\in\mathbb{N}^*\).
4. Sachant que \(H_p\sim\ln p\), prouver que \(f(x)\sim\ln x\) en \(+\infty\).
5. Minorer \(R_N(N)\) et en déduire que l’uniformité échoue sur \([0,+\infty[\).

Exercice 17 – Limites uniformes de polynômes sur R tout entier

Soit \((P_n)\) une suite de polynômes réels et \(f\) une fonction telle que \(\|P_n-f\|_{\infty,\mathbb{R}}\to 0\).

1. Trouver un rang \(N\) au-delà duquel chaque différence \(P_n-P_m\) est bornée sur \(\mathbb{R}\). Pourquoi est-elle alors constante ?
2. Prouver que \(f\) est polynomiale.
3. Soit \(T_n(x)=\sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}\). Prouver que \(\|\exp-T_n\|_{\infty,[0,1]}\to 0\), mais que l’uniformité est fausse sur \(\mathbb{R}\).
4. Prouver qu’aucune suite de polynômes n’approche uniformément le sinus sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 18 – Problème d’étude d’une série logarithmique

Soit \(u_n(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-nx}}{n}\) pour \(n\geqslant 1\), et \(S=\sum_{n\geqslant 1}u_n\) sur son domaine.

1. Prouver que le domaine de \(S\) est \(]0,+\infty[\).
2. Soit \(a>0\). Établir la convergence normale sur \([a,+\infty[\), puis la continuité de \(S\) sur \(]0,+\infty[\).
3. Prouver que \(S\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0,+\infty[\), avec \(S^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{\mathrm{e}^x-1}\).
4. Calculer \(\lim_{x\to+\infty}S(x)\) par interversion des limites.
5. Établir que \(S(x)=-\ln\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)\) pour \(x>0\). Évaluer \(\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{1}{n\,2^n}\) et \(\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{1}{n\,3^n}\).
6. Donner un équivalent de \(S\) en \(0^+\).
7. Par l’absurde, en interversant les limites en \(0\), prouver que l’uniformité échoue sur \(]0,+\infty[\).
8. Soit \(0<a<b\). Établir l’égalité \(\int_a^b-\ln\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)\mathrm{d}x=\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{\mathrm{e}^{-na}-\mathrm{e}^{-nb}}{n^2}\).

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