Espérance, variance et covariance en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une variable aux queues en inverse du carré

On considère une variable \(X\), à valeurs entières strictement positives, dont les queues valent \(P(X\geq n)=\frac{1}{n^2}\) pour \(n\geq 1\).

1. Expliciter \(P(X=n)\) et vérifier que \(X\) est presque sûrement finie.
2. Calculer \(E(X)\) à l’aide de la formule des queues. On admet la valeur \(\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\).
3. Montrer ensuite que \(X\) n’admet pas de moment d’ordre \(2\).

Exercice 2 – Loi définie par une série entière

Soit \(c\) un réel et \(X\) une variable à valeurs dans \(\mathbb{N}\) telle que \(P(X=n)=c\,(n+1)\,3^{-n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

1. Déterminer \(c\).
2. Justifier que \(X\) admet une espérance, puis calculer \(E(X)\).
3. Calculer de même \(E\big(X(X-1)\big)\), puis en déduire \(V(X)\).

Exercice 3 – Formule de transfert pour une loi de Poisson

Soit \(\lambda>0\) et \(X\) une variable de loi \(\mathcal{P}(\lambda)\).

1. Justifier l’existence de \(E\big(\frac{1}{X+1}\big)\) et la calculer.
2. Calculer de même \(E(2^X)\).
3. Calculer enfin \(E\big((-1)^X\big)\), puis en déduire la probabilité que \(X\) soit pair.

Exercice 4 – Transformation affine d’une variable géométrique

Soit \(X\) une variable de loi géométrique \(\mathcal{G}(\frac{1}{4})\).

1. Donner \(E(X)\) et \(V(X)\).
2. Calculer l’espérance et la variance de \(Y=5-2X\).
3. Exprimer la variable centrée réduite \(Z\) associée à \(X\), puis calculer \(P(Z\leq 0)\).

Exercice 5 – Covariance d’un couple à six valeurs

Le couple \((X,Y)\) prend les valeurs indiquées ci-dessous, avec \(X\in\{0,1,2\}\) et \(Y\in\{-1,1\}\). Les probabilités sont : \(P(0,-1)=\frac{1}{10}\), \(P(0,1)=\frac{2}{10}\), \(P(1,-1)=\frac{3}{10}\), \(P(1,1)=\frac{1}{10}\), \(P(2,-1)=\frac{1}{10}\) et \(P(2,1)=\frac{2}{10}\).

1. Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\).
2. Calculer \(E(X)\), \(E(Y)\), puis \(\mathrm{Cov}(X,Y)\).
3. Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
4. Calculer \(V(X+Y)\).

Exercice 6 – Produit de variables indépendantes

Soit \(X\) de loi \(\mathcal{P}(2)\) et \(Y\) de loi \(\mathcal{G}(\frac{1}{3})\), indépendantes.

1. Justifier l’existence de \(E(XY)\) et la calculer.
2. Calculer \(E(Y^2)\), puis \(E(XY^2)\).
3. Calculer \(V(XY)\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Moments de la loi géométrique par les queues

1. Soit \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\), admettant un moment d’ordre \(2\). Montrer que \(\sum_{n\geq 1}n\,P(X\geq n)=E\Big(\frac{X(X+1)}{2}\Big)\).
2. On suppose désormais que \(X\) suit la loi \(\mathcal{G}(p)\), avec \(q=1-p\). Calculer \(P(X\geq n)\), puis retrouver \(E(X)\) par la formule des queues.
3. Retrouver ensuite \(V(X)\) à l’aide de la question 1.

Exercice 8 – Minimum et maximum de deux variables géométriques

Soit \(X\) et \(Y\) indépendantes, de lois \(\mathcal{G}(\frac{1}{3})\) et \(\mathcal{G}(\frac{1}{2})\). On pose \(m=\min(X,Y)\) et \(M=\max(X,Y)\).

1. Calculer \(P(m\geq n)\) pour \(n\geq 1\). Reconnaître la loi de \(m\) et donner \(E(m)\).
2. Justifier que \(m+M=X+Y\), puis en déduire \(E(M)\).
3. Retrouver \(E(M)\) par la formule des queues, en calculant \(P(M\geq n)\).

Exercice 9 – Coefficient de corrélation et inégalité de Cauchy-Schwarz

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables réelles admettant un moment d’ordre \(2\).

1. Montrer que \(|\mathrm{Cov}(X,Y)|\leq\sigma(X)\,\sigma(Y)\).
2. On suppose \(V(X)=4\) et \(V(Y)=9\). Déterminer l’ensemble des valeurs possibles de \(V(X+Y)\) permises par la question 1.
3. Montrer que les deux bornes obtenues sont atteintes, en choisissant \(Y\) proportionnelle à \(X\).

Exercice 10 – Nombre de descentes dans une suite de lancers de dé

On lance \(n\geq 2\) fois un dé équilibré à six faces ; on note \(X_1,\dots,X_n\) les résultats, indépendants. Pour \(1\leq i\leq n-1\), on note \(I_i\) l’indicatrice de l’événement \((X_i>X_{i+1})\), et \(D=\sum_{i=1}^{n-1}I_i\) le nombre de descentes.

1. Montrer que \(P(X_i>X_{i+1})=\frac{5}{12}\), puis calculer \(E(D)\).
2. Calculer \(P(X_i>X_{i+1}>X_{i+2})\), puis \(\mathrm{Cov}(I_i,I_{i+1})\).
3. Justifier que \(\mathrm{Cov}(I_i,I_j)=0\) dès que \(|i-j|\geq 2\).
4. En déduire que \(V(D)=\frac{35(n+1)}{432}\).

Exercice 11 – Écart moyen entre deux tirages uniformes

Soit \(n\geq 2\) et \(X\), \(Y\) deux variables indépendantes, uniformes sur \(\{1,\dots,n\}\).

1. À l’aide de la formule de transfert pour un couple, montrer que \(E(|X-Y|)=\frac{2}{n^2}\sum_{d=1}^{n-1}d\,(n-d)\).
2. En déduire que \(E(|X-Y|)=\frac{n^2-1}{3n}\).
3. Calculer de plus \(E\big((X-Y)^2\big)\), en utilisant \(V(X)=\frac{n^2-1}{12}\).

Exercice 12 – Covariances autour d’une somme de lois de Poisson

Soit \(\lambda,\mu>0\), et \(X\), \(Y\) indépendantes de lois \(\mathcal{P}(\lambda)\) et \(\mathcal{P}(\mu)\). On pose \(S=X+Y\) et \(T=X-Y\).

1. Calculer \(\mathrm{Cov}(X,S)\) et le coefficient de corrélation \(\rho(X,S)\).
2. Calculer \(V(T)\) et \(\mathrm{Cov}(T,S)\).
3. On suppose \(\lambda=\mu\). Montrer que \(T\) et \(S\) ne sont pas corrélées, mais qu’elles ne sont pas indépendantes.

Exercice 13 – Espérance finie sans variance

Une variable \(X\), à valeurs entières strictement positives, a pour queues \(P(X\geq n)=\frac{2}{n(n+1)}\), pour \(n\geq 1\).

1. Montrer que \(P(X=n)=\frac{4}{n(n+1)(n+2)}\).
2. Calculer \(E(X)\) par la formule des queues.
3. Montrer que \(X\) n’admet pas de moment d’ordre \(2\).
4. Pour \(a>0\), déterminer à quelle condition la variable \(X^a\) est d’espérance finie.

Exercice 14 – Nombre de faces distinctes obtenues

On lance \(n\geq 1\) fois un dé équilibré à six faces. Soit \(D\) le nombre de faces différentes obtenues. Pour \(1\leq k\leq 6\), on note \(J_k\) l’indicatrice de l’événement « la face \(k\) sort au moins une fois ». On pose \(a=\big(\frac{5}{6}\big)^n\) et \(b=\big(\frac{4}{6}\big)^n\).

1. Exprimer \(D\) à l’aide des \(J_k\), puis montrer que \(E(D)=6(1-a)\).
2. Pour \(k\neq l\), calculer \(P(J_k=1,J_l=1)\), puis montrer que \(\mathrm{Cov}(J_k,J_l)=b-a^2\).
3. En déduire \(V(D)\) en fonction de \(a\) et \(b\), puis donner sa valeur pour \(n=3\).

Pour approfondir

Exercice 15 – Minorer une probabilité par Cauchy-Schwarz

Soit \(X\) une variable réelle positive admettant un moment d’ordre \(2\), avec \(E(X)>0\).

1. En écrivant \(X=X\,\mathbf{1}_{(X>0)}\), montrer que \(P(X>0)\geq\frac{E(X)^2}{E(X^2)}\).
2. Appliquer ce résultat à \(X\) de loi \(\mathcal{P}(\lambda)\). Vérifier directement l’inégalité obtenue.
3. On reprend le nombre \(N\) de doubles piles consécutifs dans \(n\geq 2\) lancers d’une pièce équilibrée, pour lequel \(E(N)=\frac{n-1}{4}\) et \(V(N)=\frac{5n-7}{16}\). Minorer \(P(N>0)\), puis étudier la limite de ce minorant quand \(n\to+\infty\).

Exercice 16 – Covariances égales et tirages sans remise

Soit \(X_1,\dots,X_N\) des variables réelles admettant un moment d’ordre \(2\), de même variance \(\sigma^2\), et telles que \(\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=c\) pour tous \(i\neq j\). Pour \(1\leq n\leq N\), on pose \(S_n=X_1+\dots+X_n\).

1. Montrer que \(V(S_n)=n\sigma^2+n(n-1)c\). En déduire que \(c\geq-\frac{\sigma^2}{N-1}\) lorsque \(N\geq 2\).
2. Une urne contient \(N\geq 2\) boules dont \(B\) blanches, avec \(0<B<N\). On les tire toutes, une à une et sans remise, et \(X_i\) est l’indicatrice de l’événement « la \(i\)-ième boule est blanche ». On admet que \(P(X_i=1)=\frac{B}{N}\) et que \(P(X_i=1,X_j=1)=\frac{B(B-1)}{N(N-1)}\) pour \(i\neq j\). Calculer \(\sigma^2\) et \(c\).
3. Retrouver la valeur de \(c\) en remarquant que \(S_N\) est constante.
4. En déduire que \(V(S_n)=n\sigma^2\,\frac{N-n}{N-1}\), puis calculer cette variance pour \(N=10\), \(B=4\) et \(n=5\).

Exercice 17 – Problème : compléter un album de vignettes

Un album comporte \(n\geq 1\) vignettes différentes. On achète des vignettes une à une ; chacune est l’une des \(n\) vignettes avec la même probabilité, indépendamment des autres. Soit \(T_n\) le nombre d’achats nécessaires pour compléter l’album. Pour \(1\leq k\leq n\), on note \(W_k\) le nombre d’achats effectués entre l’obtention de la \((k-1)\)-ième vignette nouvelle (exclue) et celle de la \(k\)-ième (incluse). On admet que \(W_k\) suit la loi géométrique de paramètre \(p_k=\frac{n-k+1}{n}\) et que \(W_1,\dots,W_n\) sont indépendantes.

1. Justifier que \(T_n=W_1+\dots+W_n\), puis montrer que \(E(T_n)=n\,H_n\), où \(H_n=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}\).
2. Calculer \(E(T_4)\) et \(V(T_4)\).
3. Montrer que \(V(T_n)=\sum_{j=1}^{n}\frac{n(n-j)}{j^2}\), puis que \(V(T_n)\leq\frac{\pi^2}{6}\,n^2\).
4. Montrer que \(\frac{\sigma(T_n)}{E(T_n)}\) tend vers \(0\) quand \(n\to+\infty\). Interpréter ce résultat.

Exercice 18 – Problème : nombres de 1 et de 6 dans des lancers de dé

On lance \(n\geq 1\) fois un dé équilibré. Soit \(N_1\) le nombre de lancers donnant \(1\) et \(N_6\) le nombre de lancers donnant \(6\). Pour \(1\leq i\leq n\), on note \(A_i\) et \(B_i\) les indicatrices des événements « le lancer \(i\) donne \(1\) » et « le lancer \(i\) donne \(6\) ».

1. Donner la loi de \(N_1\), son espérance et sa variance.
2. Calculer \(\mathrm{Cov}(A_i,B_i)\), puis justifier que \(\mathrm{Cov}(A_i,B_j)=0\) pour \(i\neq j\).
3. En déduire \(\mathrm{Cov}(N_1,N_6)\) et le coefficient de corrélation \(\rho(N_1,N_6)\).
4. Calculer \(E(N_1N_6)\) et \(V(N_1-N_6)\).
5. Expliquer pourquoi le signe de la covariance était prévisible.

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