Compacts et applications continues en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Trois parties du plan à trier

On munit \(\mathbb{R}^2\) de sa norme euclidienne. On considère les trois parties suivantes.

• \(K = \{(x,y) : x^2 + 4y^2 \leq 4 \text{ et } x + y \geq 1\}\) ;
• \(A = \{(x,y) : xy = 1\}\) ;
• \(B = \{(x,y) : 0 < x^2 + y^2 \leq 1\}\).

La partie \(K\) est représentée ci-dessous.

1. Montrer que \(K\) est compacte et non vide.
2. Déterminer les deux points d’intersection de l’ellipse \(x^2 + 4y^2 = 4\) avec la droite \(x + y = 1\).
3. Montrer que \(A\) est fermée mais pas compacte.
4. Montrer que \(B\) est bornée mais pas compacte.

Exercice 2 – Normes subordonnées d’une matrice 2 × 2

Soit \(M = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\), vue comme endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\).

1. Calculer la norme de \(M\) subordonnée à \(\|\cdot\|_\infty\), en exhibant un vecteur qui la réalise.
2. Calculer de même la norme de \(M\) subordonnée à \(\|\cdot\|_1\).
3. En déduire une majoration de \(\|M^5 x\|_1\) en fonction de \(\|x\|_1\).

Exercice 3 – Deux formes linéaires d’évaluation

Sur \(\mathbb{R}[X]\), on pose \(N(P) = \max \{ |P(t)| \ ;\ -1 \leq t \leq 1 \}\).

1. Justifier que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}[X]\).
2. Montrer que la forme linéaire \(\varphi : P \mapsto P(3)\) n’est pas continue pour \(N\).
3. Montrer que \(\psi : P \mapsto P(1/2)\) est continue et déterminer sa norme subordonnée.

Exercice 4 – Sous le graphe ou loin de l’axe

Dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(C = \{(x,y) : y \geq x^2\}\) et \(D = \{(x,y) : |y| \geq 1\}\).

1. Montrer que \(C\) est convexe. Que peut-on en déduire ?
2. Montrer que \(D\) n’est pas connexe par arcs.
3. Déterminer les composantes connexes par arcs de \(D\).

Exercice 5 – Extremums de x²y sur le disque unité

Soit \(\Delta = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\}\) et \(f(x,y) = x^2 y\).

1. Justifier que \(f\) admet un maximum et un minimum sur \(\Delta\).
2. À l’aide des coordonnées polaires, calculer ce maximum et préciser en quels points il est atteint.
3. En déduire le minimum de \(f\) sur \(\Delta\).

Exercice 6 – Heine pour la racine carrée

1. Justifier, sans calcul, que \(x \mapsto \sqrt{x}\) est uniformément continue sur \([0,1]\).
2. Établir l’inégalité \((\sqrt{x} – \sqrt{y})^2 \leq |x – y|\) pour \(x, y \geq 0\), puis retrouver le résultat précédent sur \([0,+\infty[\) tout entier.
3. Montrer que \(x \mapsto \sqrt{x}\) n’est pas lipschitzienne sur \([0,1]\).
4. Montrer que \(g : x \mapsto x^2\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\), en utilisant les suites \(a_n = n + 1/n\) et \(b_n = n\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Une seule valeur d’adhérence

Soit \(K\) une partie compacte d’un espace normé \(E\) et \((u_n)\) une suite de \(K\) qui possède une unique valeur d’adhérence \(a\).

1. Montrer que \((u_n)\) converge vers \(a\).
2. Montrer, par un exemple dans \(\mathbb{R}\), que le résultat tombe si l’on retire l’hypothèse de compacité.
3. Application : soit \(f : K \to \mathbb{R}\) continue, qui atteint son minimum en un unique point \(a\). Montrer que toute suite \((x_n)\) de \(K\) telle que \(f(x_n) \to f(a)\) converge vers \(a\).

Exercice 8 – Distance d’un point à une parabole

On note \(\mathcal{P}\) la parabole d’équation \(y = x^2\) et \(A = (0,2)\). Le plan est muni de la norme euclidienne.

1. Montrer que \(\mathcal{P}\) est fermée.
2. Montrer que la distance de \(A\) à \(\mathcal{P}\) est atteinte en au moins un point.
3. Calculer cette distance et les points de \(\mathcal{P}\) qui la réalisent.

Exercice 9 – Compact plus fermé, fermé plus fermé

Soit \(E\) un espace normé. Pour deux parties \(X\) et \(Y\), on note \(X + Y\) l’ensemble des \(x + y\) avec \(x \in X\) et \(y \in Y\).

1. Soit \(K\) compact et \(F\) fermé. Montrer que \(K + F\) est fermé.
2. Dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(F_1 = \{(x,y) : xy = 1,\ x > 0\}\) et \(F_2 = \mathbb{R} \times \{0\}\). Montrer que \(F_1\) et \(F_2\) sont fermés.
3. Déterminer \(F_1 + F_2\) et montrer que cette partie n’est pas fermée.

Exercice 10 – Norme d’un opérateur de primitivation pondérée

Soit \(E\) l’espace des fonctions réelles continues sur \([0,1]\), muni de la norme uniforme \(\|\cdot\|_\infty\). Pour \(f \in E\), on définit \(T(f)\) par \(T(f)(x) = \int_0^x t\,f(t)\,dt\).

1. Montrer que \(T\) est un endomorphisme continu de \(E\) et que \(|||T||| = 1/2\).
2. Que donne la sous-multiplicativité pour \(|||T \circ T|||\) ?
3. Calculer exactement \(|||T \circ T|||\) et comparer.

Exercice 11 – Matrices triangulaires à diagonale positive

Soit \(n \geq 2\). On note \(\mathcal{T}\) l’ensemble des matrices réelles triangulaires supérieures de taille \(n\) dont tous les coefficients diagonaux sont strictement positifs.

1. Montrer que \(\mathcal{T}\) est convexe et qu’elle est incluse dans le groupe des matrices inversibles.
2. En déduire que toute matrice de \(\mathcal{T}\) peut être reliée à \(I_n\) par un chemin de matrices inversibles.
3. Montrer en revanche que \(I_n\) et \(I_n – 2E_{11}\) ne peuvent pas être reliées par un tel chemin.
4. La partie \(\mathcal{T}\) est-elle ouverte dans l’espace des matrices triangulaires supérieures ? fermée ?

Exercice 12 – Une partie étoilée non convexe

On considère \(E = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \leq 1\}\), représentée en vert.

1. Montrer que \(E\) est étoilée par rapport à l’origine.
2. Montrer que \(E\) n’est pas convexe.
3. La partie \(E\) est-elle fermée ? compacte ? connexe par arcs ?

Exercice 13 – Ouverts et fermés définis par des polynômes

On travaille dans l’espace des matrices réelles carrées de taille \(2\), muni d’une norme quelconque.

1. Montrer que \(\Omega = \{M : (\mathrm{tr}\,M)^2 – 4\det M > 0\}\) est ouvert. Interpréter \(\Omega\) en termes de valeurs propres.
2. Montrer que \(\Omega\) n’est pas fermée.
3. Montrer que l’ensemble \(\mathcal{F}\) des matrices \(M\) telles que \(M^2 = M\) est fermé.
4. Montrer, à l’aide des matrices \(\begin{pmatrix} 1 & c \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), que \(\mathcal{F}\) n’est pas compacte.

Exercice 14 – Une forme bilinéaire sur les fonctions continues

Sur l’espace \(E\) des fonctions réelles continues sur \([0,1]\), on pose \(B(f,g) = \int_0^1 f(t)\,g(t)\,e^t\,dt\).

1. On munit \(E\) de \(\|\cdot\|_\infty\). Montrer que \(B\) est continue et trouver la meilleure constante \(k\) telle que \(|B(f,g)| \leq k\,\|f\|_\infty \|g\|_\infty\).
2. On munit maintenant \(E\) de \(\|f\|_1 = \int_0^1 |f|\). Pour \(n \geq 1\), on pose \(h_n(t) = \max(0,\ 1 – nt)\). Calculer \(\|h_n\|_1\) et minorer \(B(h_n,h_n)\).
3. En déduire que \(B\) n’est pas continue pour \(\|\cdot\|_1\).

Exercice 15 – Minimum global d’une fonction coercive

Soit \(f(x,y) = x^4 + y^4 – 4xy\) sur \(\mathbb{R}^2\), et \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).

1. Montrer que \(x^4 + y^4 \geq r^4/2\) et que \(4|xy| \leq 2r^2\).
2. En déduire que \(f(x,y) \geq 0\) dès que \(r \geq 2\).
3. Montrer que \(f\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}^2\).
4. Déterminer les points critiques de \(f\), puis la valeur de ce minimum.

Exercice 16 – Normes non équivalentes sur les polynômes

Pour \(P = \sum_k a_k X^k \in \mathbb{R}[X]\), on pose \(N_1(P) = \sum_k |a_k|\), \(N_\infty(P) = \max_k |a_k|\) et \(N(P) = \max_{[0,1]} |P|\).

1. Montrer que \(N_\infty \leq N_1\), puis que ces deux normes ne sont pas équivalentes.
2. Montrer que \(N \leq N_1\). À l’aide de \((1 – X)^n\), montrer que \(N\) et \(N_1\) ne sont pas équivalentes.
3. Montrer que la dérivation \(D : P \mapsto P^{\prime}\) n’est pas continue de \((\mathbb{R}[X], N_\infty)\) dans lui-même.
4. Justifier que la restriction de \(D\) à \(\mathbb{R}_5[X]\) est continue pour \(N_\infty\) et calculer sa norme subordonnée.

Pour approfondir

Exercice 17 – Une norme subordonnée non atteinte

On reprend l’espace \(E\) des fonctions réelles continues sur \([0,1]\), avec la norme uniforme, et on pose \(\theta(f) = \int_0^1 (2t – 1) f(t)\,dt\).

1. Montrer que \(\theta\) est continue et que \(|||\theta||| \leq 1/2\).
2. Pour \(n \geq 1\), soit \(f_n(t) = \min(1, \max(-1,\ n(2t – 1)))\). Calculer \(\theta(f_n)\) et en déduire \(|||\theta|||\).
3. Montrer qu’il n’existe aucune \(f \in E\) telle que \(\|f\|_\infty \leq 1\) et \(\theta(f) = 1/2\).
4. Expliquer pourquoi ce phénomène est impossible en dimension finie.

Exercice 18 – Connexité par arcs de GLn(C)

Soit \(n \geq 1\), et \(A\), \(B\) deux matrices complexes inversibles de taille \(n\).

1. Montrer que \(Q(z) = \det((1 – z)A + zB)\) définit un polynôme non nul en \(z\), et que \(0\) et \(1\) n’en sont pas racines.
2. Pour \(\lambda \in \mathbb{R}\), on pose \(\gamma_\lambda(s) = s + i\lambda s(1 – s)\) pour \(s \in [0,1]\). Montrer que deux chemins \(\gamma_\lambda\) et \(\gamma_\mu\) avec \(\lambda \neq \mu\) n’ont en commun que leurs extrémités.
3. En déduire qu’il existe \(\lambda\) tel que \(\gamma_\lambda\) évite toutes les racines de \(Q\).
4. Conclure que le groupe des matrices complexes inversibles est connexe par arcs, puis expliquer pourquoi l’argument échoue pour les matrices réelles.

Exercice 19 – Problème de point fixe sans contraction uniforme

Soit \(K\) une partie compacte non vide d’un espace normé \(E\) et \(f : K \to K\) telle que \(\|f(x) – f(y)\| < \|x – y\|\) pour tous \(x \neq y\) de \(K\).

Partie A : existence et unicité.

1. Montrer que \(f\) est continue, puis que \(g : x \mapsto \|f(x) – x\|\) atteint son minimum en un point \(a\) de \(K\).
2. Montrer que \(f(a) = a\), puis que \(a\) est le seul point fixe de \(f\).

Partie B : convergence des itérées. Soit \(x_0 \in K\) et \(x_{n+1} = f(x_n)\). On pose \(d_n = \|x_n – a\|\).

1. Montrer que \((d_n)\) converge vers un réel \(\ell \geq 0\).
2. Soit \(b\) une valeur d’adhérence de \((x_n)\). Montrer que \(\|b – a\| = \ell\) et \(\|f(b) – a\| = \ell\).
3. En déduire que \(\ell = 0\), puis que \((x_n)\) converge vers \(a\).

Partie C : exemples.

1. Montrer que \(\sin\) vérifie les hypothèses sur \(K = [0,1]\), mais qu’aucune constante \(k < 1\) ne vérifie \(|\sin x – \sin y| \leq k|x – y|\) sur \(K\).
2. Soit \(h(x) = x + 1/x\) sur \(I = [1,+\infty[\). Montrer que \(h(I) \subset I\), que \(|h(x) – h(y)| < |x – y|\) pour \(x \neq y\) dans \(I\), et que \(h\) n’a aucun point fixe. Quelle hypothèse fait défaut ?

Pour aller plus loin

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