Tribus et probabilités en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Injection explicite de Z² dans N

On note \(\varphi\) la bijection de \(\mathbb{Z}\) sur \(\mathbb{N}\) définie par \(\varphi(n) = 2n\) si \(n \geqslant 0\) et \(\varphi(n) = -2n – 1\) si \(n < 0\).

1. Calculer \(\varphi(-3)\), \(\varphi(4)\) et l’antécédent de 7.
2. Montrer que l’application \(g : \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{N}\) définie par \(g(a,b) = 2^{\varphi(a)} \, 3^{\varphi(b)}\) est injective.
3. En déduire que \(\mathbb{Z}^2\) est dénombrable. Ensuite, montrer que l’ensemble des points du plan à coordonnées rationnelles est dénombrable.

Exercice 2 – Tribu engendrée par trois blocs

On pose \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\), et l’on considère les parties \(U = \{1,2\}\) et \(V = \{1,2,3\}\).

1. Déterminer la plus petite tribu \(\mathcal{T}\) sur \(\Omega\) contenant \(U\) et \(V\). Préciser son nombre d’éléments.
2. L’ensemble \(\{2,3\}\) appartient-il à \(\mathcal{T}\) ? Et \(\{3,4,5,6\}\) ?
3. Enfin, on munit \(\Omega\) de la probabilité uniforme. Les événements \(U\) et \(V\) sont-ils indépendants ?

Exercice 3 – Constante de normalisation d’une loi sur N*

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(p_n = \dfrac{c}{n(n+1)(n+2)}\), où \(c\) est un réel.

1. Trouver un réel \(\alpha\) tel que, pour tout \(n \geqslant 1\), \(\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \alpha\Big(\dfrac{1}{n(n+1)} – \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\Big)\).
2. En déduire la valeur de \(c\) pour laquelle \((p_n)_{n \geqslant 1}\) définit une probabilité \(P\) sur \(\mathbb{N}^*\).
3. Calculer \(P(\{k, k+1, k+2, \dots\})\) pour tout \(k \geqslant 1\), puis \(P(\{1,2,3\})\).

Exercice 4 – Traduire des événements en unions et intersections

On lance indéfiniment une pièce. Pour \(n \geqslant 1\), on note \(P_n\) l’événement « le \(n\)-ième lancer donne pile ». Écrire à l’aide des \(P_n\), de leurs complémentaires, de réunions et d’intersections les événements suivants.

1. L’événement \(A\) : « on obtient au moins un pile ».
2. Ensuite, \(B\) : « tous les lancers de rang pair donnent face ».
3. De même, \(C\) : « on n’obtient que des piles à partir d’un certain rang ».
4. Puis \(D\) : « on n’obtient jamais deux faces consécutives ».
5. Enfin, \(E\) : « le premier pile apparaît au rang 5 ».

Exercice 5 – Majorer une réunion par la sous-additivité

Soit \((A_n)_{n \geqslant 1}\) une suite d’événements d’un espace probabilisé tels que \(P(A_n) = 3^{-n}\) pour tout \(n \geqslant 1\).

1. Montrer que \(P\big(\bigcup_{n \geqslant 1} A_n\big) \leqslant \dfrac12\).
2. Pour \(N \geqslant 1\), majorer \(P\big(\bigcup_{n \geqslant N} A_n\big)\) et en déduire sa limite quand \(N\) tend vers \(+\infty\).
3. Enfin, montrer que l’événement « une infinité des \(A_n\) sont réalisés » est négligeable.

Exercice 6 – Trois ateliers et une pièce défectueuse

Une usine fabrique des pièces dans trois ateliers. L’atelier \(X\) produit 50 % des pièces, l’atelier \(Y\) en produit 30 % et l’atelier \(Z\) les 20 % restants. Les proportions de pièces défectueuses sont 2 % pour \(X\), 3 % pour \(Y\) et 5 % pour \(Z\). On prélève une pièce au hasard dans la production.

1. Calculer la probabilité que la pièce soit défectueuse.
2. La pièce est défectueuse. Calculer la probabilité qu’elle provienne de l’atelier \(Z\).
3. Enfin, quel atelier est le plus probable sachant que la pièce n’est pas défectueuse ?

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Parties finies de N

On note \(\mathcal{F}\) l’ensemble des parties finies de \(\mathbb{N}\). Pour \(A \in \mathcal{F}\), on pose \(s(A) = \sum_{a \in A} 2^a\), avec \(s(\varnothing) = 0\).

1. Calculer \(s(\{0, 2, 5\})\) et déterminer la partie \(A\) telle que \(s(A) = 44\).
2. Montrer que \(s\) est une bijection de \(\mathcal{F}\) sur \(\mathbb{N}\).
3. En déduire que \(\mathcal{F}\) est dénombrable. Montrer ensuite, à l’aide de l’exercice 9, que l’ensemble des parties infinies de \(\mathbb{N}\) n’est pas dénombrable.

Exercice 8 – Nombres algébriques et existence de transcendants

Un réel \(x\) est dit algébrique s’il existe un polynôme non nul \(Q \in \mathbb{Q}[X]\) tel que \(Q(x) = 0\).

1. Montrer que, pour tout \(d \in \mathbb{N}\), l’ensemble \(\mathbb{Q}_d[X]\) des polynômes de degré au plus \(d\) à coefficients rationnels est dénombrable.
2. En déduire que \(\mathbb{Q}[X]\) est dénombrable.
3. Ensuite, montrer que l’ensemble des réels algébriques est dénombrable.
4. Par conséquent, justifier qu’il existe des réels non algébriques, et même que leur ensemble n’est pas dénombrable.

Exercice 9 – Argument diagonal pour les suites binaires

1. Soit \(f : \mathbb{N} \to \{0,1\}^{\mathbb{N}}\) une application. On note \(f(k) = (f(k)_n)_{n \in \mathbb{N}}\). Construire une suite binaire qui n’est pas dans l’image de \(f\).
2. En déduire que \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\) n’est pas dénombrable.
3. De plus, montrer que \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\) n’est pas dénombrable, en l’identifiant à \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\).
4. Enfin, montrer que l’ensemble des suites strictement croissantes d’entiers naturels n’est pas dénombrable.

La figure illustre la construction de la question 1 sur les premières lignes d’une énumération.

Exercice 10 – Intersection et réunion de deux tribus

1. Soit \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) deux tribus sur un même ensemble \(\Omega\). Montrer que \(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}\) est une tribu sur \(\Omega\).
2. Plus généralement, montrer qu’une intersection quelconque de tribus sur \(\Omega\) est une tribu.
3. Sur \(\Omega = \{1,2,3\}\), on pose \(\mathcal{A} = \{\varnothing, \{1\}, \{2,3\}, \Omega\}\) et \(\mathcal{B} = \{\varnothing, \{2\}, \{1,3\}, \Omega\}\). Vérifier que ce sont des tribus, puis montrer que \(\mathcal{A} \cup \mathcal{B}\) n’en est pas une.
4. Enfin, déterminer la plus petite tribu contenant \(\mathcal{A} \cup \mathcal{B}\).

Exercice 11 – Succès de plus en plus rares

On réalise une suite d’épreuves indépendantes. Pour \(k \geqslant 1\), la \(k\)-ième épreuve est un succès avec la probabilité \(s_k = \dfrac{2}{(k+1)(k+2)}\).

1. Vérifier que \(1 – s_k = \dfrac{k(k+3)}{(k+1)(k+2)}\).
2. Calculer la probabilité \(q_n\) qu’aucune des \(n\) premières épreuves ne soit un succès.
3. En déduire la probabilité de n’obtenir aucun succès. L’obtention d’au moins un succès est-elle presque sûre ?
4. Calculer ensuite la probabilité que le premier succès ait lieu à la \(n\)-ième épreuve.
5. Reprendre la question 3 lorsque \(s_k = \dfrac{1}{k+1}\).

Exercice 12 – Deux piles consécutifs arrivent presque sûrement

Une pièce truquée tombe sur pile avec la probabilité \(p \in \,]0,1[\). On la jette une infinité de fois, chaque jet étant indépendant des autres.

1. Pour \(k \geqslant 1\), on note \(G_k\) l’événement « les lancers \(2k-1\) et \(2k\) donnent tous deux pile ». Calculer \(P(G_k)\) et justifier que les \(G_k\) sont mutuellement indépendants.
2. Montrer ensuite que l’événement « on obtient au moins une fois deux piles consécutifs » est presque sûr.
3. Enfin, montrer plus précisément que l’événement « on obtient une infinité de fois deux piles consécutifs » est presque sûr.

Exercice 13 – Un nombre aléatoire de lancers

On choisit d’abord un entier \(N \geqslant 1\) au hasard, avec \(P(N = n) = \dfrac{1}{n(n+1)}\). Puis on lance \(N\) fois une pièce équilibrée, de manière indépendante. On note \(T\) l’événement « tous les lancers effectués donnent pile ».

1. Vérifier que la loi de \(N\) est bien une probabilité sur \(\mathbb{N}^*\).
2. Rappeler, pour \(x \in [0,1[\), les sommes \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{x^n}{n}\) et \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{x^n}{n+1}\) (pour \(x \neq 0\)).
3. Calculer \(P(T)\).
4. Enfin, sachant \(T\), quelle est la probabilité que l’on ait lancé la pièce une seule fois ?

L’arbre suivant décrit l’expérience sur ses premières branches.

Exercice 14 – Réunion dénombrable d’événements négligeables

Soit \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) un espace probabilisé.

1. Soit \((N_k)\) une suite d’événements négligeables. Montrer que leur réunion est négligeable.
2. De même, pour une suite \((S_k)\) d’événements presque sûrs, montrer que leur intersection est presque sûre.
3. Ensuite, pour un événement \(A\) et un événement négligeable \(N\), montrer que \(P(A \cup N) = P(A \setminus N) = P(A)\).
4. On munit maintenant \(\mathbb{N}\) de la probabilité définie par \(P(\{0\}) = 1\). Donner un événement négligeable non vide, et un événement presque sûr différent de \(\mathbb{N}\).
5. Enfin, peut-on avoir, sur \(\mathbb{N}\) muni de \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\), une probabilité pour laquelle seul l’ensemble vide est négligeable ? Donner un exemple ou prouver que non.

Exercice 15 – Indépendance deux à deux sans indépendance mutuelle

On tire au hasard une boule dans une urne contenant quatre boules numérotées 2, 3, 5 et 30, avec équiprobabilité. Pour \(d \in \{2,3,5\}\), on note \(M_d\) l’événement « le numéro tiré est divisible par \(d\) ».

1. Calculer \(P(M_2)\), \(P(M_3)\) et \(P(M_5)\).
2. Vérifier que, pris par paires, \(M_2\), \(M_3\) et \(M_5\) satisfont la règle du produit.
3. La famille des trois événements est-elle mutuellement indépendante ?
4. Comparer \(P(M_2 \cap M_3 \cap M_5)\) et \(P(M_2)\,P(M_3 \cap M_5)\). Que peut-on en conclure ?

Pour approfondir

Exercice 16 – Familles d’intervalles ouverts disjoints

1. Soit \(\mathcal{I}\) un ensemble d’intervalles ouverts non vides de \(\mathbb{R}\), deux à deux disjoints. Construire une injection de \(\mathcal{I}\) dans \(\mathbb{Q}\) et en déduire que \(\mathcal{I}\) est au plus dénombrable.
2. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction croissante. Pour tout réel \(a\), on note \(f(a^-)\) et \(f(a^+)\) les limites à gauche et à droite en \(a\). Montrer que \(f\) est continue en \(a\) si et seulement si \(f(a^-) = f(a^+)\).
3. Ensuite, montrer que, si \(a < b\), les intervalles \(]f(a^-), f(a^+)[\) et \(]f(b^-), f(b^+)[\) sont disjoints.
4. En déduire que l’ensemble des points de discontinuité d’une fonction croissante sur \(\mathbb{R}\) est au plus dénombrable.
5. Enfin, soit \(P\) une probabilité sur \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\), où \(\mathcal{B}\) est une tribu contenant les intervalles. Montrer que l’ensemble des réels \(x\) tels que \(P(\{x\}) > 0\) est au plus dénombrable. On pourra considérer, pour \(m \geqslant 1\), les réels tels que \(P(\{x\}) > 1/m\).

La figure illustre la question 1 : chaque intervalle reçoit un rationnel qui lui est propre.

Exercice 17 – Problème – Temps d’attente du motif pile puis face

Les lancers d’une pièce équilibrée se succèdent indéfiniment, de façon indépendante. On note \(T\) le rang du lancer où apparaît pour la première fois le motif « pile puis face », c’est-à-dire le plus petit \(n \geqslant 2\) tel que le lancer \(n-1\) donne pile et le lancer \(n\) donne face. Par convention, \(T = +\infty\) si ce motif n’apparaît jamais.

1. Soit \(n \geqslant 2\). Montrer que \(T = n\) si et seulement si les \(n\) premiers lancers forment un mot de la forme « \(k\) faces, puis \(n-1-k\) piles, puis une face », avec \(0 \leqslant k \leqslant n-2\).
2. En déduire que \(P(T = n) = \dfrac{n-1}{2^n}\).
3. Calculer \(\sum_{n \geqslant 2} P(T = n)\) à l’aide de la série dérivée de la série géométrique. Que peut-on en conclure pour l’événement \((T = +\infty)\) ?
4. Par ailleurs, retrouver ce résultat par continuité monotone, en majorant \(P(T > 2m)\) par la méthode des blocs.
5. Calculer la probabilité que \(T\) soit pair.
6. Pour \(n \geqslant 2\), calculer la probabilité que le premier lancer soit pile sachant \(T = n\).
7. Enfin, les événements \((T = n)\), pour \(n \geqslant 2\), forment-ils un système complet ? Un système quasi-complet ? Retrouver la probabilité que le premier lancer soit pile à l’aide de la formule des probabilités totales.

Exercice 18 – Problème – Pas de probabilité uniforme sur N

On munit \(\mathbb{N}^*\) de la tribu \(\mathcal{P}(\mathbb{N}^*)\).

1. Montrer qu’il n’existe aucune probabilité \(P\) sur \(\mathbb{N}^*\) telle que \(P(\{n\})\) soit indépendant de \(n\).
2. Pour une partie \(A\) de \(\mathbb{N}^*\), on note \(A + 1 = \{a + 1, \ a \in A\}\). Montrer qu’aucune probabilité sur \(\mathbb{N}^*\) ne vérifie \(P(A+1) = P(A)\) pour toute partie \(A\).
3. Soit \(P\) une probabilité quelconque sur \(\mathbb{N}^*\). Montrer que \(P(\{n, n+1, n+2, \dots\})\) tend vers 0 quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
4. On considère désormais la probabilité \(P\) définie par \(P(\{n\}) = 2^{-n}\). Pour \(k \geqslant 1\), on note \(D_k\) l’ensemble des multiples de \(k\) dans \(\mathbb{N}^*\). Calculer \(P(D_k)\).
5. Les événements \(D_2\) et \(D_3\) sont-ils indépendants pour cette probabilité ?
6. Calculer la probabilité que le numéro tiré soit impair, puis la probabilité qu’il soit premier avec 6.
7. Enfin, calculer la probabilité que le numéro tiré soit multiple de 4 sachant qu’il est pair.

Pour aller plus loin

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