Domination et théorèmes d’échange : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : domination et théorèmes d’échange

Le sujet du contrôle : domination et théorèmes d’échange

Exercice 1 – Un sinus écrasé sous l’intégrale (3 points)

Pour \(n \geq 1\) et \(t > 0\), on pose \(f_n(t) = \dfrac{n\sin(t/n)}{t(1+t^2)}\), puis \(I_n = \int_0^{+\infty} f_n(t)\,\mathrm{d}t\). La figure trace \(f_1\), \(f_2\) et \(f_5\).

1. Pour \(t > 0\) fixé, déterminer la limite de \(f_n(t)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). (0,5 point)
2. Trouver une fonction \(g\) intégrable sur \(]0\,;+\infty[\) telle que \(|f_n(t)| \leq g(t)\) pour tous \(n\) et \(t\). Justifier alors l’existence de \(I_n\). (1 point)
3. En déduire la limite de la suite \((I_n)\), en vérifiant chaque hypothèse du théorème utilisé. (1 point)
4. Montrer enfin que \(I_n \leq \frac{\pi}{2}\) pour tout \(n\). (0,5 point)

Exercice 2 – Une série alternée d’exponentielles (4 points)

On note \(\zeta(3) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}\), et l’on souhaite calculer \(J = \int_0^{+\infty} \dfrac{t^2}{\mathrm{e}^t + 1}\,\mathrm{d}t\).

1. Justifier que \(J\) existe. (0,5 point)
2. Pour \(t > 0\), écrire \(\dfrac{1}{\mathrm{e}^t + 1}\) comme somme d’une série de la forme \(\sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1}\mathrm{e}^{-nt}\), en justifiant. (0,5 point)
3. Pour \(n \geq 1\), calculer \(\int_0^{+\infty} t^2\mathrm{e}^{-nt}\,\mathrm{d}t\). (1 point)
4. Énoncer le théorème d’intégration terme à terme adapté, puis vérifier toutes ses hypothèses pour obtenir \(J = 2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^3}\). (1,5 point)
5. Exprimer enfin \(J\) en fonction de \(\zeta(3)\). (0,5 point)

Exercice 3 – Une intégrale à paramètre avec arctangente (4 points)

Pour \(x \geq 0\), on pose \(F(x) = \int_0^{+\infty} \dfrac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F(x)\) existe pour tout \(x \geq 0\). On pourra utiliser l’inégalité \(\arctan u \leq u\) pour \(u \geq 0\). (1 point)
2. Prouver que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \([0\,;+\infty[\), et donner \(F^{\prime}(x)\) sous forme d’intégrale. (1,5 point)
3. Pour \(x \geq 0\) et \(x \neq 1\), décomposer \(\dfrac{1}{(1+x^2t^2)(1+t^2)}\) en éléments simples relativement à \(t^2\), puis montrer que \(F^{\prime}(x) = \dfrac{\pi}{2(1+x)}\). Traiter aussi le cas \(x = 1\). (1 point)
4. En déduire \(F(x)\), puis la valeur de \(\int_0^{+\infty} \dfrac{\arctan t}{t(1+t^2)}\,\mathrm{d}t\). (0,5 point)

Exercice 4 – Composer avec t puissance n (4 points)

Soit \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur \([0\,;1]\). On note \(M = \sup_{[0\,;1]} |f^{\prime}|\) et, pour \(n \geq 1\), \(A_n = \int_0^1 f(t^n)\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que la suite \((A_n)\) converge vers \(f(0)\). (1 point)
2. À l’aide du changement de variable \(u = t^n\), établir l’égalité \(n\left(A_n – f(0)\right) = \int_0^1 \left(f(u) – f(0)\right)u^{\frac{1}{n} – 1}\,\mathrm{d}u\). (1 point)
3. Justifier que \(u \mapsto \frac{f(u) – f(0)}{u}\) est intégrable sur \(]0\,;1]\), puis montrer que \(n\left(A_n – f(0)\right)\) tend vers \(\int_0^1 \frac{f(u) – f(0)}{u}\,\mathrm{d}u\). (1,5 point)
4. Application : donner un développement asymptotique à deux termes de \(\int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^n}\). (0,5 point)

Exercice 5 – Problème : une transformée de Laplace (5 points)

Pour \(x\) réel, on considère \(\varphi(x) = \int_0^{+\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{-xt}}{1+t}\,\mathrm{d}t\) lorsque cette intégrale converge. La figure compare le graphe de \(\varphi\) à celui de \(x \mapsto \frac{1}{x}\).

Partie A : régularité

1. Montrer que \(\varphi\) est définie exactement sur \(]0\,;+\infty[\), puis qu’elle y est décroissante. (0,5 point)
2. Établir que \(\varphi\) est de classe \(C^1\) sur \(]0\,;+\infty[\), en dominant sur chaque \([a\,;+\infty[\) avec \(a > 0\). Montrer ensuite que \(\varphi^{\prime}(x) – \varphi(x) = -\frac{1}{x}\). (1,5 point)

Partie B : comportement aux bornes

3. Prouver que \(0 \leq \frac{1}{x} – \varphi(x) \leq \frac{1}{x^2}\) pour tout \(x > 0\), puis en déduire la limite de \(x\varphi(x)\) en \(+\infty\). (1 point)
4. Minorer \(\varphi(x)\) en restreignant l’intégrale à \(\left[0\,;\frac{1}{x}\right]\), puis déterminer la limite de \(\varphi\) en \(0^+\). (1 point)
5. Par un changement de variable et le théorème de convergence dominée, montrer que \(x^2\left(\frac{1}{x} – \varphi(x)\right)\) tend vers 1 en \(+\infty\). Conclure par un développement de \(\varphi(x)\) à deux termes. (1 point)

Réviser domination et théorèmes d’échange avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours convergence dominée et intégrales à paramètre ; entraînez-vous sur les exercices convergence dominée et intégrales à paramètre avant de retenter le sujet.

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