Différentielles, gradient et extremums liés : contrôle de maths en MP
Voici un contrôle de maths en MP sur le thème « différentielles, gradient et extremums liés », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce dernier devoir surveillé de quatre heures couvre tout le calcul différentiel de MP, au format des écrits de concours. D’abord, une fonction homogène montre que des dérivées dans toutes les directions ne suffisent pas à la différentiabilité. Ensuite, vous calculez la différentielle du déterminant et celle de l’inversion matricielle. Le troisième exercice résout une équation aux dérivées partielles par la règle de la chaîne. Puis la hessienne permet de classer des points critiques, y compris dans un cas dégénéré. Enfin, le problème cherche les extremums liés d’une forme quadratique sur la sphère unité. Ce contrôle se fait en fin d’année, juste avant les écrits, et ne contient aucune intégrale multiple.
Ce qu’évalue le contrôle : différentielles, gradient et extremums liés
L’essentiel du sujet
- NiveauMP
- Durée4 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Différentielle, jacobienne et règle de la chaîne et Extremums, hessienne et optimisation sous contrainte (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Distinguer existence des dérivées directionnelles et différentiabilité en un point
- Calculer la différentielle du déterminant et celle de l’inversion matricielle, puis un gradient pour le produit scalaire canonique
- Ramener une équation linéaire du premier ordre en x et y à une dérivée partielle nulle, grâce à la règle de la chaîne
- Classer des points critiques avec la hessienne, et conclure quand elle est dégénérée
- Déterminer les extremums d’une forme quadratique sur la sphère unité grâce à l’espace tangent
Avant de commencer le devoir
Pour prouver une différentiabilité, écrivez toujours un développement limité à l’ordre 1 avec un reste négligeable devant la norme de l’accroissement. Avant d’utiliser la hessienne, vérifiez ensuite que le point est intérieur et critique ; lorsque son déterminant est nul, revenez à la fonction elle-même. Dans le problème, justifiez que la contrainte est régulière avant d’écrire la condition de Lagrange. Enfin, contrôlez chaque valeur propre en multipliant la matrice par le vecteur trouvé.
Le sujet du contrôle : différentielles, gradient et extremums liés
Exercice 1 – Dérivées directionnelles sans différentiabilité (3 points)
On définit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) par \(f(0, 0) = 0\) et, pour \((x, y) \neq (0, 0)\) :
\[f(x, y) = \frac{x^3 – 2xy^2}{x^2 + y^2}.\]
La figure trace, pour \(\theta \in [0, 2\pi]\), la restriction \(\theta \mapsto f(\cos\theta, \sin\theta)\) de \(f\) au cercle unité, ainsi que la fonction \(\theta \mapsto \cos\theta\) en pointillés.
- Montrer que \(|f(x, y)| \leq 2|x|\) pour tout \((x, y)\), puis que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\).
- Soit \(h = (h_1, h_2)\) un vecteur non nul. Prouver que \(f\) admet en \((0, 0)\) une dérivée selon \(h\), égale à \(f(h)\). En déduire les dérivées partielles de \(f\) en \((0, 0)\).
- Expliquer pourquoi, si \(f\) était différentiable en \((0, 0)\), les deux courbes de la figure seraient confondues. Conclure à l’aide d’une valeur de \(\theta\) bien choisie.
Exercice 2 – Différentielles du déterminant et de l’inverse (4 points)
On munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), avec \(n \geq 2\), d’une norme sous-multiplicative \(\| \cdot \|\). On rappelle que \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) est un ouvert et que l’inversion y est continue.
- À l’aide de la formule de Leibniz, montrer que \(\det(I_n + H) = 1 + \mathrm{tr}(H) + o(\|H\|)\) lorsque \(H \to 0\). Que peut-on en déduire pour \(\det\) en \(I_n\) ?
- Soit \(A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\). Établir que \(\mathrm{d}(\det)(A)(H) = \mathrm{tr}\left(\mathrm{com}(A)^{\top} H\right)\).
- Montrer que l’application \(\varphi : M \mapsto M^{-1}\) est différentiable sur \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\), avec \(\mathrm{d}\varphi(A)(H) = -A^{-1} H A^{-1}\).
- On pose \(F(M) = \mathrm{tr}(M^{-1})\) sur \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\). Calculer \(\mathrm{d}F(A)(H)\), puis le gradient de \(F\) en \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) pour le produit scalaire \((X, Y) \mapsto \mathrm{tr}(X^{\top} Y)\).
Exercice 3 – Changement de variables et dérivées partielles (4 points)
On note \(U = \, ]0, +\infty[ \times \mathbb{R}\) et l’on veut décrire toutes les applications \(f : U \to \mathbb{R}\), continûment différentiables, qui vérifient :
\[\forall (x, y) \in U, \quad x \, \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) + 2y \, \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = 0. \quad (E)\]
Pour cela, on introduit \(\phi : (u, v) \mapsto (u, u^2 v)\) et, pour \(f\) de classe \(C^1\) sur \(U\), la fonction \(g = f \circ \phi\).
- Vérifier que \(\phi\) est une bijection de \(U\) sur \(U\), de classe \(C^1\) ainsi que sa réciproque.
- Grâce à la règle de la chaîne, écrire \(\frac{\partial g}{\partial u}\) et \(\frac{\partial g}{\partial v}\) en fonction de \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\) évaluées en \(\phi(u, v)\).
- Montrer que \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement s’il existe \(h\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(x, y) = h\left(\frac{y}{x^2}\right)\) pour tout \((x, y) \in U\).
- Déterminer alors la solution de \((E)\) qui vérifie \(f(1, y) = \frac{1}{1 + y^2}\) pour tout réel \(y\), et décrire ses lignes de niveau.
Exercice 4 – Points critiques et hessienne (4 points)
Dans cet exercice, \(f(x, y) = x^3 + y^2 – 2xy – 8x\) pour tout couple réel \((x, y)\). Le dessin montre quelques lignes de niveau de \(f\) ainsi que deux points \(A\) et \(B\) ; la ligne orange est celle qui passe par \(B\).
- Déterminer les points critiques de \(f\), puis vérifier que ce sont \(A\) et \(B\).
- Calculer la matrice hessienne de \(f\) en chacun de ces points, puis déterminer leur nature. Relier la conclusion à l’allure des lignes de niveau.
- L’extremum local trouvé est-il global ?
- Soit \(k(x, y) = x^4 – 2x^2 y + 2y^2\). Vérifier que \((0, 0)\) est un point critique de \(k\) en lequel la hessienne ne permet pas de conclure. Étudier cependant la nature de ce point.
Exercice 5 – Problème : une forme quadratique sur la sphère (5 points)
On munit \(\mathbb{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique et l’on note \(\mathcal{S}\) la sphère unité. On considère la matrice symétrique \(S\) et la fonction \(q\) définies par :
\[S = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad q(x, y, z) = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 2xy + 2xz – 2yz.\]
On pose aussi \(g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 – 1\), de sorte que \(\mathcal{S}\) est la ligne de niveau 0 de \(g\). La figure montre un point \(a\) de la sphère, le vecteur \(\nabla g(a)\) et l’espace tangent en \(a\).
- Vérifier que \(q(X) = X^{\top} S X\) pour tout \(X \in \mathbb{R}^3\), puis justifier que \(q\) atteint un minimum et un maximum sur \(\mathcal{S}\).
- Calculer \(\nabla g(a)\) pour \(a \in \mathcal{S}\), puis déterminer l’espace tangent \(T_a \mathcal{S}\) en citant le théorème utilisé.
- Soit \(a \in \mathcal{S}\) en lequel \(q_{|\mathcal{S}}\) admet un extremum. Montrer que \(\nabla q(a)\) est colinéaire à \(a\), puis que \(a\) est un vecteur propre de \(S\) associé à la valeur propre \(q(a)\).
- Déterminer les éléments propres de \(S\). En déduire le minimum et le maximum de \(q\) sur \(\mathcal{S}\).
- Décrire géométriquement l’ensemble des points de \(\mathcal{S}\) où chacun de ces extremums est atteint. On pourra décomposer \(X\) selon un vecteur propre unitaire de la plus petite valeur propre.
Réviser différentielles, gradient et extremums liés avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours différentielle, jacobienne et règle de la chaîne puis extremums, hessienne et optimisation sous contrainte ; entraînez-vous sur les exercices différentielle, jacobienne et règle de la chaîne et extremums, hessienne et optimisation sous contrainte avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en MP regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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