Convergence uniforme et normale en maths spé (MP) : cours et méthodes

La suite \((f_n)\) converge simplement sur \(I\) vers \(f\) si, pour chaque \(x\in I\) fixé, la suite numérique \((f_n(x))\) tend vers \(f(x)\). Autrement dit, le rang à partir duquel \(|f_n(x)-f(x)|\leqslant\varepsilon\) peut dépendre de \(x\).

Lorsque \(g\) est bornée sur \(I\), on pose \(\|g\|_{\infty,I}=\sup_{x\in I}|g(x)|\). On dit que \((f_n)\) tend uniformément vers \(f\) sur \(I\) quand, au-delà d’un rang \(N\), chaque écart \(f_n-f\) est borné et que les nombres \(\|f_n-f\|_{\infty,I}\) ont pour limite \(0\).

Sur \([0,+\infty[\), posons \(f_n(x)=n\,x^2\,\mathrm{e}^{-nx}\) et \(\varphi_n(x)=n\,x\,\mathrm{e}^{-nx}\). Pour \(x\) fixé, ces deux suites tendent vers \(0\) par croissances comparées.

D’abord, \(f_n^{\prime}(x)=n\,x\,\mathrm{e}^{-nx}(2-nx)\) s’annule en \(x=2/n\). Le maximum vaut donc \(4\mathrm{e}^{-2}/n\), qui tend vers \(0\) : la convergence est uniforme.

Ensuite, \(\varphi_n\) atteint son maximum en \(x=1/n\), et \(\varphi_n(1/n)=\mathrm{e}^{-1}\). La norme infinie reste égale à \(\mathrm{e}^{-1}\) : la convergence n’est pas uniforme sur \([0,+\infty[\).

1. Déterminer la limite simple \(f\), en fixant \(x\).
2. Pour prouver : majorer \(|f_n(x)-f(x)|\) par un \(\alpha_n\) indépendant de \(x\) avec \(\alpha_n\to 0\), ou calculer le sup par une étude de fonction.
3. Pour réfuter : exhiber des abscisses \(x_n\in I\) où l’écart \(|f_n(x_n)-f(x_n)|\) reste loin de \(0\). Les points où le maximum est atteint sont les bons candidats.
4. Autre réfutation : si les \(f_n\) sont continues et \(f\) ne l’est pas, la convergence ne peut pas être uniforme.

On dit que \((f_n)\) converge localement uniformément sur \(I\) lorsque, quel que soit le segment \([a,b]\) inclus dans \(I\), la restriction des \(f_n\) à \([a,b]\) tend uniformément vers celle de \(f\). Les sujets écrivent souvent « uniformément sur tout segment ».

Sur \(\mathbb{R}\), posons \(f_n(x)=x/n\). Pour \(x\in[-A,A]\), on a \(|f_n(x)|\leqslant A/n\), donc la convergence vers \(0\) est uniforme sur tout segment. Cependant, \(f_n(n)=1\) : elle n’est pas uniforme sur \(\mathbb{R}\).

Hypothèses : les \(f_n\) sont continues sur \(I\), et l’écart \(\|f_n-f\|\) tend vers \(0\) sur chaque segment inclus dans \(I\). Conclusion : la limite \(f\) hérite de la continuité sur \(I\).

Fixons \(a\in I\), un segment \(J\subset I\) voisinage de \(a\) relatif à \(I\), et \(\varepsilon>0\). D’abord, on choisit un indice \(n\) pour lequel \(\|f_n-f\|_{\infty,J}\leqslant\varepsilon\). Ensuite, la continuité de cette seule fonction \(f_n\) en \(a\) livre un réel \(\delta>0\) : dès que \(x\in J\) vérifie \(|x-a|\leqslant\delta\), l’écart \(|f_n(x)-f_n(a)|\) reste sous \(\varepsilon\). On découpe alors la différence en trois morceaux :

\[|f(x)-f(a)|\leqslant|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(a)|+|f_n(a)-f(a)|\leqslant 3\varepsilon.\]

Le point \(a\) étant arbitraire, \(f\) est continue partout sur \(I\).

Sur \(\mathbb{R}\), la suite \(g_n(x)=\arctan(nx)\) converge simplement vers la fonction qui vaut \(-\pi/2\) sur \(]-\infty,0[\), \(0\) en \(0\) et \(\pi/2\) sur \(]0,+\infty[\). Cette limite est discontinue en \(0\), alors que chaque \(g_n\) est continue. Ainsi, sur un segment qui contient \(0\), l’uniformité est impossible.

Hypothèses : \(a\) appartient à l’adhérence de \(I\) dans la droite achevée ; la suite \((f_n)\) tend uniformément vers \(f\) sur \(I\) ; chaque \(f_n\) possède en \(a\) une limite finie \(\ell_n\). Conclusion : les \(\ell_n\) ont une limite \(\ell\) dans \(\mathbb{K}\), et c’est aussi la limite de \(f\) en \(a\). En résumé, on peut intervertir :

\[\lim_{x\to a}\,\lim_{n\to+\infty}f_n(x)=\lim_{n\to+\infty}\,\lim_{x\to a}f_n(x).\]

Hypothèses : toutes les \(f_n\) sont continues sur \([a,b]\), et \(\|f_n-f\|_{\infty,[a,b]}\to 0\). Conclusion :

\[\int_a^b f_n(t)\,\mathrm{d}t\;\xrightarrow[n\to+\infty]{}\;\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t.\]

La fonction \(f\) est continue d’après 2.1, donc intégrable sur \([a,b]\). Ensuite, par croissance de l’intégrale, on obtient \(\left|\int_a^b(f_n-f)\right|\leqslant(b-a)\,\|f_n-f\|_{\infty,[a,b]}\), et ce majorant tend vers \(0\).

Prenons \(h_n(x)=n^2x\,\mathrm{e}^{-nx}\) sur \([0,1]\). Point par point, \(h_n(x)\) tend vers \(0\). En revanche, le changement de variable \(t=nx\) donne \(\int_0^1 h_n=\int_0^n t\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\), qui tend vers \(1\). L’échange limite-intégrale échoue, et la convergence n’est donc pas uniforme : d’ailleurs \(h_n(1/n)=n\,\mathrm{e}^{-1}\).

Hypothèses : (i) toutes les \(f_n\) sont \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\) ; (ii) la suite \((f_n)\) admet une limite ponctuelle \(f\) ; (iii) les dérivées \(f_n^{\prime}\) tendent vers une fonction \(g\), uniformément sur chaque segment inclus dans \(I\). Conclusion : \(f\) est \(\mathcal{C}^1\), \(f^{\prime}=g\), et l’approximation de \(f\) par \(f_n\) devient elle-même uniforme sur chaque segment.

Fixons \(x_0\in I\). Comme \(f_n\) est une primitive de \(f_n^{\prime}\), on écrit pour \(x\in I\) \(f_n(x)=f_n(x_0)+\int_{x_0}^x f_n^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t\). Sur le segment d’extrémités \(x_0\) et \(x\), la convergence de \(f_n^{\prime}\) vers \(g\) est uniforme, et \(g\) est continue. Ainsi, d’après 2.3, on peut passer à la limite :

\[f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^x g(t)\,\mathrm{d}t.\]

Par conséquent, \(f\) est une primitive de la fonction continue \(g\) : elle est \(\mathcal{C}^1\) et \(f^{\prime}=g\). Enfin, la même égalité montre l’uniformité sur tout segment contenant \(x_0\).

Si les \(f_n\) sont de classe \(\mathcal{C}^k\), si \((f_n^{(j)})\) converge simplement pour \(0\leqslant j\leqslant k-1\) et si \((f_n^{(k)})\) converge uniformément sur tout segment, on obtient une limite \(f\) de classe \(\mathcal{C}^k\), dont chaque dérivée \(f^{(j)}\), pour \(j\leqslant k\), s’obtient comme limite des \(f_n^{(j)}\).

Supposons que \(\sum u_n\) converge simplement sur \(I\), de somme \(S\), et notons \(R_n(x)=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k(x)\). L’uniformité de la convergence de la série sur \(I\) équivaut à \(\|R_n\|_{\infty,I}\to 0\). Elle impose en outre \(\|u_n\|_{\infty,I}\to 0\).

Étudions \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{(-1)^n}{n+x^2}\) sur \(\mathbb{R}\). À \(x\) fixé, les réels \(\frac{1}{n+x^2}\) forment une suite décroissante de limite nulle. Grâce au critère spécial, la série converge en \(x\), et son reste vérifie :

\[|R_n(x)|\leqslant\frac{1}{n+1+x^2}\leqslant\frac{1}{n+1}.\]

Cette borne, libre de \(x\), a pour limite \(0\). Ainsi, la convergence est uniforme sur \(\mathbb{R}\), et la somme est continue sur \(\mathbb{R}\).

On dit que \(\sum u_n\) est normalement convergente sur \(I\) lorsque toutes les \(u_n\) sont bornées sur \(I\) et que les nombres \(\|u_n\|_{\infty,I}\) forment une série convergente.

Une série normalement convergente sur \(I\) converge absolument en chaque point de \(I\), et uniformément sur \(I\).

Pour \(x\in I\), on a \(|u_n(x)|\leqslant\|u_n\|_\infty\). Le théorème de comparaison donne donc la convergence absolue de \(\sum u_n(x)\). Ensuite, en passant à la limite dans une inégalité triangulaire finie :

\[|R_n(x)|\leqslant\sum_{k=n+1}^{+\infty}|u_k(x)|\leqslant\sum_{k=n+1}^{+\infty}\|u_k\|_\infty.\]

À droite figure le reste d’une série numérique sommable, c’est-à-dire une quantité indépendante de \(x\) qui s’annule à la limite.

1. Chercher une majoration \(|u_n(x)|\leqslant\alpha_n\), valable pour tout \(x\in I\), avec \(\alpha_n\) indépendant de \(x\).
2. Vérifier que \(\sum\alpha_n\) converge (Riemann, géométrique, équivalents).
3. Si aucune majoration simple n’apparaît, calculer \(\|u_n\|_\infty\) par une étude de fonction.
4. Si la convergence normale échoue sur \(I\), la tester sur des segments ou sur des \([a,+\infty[\).

• Continuité. Termes continus sur \(I\), uniformité locale de la convergence de la série : la somme \(S\) est continue sur \(I\).
• Double limite. Uniformité sur \(I\) tout entier, et chaque \(u_n\) admet en \(a\) une limite finie \(\ell_n\) : la série \(\sum\ell_n\) converge, et \(S(x)\) tend vers sa somme lorsque \(x\to a\).
• Intégration terme à terme. Termes continus sur \([a,b]\), uniformité sur \([a,b]\) : on peut permuter \(\int_a^b\) et \(\sum_n\).

Dérivation terme à terme. Hypothèses : chaque \(u_n\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\) ; \(\sum u_n(x)\) converge pour tout \(x\in I\) ; \(\sum u_n^{\prime}\) converge uniformément sur chaque segment inclus dans \(I\). Conclusion : \(S\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\) et se dérive terme à terme, \(S^{\prime}=\sum u_n^{\prime}\). Pour la classe \(\mathcal{C}^k\), on exige la convergence ponctuelle des \(\sum u_n^{(j)}\) avec \(j<k\), puis l’uniformité locale pour \(\sum u_n^{(k)}\).

Posons \(F(x)=\sum_{n\geqslant 1}\arctan\left(\frac{x}{n^2}\right)\) pour \(x\in\mathbb{R}\). D’abord, \(|\arctan u|\leqslant|u|\) donne \(\left|\arctan\left(\frac{x}{n^2}\right)\right|\leqslant\frac{|x|}{n^2}\) : la série converge simplement, et même normalement sur tout segment.

Ensuite, chaque terme est \(\mathcal{C}^1\), de dérivée :

\[u_n^{\prime}(x)=\frac{n^2}{n^4+x^2},\qquad 0<u_n^{\prime}(x)\leqslant\frac{1}{n^2}.\]

Ainsi, \(\sum u_n^{\prime}\) est normalement convergente sur \(\mathbb{R}\). Par conséquent, \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\), strictement croissante, et \(F^{\prime}(0)=\sum 1/n^2=\pi^2/6\).

1. Trouver l’ensemble de convergence simple \(D\).
2. Pour la continuité, chercher la convergence normale sur \(D\), sinon sur des segments ou des \([a,+\infty[\) qui recouvrent \(D\).
3. Pour la classe \(\mathcal{C}^1\), refaire ce travail avec \(\sum u_n^{\prime}\), sans oublier la convergence simple de \(\sum u_n\).
4. Pour les limites aux bornes, utiliser la double limite ou, si les termes sont positifs, une minoration par une somme partielle.

Soit \(f\) continue par morceaux sur \([a,b]\). Pour chaque \(\varepsilon>0\), on dispose d’une fonction \(\varphi\) en escalier sur \([a,b]\) avec \(\|f-\varphi\|_\infty\leqslant\varepsilon\). Autrement dit, \(f\) s’approche uniformément par des fonctions en escalier.

Supposons d’abord \(f\) continue. Le théorème de Heine la rend uniformément continue sur ce segment compact. Fixons \(\varepsilon>0\) et un \(\delta>0\) associé : deux points distants d’au plus \(\delta\) ont des images distantes d’au plus \(\varepsilon\). Prenons une subdivision de pas inférieur à \(\delta\) ; sur chaque sous-intervalle, \(\varphi\) reprend la valeur de \(f\) au bord gauche. Ainsi, \(\|f-\varphi\|_\infty\leqslant\varepsilon\). Pour une fonction seulement continue par morceaux, on applique ce raisonnement au prolongement continu de chaque morceau.

Approchons \(f(x)=x^2\) sur \([0,1]\) par \(\varphi_n\), égale à \(k^2/n^2\) sur \([k/n,(k+1)/n[\). Sur cet intervalle, \(f\) est croissante, donc :

\[0\leqslant f(x)-\varphi_n(x)\leqslant\frac{(k+1)^2-k^2}{n^2}=\frac{2k+1}{n^2}\leqslant\frac{2n-1}{n^2}<\frac{2}{n}.\]

Par conséquent, \(\|f-\varphi_n\|_\infty<2/n\) et la convergence est uniforme.

Weierstrass. Si \(f:[a,b]\to\mathbb{K}\) est continue, il existe des polynômes \(P_n\) tels que \(\|f-P_n\|_{\infty,[a,b]}\to 0\). Ce résultat est admis en MP.

Soit \(f\) continue sur \([0,2]\) telle que \(\int_0^2 f(t)\,P(t)\,\mathrm{d}t=0\) pour tout polynôme \(P\). Montrons que \(f=0\).

D’abord, Weierstrass fournit des polynômes \(P_n\) avec \(\|f-P_n\|_\infty\to 0\). Ensuite, \(fP_n\) converge uniformément vers \(f^2\) sur \([0,2]\), car \(\|f^2-fP_n\|_\infty\leqslant\|f\|_\infty\|f-P_n\|_\infty\). Le passage à la limite dans l’intégrale donne alors \(\int_0^2 f^2=0\). Enfin, \(f^2\) est continue et positive, donc nulle, et \(f=0\).

• Continuité de la limite : fonctions continues et convergence uniforme sur tout segment.
• Limite en un bord : convergence uniforme au voisinage du bord, donc sur un \([A,+\infty[\) si le bord est \(+\infty\).
• Intégrale sur un segment : fonctions continues et convergence uniforme sur ce segment.
• Dérivée : convergence simple des fonctions et convergence uniforme locale des dérivées.
• Classe \(\mathcal{C}^\infty\) : la même chose pour chaque ordre de dérivation, ce qui se règle souvent par une majoration du type \(n^k\mathrm{e}^{-an}\).

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