Séries alternées et semi-convergence en L2 de maths : cours et méthodes

Une suite \((u_n)\) de réels ou de complexes est de Cauchy si, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un rang \(N\) tel que \(|u_p – u_q| \leqslant \varepsilon\) pour tous \(p, q \geqslant N\).

Toute suite convergente est de Cauchy.

Notons \(\ell\) la limite et fixons \(\varepsilon > 0\). Il existe \(N\) tel que \(|u_n – \ell| \leqslant \varepsilon/2\) pour \(n \geqslant N\). Pour \(p, q \geqslant N\), l’inégalité triangulaire donne alors \(|u_p – u_q| \leqslant |u_p – \ell| + |\ell – u_q| \leqslant \varepsilon\).

Dans \(\mathbb{R}\) et dans \(\mathbb{C}\), toute suite de Cauchy converge. On dit que \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C}\) sont complets.

Traitons d’abord le cas réel. Avec \(\varepsilon = 1\), on obtient \(N\) tel que \(|u_n – u_N| \leqslant 1\) pour \(n \geqslant N\). Ainsi la suite est bornée. Le théorème de Bolzano-Weierstrass fournit alors une extraction \(\varphi\) et un réel \(\ell\) avec \(u_{\varphi(n)} \to \ell\).

Montrons ensuite que toute la suite tend vers \(\ell\). Soit \(\varepsilon > 0\) et \(N\) le rang de Cauchy associé à \(\varepsilon/2\). Choisissons \(m\) assez grand pour avoir \(\varphi(m) \geqslant N\) et \(|u_{\varphi(m)} – \ell| \leqslant \varepsilon/2\). Pour \(n \geqslant N\), on a alors \(|u_n – \ell| \leqslant |u_n – u_{\varphi(m)}| + |u_{\varphi(m)} – \ell| \leqslant \varepsilon\).

Enfin, dans \(\mathbb{C}\), les inégalités \(|\mathrm{Re}\, z| \leqslant |z|\) et \(|\mathrm{Im}\, z| \leqslant |z|\) montrent que les parties réelle et imaginaire sont de Cauchy. Elles convergent, donc la suite complexe aussi.

L’ensemble \(\mathbb{Q}\) n’est pas complet. Posons \(r_n = \lfloor 10^n \sqrt{3} \rfloor / 10^n\), la troncature décimale de \(\sqrt{3}\) à \(n\) chiffres. Chaque \(r_n\) est rationnel. De plus, pour \(p \geqslant q\), on a \(0 \leqslant r_p – r_q \leqslant 10^{-q}\). La suite est donc de Cauchy dans \(\mathbb{Q}\). Pourtant sa limite \(\sqrt{3}\) n’est pas rationnelle : dans \(\mathbb{Q}\), elle ne converge pas.

Posons \(u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\cos(k^2)}{3^k}\). Nous ignorons la valeur de la limite, et pourtant la convergence se prouve en trois lignes.

Pour \(p > n\), on majore chaque cosinus par \(1\) :

\[|u_p – u_n| \leqslant \sum_{k=n+1}^{p} \frac{1}{3^k} \leqslant \frac{1}{3^{n+1}} \cdot \frac{1}{1 – 1/3} = \frac{1}{2 \cdot 3^n}.\]

Ce majorant tend vers \(0\) et ne dépend pas de \(p\). Par conséquent la suite est de Cauchy, donc elle converge.

Critère de Cauchy pour les séries. La série \(\sum u_n\) converge exactement lorsque, à chaque seuil \(\varepsilon > 0\), on peut associer un rang \(N\) au-delà duquel tout bloc de termes consécutifs reste petit :

\[\forall q > p \geqslant N, \quad \left| u_{p+1} + u_{p+2} + \cdots + u_q \right| \leqslant \varepsilon.\]

La série \(\sum u_n\), réelle ou complexe, est absolument convergente si la série positive \(\sum |u_n|\) converge.

Une série absolument convergente est convergente, et \(\left| \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right| \leqslant \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|\).

Pour \(q > p\), l’inégalité triangulaire donne \(\left| \sum_{k=p+1}^{q} u_k \right| \leqslant \sum_{k=p+1}^{q} |u_k|\). Or la série \(\sum |u_k|\) converge : elle vérifie donc le critère de Cauchy. Le membre de droite devient plus petit que \(\varepsilon\) dès que \(p\) est assez grand. Par conséquent \(\sum u_k\) vérifie aussi le critère, donc elle converge. Enfin, on passe à la limite dans \(|S_n| \leqslant \sum_{k=0}^{n} |u_k|\).

Étudions \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(2 – i)^n}{n \, 3^n}\). Le module de \(2 – i\) vaut \(\sqrt{5}\). Ainsi

\[\left| \frac{(2-i)^n}{n \, 3^n} \right| = \frac{1}{n} \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right)^n \leqslant \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right)^n.\]

Or \(\sqrt{5} < 3\), donc la série géométrique de raison \(\sqrt{5}/3\) converge. Par comparaison, la série étudiée converge absolument, donc elle converge.

Pour étudier une série de signe quelconque ou complexe :

1. vérifier d’abord que \(u_n \to 0\) ; sinon la série diverge grossièrement ;
2. tester ensuite la convergence absolue, par comparaison à une série de Riemann ou géométrique ;
3. si \(\sum |u_n|\) diverge, chercher une structure : signe alterné, développement asymptotique, ou transformation d’Abel ;
4. conclure enfin en précisant si la convergence est absolue ou seulement simple.

Une série est semi-convergente si elle converge sans converger absolument. Une série est alternée si son terme s’écrit \(u_n = (-1)^n a_n\) avec \(a_n \geqslant 0\) pour tout \(n\).

Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle. Alors la série \(\sum (-1)^n a_n\) converge. De plus, en notant \(S\) sa somme et \(R_n = S – S_n\) son reste :

• \(S\) est compris entre deux sommes partielles consécutives ;
• \(|R_n| \leqslant a_{n+1}\) ;
• \(R_n\) a le signe de \((-1)^{n+1}\), c’est-à-dire le signe du premier terme négligé.

D’abord, \(S_{2n+2} – S_{2n} = a_{2n+2} – a_{2n+1} \leqslant 0\) : la suite \((S_{2n})\) décroît. De même, \(S_{2n+3} – S_{2n+1} = a_{2n+2} – a_{2n+3} \geqslant 0\) : la suite \((S_{2n+1})\) croît. Ensuite, l’écart \(S_{2n} – S_{2n+1}\) vaut \(a_{2n+1}\), qui s’annule à la limite.

Nous sommes en présence de deux suites adjacentes. Le théorème correspondant fournit un réel \(S\), limite commune, tel que \(S_{2n+1} \leqslant S \leqslant S_{2n}\) pour tout \(n\). Comme les indices pairs et impairs recouvrent tous les entiers, \(S_n \to S\).

Enfin, pour \(n = 2m\), on lit \(-a_{2m+1} = S_{2m+1} – S_{2m} \leqslant R_{2m} \leqslant 0\). Pour \(n = 2m+1\), on obtient de même \(0 \leqslant R_{2m+1} \leqslant S_{2m+2} – S_{2m+1} = a_{2m+2}\). Ces deux encadrements donnent la majoration et le signe annoncés.

Considérons \(S = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{3n+1}\). La suite \(a_n = 1/(3n+1)\) est positive, décroissante et tend vers \(0\). Le critère s’applique : la série converge.

En revanche, \(a_n \sim \dfrac{1}{3n}\) et la série harmonique diverge. La convergence n’est donc pas absolue : la série est semi-convergente.

Cherchons enfin un rang \(N\) qui garantit \(|S – S_N| \leqslant 10^{-2}\). Il suffit que \(a_{N+1} = \dfrac{1}{3N+4} \leqslant 10^{-2}\), soit \(3N + 4 \geqslant 100\). Le plus petit entier qui convient est \(N = 32\). De plus, \(R_{32}\) a le signe de \((-1)^{33}\) : il est négatif, donc \(S_{32}\) est une valeur approchée par excès.

Pour approcher la somme d’une série alternée à \(\varepsilon\) près :

1. écrire le terme sous la forme \((-1)^n a_n\) et vérifier que \((a_n)\) décroît vers \(0\), au besoin à partir d’un certain rang ;
2. résoudre l’inéquation \(a_{N+1} \leqslant \varepsilon\) ;
3. utiliser le signe du premier terme négligé pour savoir si \(S_N\) est par excès ou par défaut.

Pour \(n \geqslant 2\), posons \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{n^{1/3} + (-1)^n}\). Le dénominateur est strictement positif, donc la série est bien alternée, et \(|u_n| \to 0\). Pourtant \(|u_2| \approx 0{,}44\) tandis que \(|u_3| \approx 2{,}26\) : la suite des valeurs absolues n’est pas décroissante.

Notons \(m = n^{1/3}\). Un calcul direct donne l’identité exacte

\[u_n – \frac{(-1)^n}{m} = \frac{(-1)^n \big( m – m – (-1)^n \big)}{m \, (m + (-1)^n)} = -\frac{1}{n^{1/3} \big( n^{1/3} + (-1)^n \big)}.\]

Notons \(v_n\) ce membre de droite. Il est négatif et équivalent à \(-1/n^{2/3}\). Comme \(2/3 \leqslant 1\), sa série diverge vers \(-\infty\). D’autre part, \(\sum (-1)^n / n^{1/3}\) converge par le critère spécial. Si \(\sum u_n\) convergeait, la différence de deux séries convergentes ferait converger \(\sum v_n\), ce qui est faux. Donc \(\sum u_n\) diverge.

Face à un terme alterné « perturbé », on procède par développement asymptotique :

1. isoler un terme principal \((-1)^n b_n\) avec \(b_n\) décroissante vers \(0\) ;
2. écrire \(u_n = (-1)^n b_n + v_n\), de préférence par une identité exacte ;
3. étudier \(v_n\) : s’il est de signe constant, comparer à une série de Riemann ; sinon, montrer que \(\sum v_n\) converge absolument ;
4. conclure par somme : convergente plus convergente, ou convergente plus divergente.

Sommation par parties. Soient \((a_k)\) et \((b_k)\) deux suites, et \(B_n = \sum_{k=0}^{n} b_k\), avec la convention \(B_{-1} = 0\). Pour \(0 \leqslant p \leqslant q\),

\[\sum_{k=p}^{q} a_k b_k = a_q B_q – a_p B_{p-1} + \sum_{k=p}^{q-1} (a_k – a_{k+1}) B_k.\]

On remplace \(b_k\) par \(B_k – B_{k-1}\), puis on décale l’indice dans la seconde somme :

\[\sum_{k=p}^{q} a_k B_k – \sum_{k=p-1}^{q-1} a_{k+1} B_k.\]

Mettons à part l’indice \(q\), qui n’apparaît qu’à gauche, puis l’indice \(p – 1\), qui n’apparaît qu’à droite. Les termes restants se regroupent en \((a_k – a_{k+1}) B_k\), ce qui donne la formule.

On suppose que \((a_n)\) est réelle et tend vers 0 en décroissant. On suppose aussi que les sommes partielles de la suite complexe \((b_n)\) restent bornées : \(|B_n| \leqslant M\) pour tout \(n\). Alors la série \(\sum a_n b_n\) converge.

Vérifions le critère de Cauchy. La suite \((a_n)\) décroît vers \(0\), donc \(a_n \geqslant 0\) et \(a_k – a_{k+1} \geqslant 0\). La sommation par parties donne, pour \(1 \leqslant p \leqslant q\),

\[\left| \sum_{k=p}^{q} a_k b_k \right| \leqslant M a_q + M a_p + M \sum_{k=p}^{q-1} (a_k – a_{k+1}) = 2 M a_p.\]

En effet, la dernière somme est télescopique et vaut \(a_p – a_q\). Or \(2 M a_p\) tend vers \(0\) : le critère de Cauchy est satisfait, donc la série converge.

Si \(\theta \notin 2\pi\mathbb{Z}\), alors, pour tous entiers \(p \leqslant q\), \(\left| \sum_{k=p}^{q} e^{ik\theta} \right| \leqslant \dfrac{1}{|\sin(\theta/2)|}\).

La somme est géométrique de raison \(e^{i\theta} \neq 1\). Elle vaut \(e^{ip\theta} \dfrac{e^{i(q-p+1)\theta} – 1}{e^{i\theta} – 1}\). Le numérateur est de module au plus \(2\). Par ailleurs, \(|e^{i\theta} – 1| = |e^{i\theta/2}| \cdot |e^{i\theta/2} – e^{-i\theta/2}| = 2 |\sin(\theta/2)|\). Le quotient est donc majoré par \(1/|\sin(\theta/2)|\).

Étudions \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{\cos(3n)}{n^{1/3}}\). D’abord, \(\cos(3k)\) est la partie réelle de \(e^{3ik}\), et \(3 \notin 2\pi\mathbb{Z}\). Le lemme donne \(|B_n| \leqslant 1/\sin(3/2)\), avec \(\sin(3/2) \approx 0{,}997\). Ensuite, \(a_n = n^{-1/3}\) décroît vers \(0\). Le critère d’Abel s’applique : la série converge.

Montrons maintenant que la convergence n’est pas absolue. Comme \(|\cos x| \leqslant 1\), on a \(|\cos x| \geqslant \cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}\). Donc

\[\frac{|\cos(3n)|}{n^{1/3}} \geqslant \frac{1}{2 n^{1/3}} + \frac{\cos(6n)}{2 n^{1/3}}.\]

La première série diverge (Riemann avec \(1/3 \leqslant 1\)). La seconde converge, par le même argument d’Abel avec \(6 \notin 2\pi\mathbb{Z}\). Leur somme diverge, et la comparaison des séries positives donne la divergence de \(\sum |u_n|\). Finalement, la série est semi-convergente.

À deux séries \(\sum_{n \geqslant 0} a_n\) et \(\sum_{n \geqslant 0} b_n\), on associe leur produit de Cauchy : c’est la série \(\sum c_n\) de terme

\[c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k \, b_{n-k} = \sum_{i+j=n} a_i \, b_j.\]

Si \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) convergent absolument, alors leur produit de Cauchy converge absolument, et

\[\sum_{n=0}^{+\infty} c_n = \left( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \right) \left( \sum_{n=0}^{+\infty} b_n \right).\]

Notons \(A_n, B_n, C_n\) les sommes partielles. Le produit \(A_n B_n\) somme les \(a_i b_j\) sur le carré \(0 \leqslant i, j \leqslant n\). La somme \(C_n\) porte sur le triangle \(i + j \leqslant n\).

Supposons d’abord tous les termes positifs. Le triangle est inclus dans le carré, lui-même inclus dans le triangle \(i + j \leqslant 2n\). Ainsi \(C_n \leqslant A_n B_n \leqslant C_{2n}\). La suite croissante \((C_n)\) est majorée par \(AB\), donc elle converge vers une limite \(C \leqslant AB\). L’encadrement donne ensuite \(AB \leqslant C\), donc \(C = AB\).

Passons au cas général. Notons \(A^{\prime}_n, B^{\prime}_n, C^{\prime}_n\) les sommes construites avec \(|a_i|\) et \(|b_j|\). D’une part, \(|c_n| \leqslant \sum_{i+j=n} |a_i| |b_j|\), donc \(\sum c_n\) converge absolument par le cas positif. D’autre part, la différence \(A_n B_n – C_n\) porte sur les couples du carré tels que \(i + j > n\). Par suite,

\[|A_n B_n – C_n| \leqslant A^{\prime}_n B^{\prime}_n – C^{\prime}_n \longrightarrow 0.\]

Calculons \(\sum_{n \geqslant 0} \dfrac{n+1}{3^n}\). Prenons \(a_n = b_n = 1/3^n\) : la série géométrique converge absolument et sa somme vaut \(\dfrac{1}{1 – 1/3} = \dfrac{3}{2}\). Le coefficient du produit vaut

\[c_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{3^k} \cdot \frac{1}{3^{n-k}} = \frac{n+1}{3^n}.\]

Le théorème donne donc \(\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n+1}{3^n} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 = \dfrac{9}{4}\).

Prenons \(a_n = b_n = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)^{1/3}}\). Ces séries convergent par le critère spécial. Leur produit a pour terme

\[c_n = (-1)^n \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\big( (k+1)(n-k+1) \big)^{1/3}}.\]

Or, par l’inégalité arithmético-géométrique, \((k+1)(n-k+1) \leqslant \left( \dfrac{n+2}{2} \right)^2\). Chacun des \(n + 1\) termes est donc minoré, et \(|c_n| \geqslant (n+1) \left( \dfrac{2}{n+2} \right)^{2/3}\). Ce minorant tend vers \(+\infty\) : le produit de Cauchy diverge grossièrement.

Soit \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) strictement croissante avec \(\varphi(0) = 0\), et \(v_m = \sum_{k=\varphi(m)}^{\varphi(m+1)-1} u_k\) le \(m\)-ième paquet.

• Si \(\sum u_n\) converge, alors \(\sum v_m\) converge et a la même somme.
• Réciproquement, si \(u_n \to 0\), si les paquets ont une longueur bornée par \(L\) et si \(\sum v_m\) converge, alors \(\sum u_n\) converge vers la même somme.

Les sommes partielles des paquets sont \(V_m = S_{\varphi(m+1)-1}\). Elles forment une sous-suite de \((S_n)\), d’où le premier point.

Pour le second, fixons \(n\) et l’unique \(m\) tel que \(\varphi(m) \leqslant n < \varphi(m+1)\). Alors \(S_n – V_{m-1}\) est une somme d’au plus \(L\) termes d’indices supérieurs ou égaux à \(\varphi(m)\). Quand \(n\) tend vers l’infini, \(m\) aussi, et ces termes tendent vers \(0\). Donc \(S_n\) a la même limite que \(V_{m-1}\).

Si \(\sum u_n\) converge absolument, alors, pour toute bijection \(\sigma\) de \(\mathbb{N}\), la série \(\sum u_{\sigma(n)}\) converge absolument et a la même somme.

Supposons d’abord \(u_n \geqslant 0\) et notons \(S\) la somme. Toute somme partielle \(\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)}\) est une somme finie de termes de la série, donc elle est majorée par \(S\). Ainsi la série permutée converge, avec une somme \(T \leqslant S\). Or \(\sum u_n\) se déduit à son tour de la série permutée par \(\sigma^{-1}\) : donc \(S \leqslant T\).

Dans le cas réel général, on écrit \(u_n = u_n^{+} – u_n^{-}\), avec \(u_n^{+} = \max(u_n, 0)\) et \(u_n^{-} = \max(-u_n, 0)\). Ces deux suites positives sont majorées par \(|u_n|\), et l’on applique le cas positif à chacune. Enfin, le cas complexe se ramène aux parties réelle et imaginaire.

Nous admettons que \(\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2\), et nous utilisons \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)\). Réarrangeons la série : quatre inverses d’entiers impairs, avec le signe plus, puis un inverse d’entier pair, avec le signe moins, et ainsi de suite.

\[1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} – \frac{1}{2} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{15} – \frac{1}{4} + \cdots\]

Après \(m\) blocs de cinq termes, nous avons pris les \(4m\) premiers impairs et les \(m\) premiers pairs. D’abord, \(\sum_{j=1}^{4m} \frac{1}{2j-1} = H_{8m} – \frac{1}{2} H_{4m}\), car on retire de \(H_{8m}\) les inverses des pairs. Ensuite, les pairs retirés pèsent \(\frac{1}{2} H_m\). La somme partielle vaut donc

\[T_{5m} = H_{8m} – \tfrac{1}{2} H_{4m} – \tfrac{1}{2} H_m = \ln(8m) – \tfrac{1}{2}\ln(4m) – \tfrac{1}{2} \ln m + o(1).\]

Les constantes \(\gamma\) s’éliminent, de même que \(\ln m\). Il reste \(\ln 8 – \ln 2 = 2 \ln 2\). Enfin, les termes tendent vers \(0\) et les blocs ont cinq termes : par la partie 6.1, la série réarrangée converge vers \(2 \ln 2\), le double de la somme initiale.

Théorème de réarrangement de Riemann. Si une série réelle est semi-convergente, alors, pour tout réel \(\lambda\), il existe une permutation des termes qui donne une série de somme \(\lambda\). On peut aussi obtenir une série divergente. L’idée consiste à ajouter des termes positifs jusqu’à dépasser \(\lambda\), puis des termes négatifs jusqu’à repasser en dessous, et à recommencer.

• S’exercer : exercices corrigés de L2 de maths sur séries alternées et semi-convergence
• Bases utiles : Séries positives : Riemann, Bertrand et comparaison
• Chapitre d’avant : Séries positives : Riemann, Bertrand et comparaison
• Chapitre d’après : Intégrales impropres : critères de convergence
• Vérifier ses acquis : QCM de L2 de maths sur séries alternées et semi-convergence
• Contrôle corrigé en temps limité : Transformation d'Abel et convergence absolue : contrôle de maths en L2
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