Intégrale de sin(t)/t et règle d’Abel : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « intégrale de sin(t)/t et règle d’Abel », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle de synthèse de deux heures met en regard deux chapitres du semestre 3 : les séries semi-convergentes et les intégrales impropres. Il commence par la preuve de la règle d’Abel pour les séries, que vous appliquerez ensuite à des sommes de cosinus. Trois intégrales vous demanderont alors des comparaisons soignées, notamment avec les fonctions de Bertrand. Puis la même règle sera transposée aux intégrales par une intégration par parties. Enfin, le problème étudie l’intégrale du sinus cardinal de deux façons : directement, puis à travers une série alternée. La dernière question compare ces deux méthodes. Les séries de fonctions ne sont pas au programme de cette épreuve.
Ce qu’évalue le contrôle : intégrale de sin(t)/t et règle d’Abel
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée2 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Convergence absolue, séries alternées et Abel et Intégrales impropres : critères de convergence (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer la règle d’Abel pour les séries à partir de la sommation par parties
- Majorer des sommes trigonométriques pour établir une semi-convergence
- Étudier la convergence d’intégrales impropres par comparaison, Riemann et Bertrand
- Adapter la règle d’Abel aux intégrales grâce à une intégration par parties
- Comparer deux preuves de la convergence de l’intégrale de sin(t)/t et les restes qu’elles fournissent
Avant de commencer le devoir
À chaque borne, identifiez d’abord le comportement de la fonction, car une borne peut être faussement impropre. Quand le signe varie, ne cherchez pas une comparaison positive : séparez plutôt un terme qui tend vers 0 d’une partie absolument convergente. Pour montrer qu’une convergence n’est pas absolue, minorez enfin par une quantité dont la divergence est connue, par exemple la série harmonique. Gardez du temps pour le problème, qui rapporte six points.
Le sujet du contrôle : intégrale de sin(t)/t et règle d’Abel
Exercice 1 – Question de cours : sommation par parties (3 points)
Soient \((a_n)_{n \geq 1}\) une suite réelle et \((b_n)_{n \geq 1}\) une suite complexe. On pose \(B_0 = 0\) et, pour \(n \geq 1\), \(B_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n\).
- Établir, pour tout entier \(N \geq 2\), l’égalité suivante :
\[\sum_{k = 1}^{N} a_k b_k = a_N B_N + \sum_{k = 1}^{N – 1} (a_k – a_{k + 1}) B_k.\] - On suppose désormais que \((a_n)\) décroît vers 0 et que la suite \((B_n)\) est bornée par un réel \(M\). Démontrer que la série \(\sum a_n b_n\) converge (règle d’Abel).
Exercice 2 – Des sommes de cosinus bornées (4 points)
Pour un réel \(\theta\) qui n’appartient pas à \(2\pi\mathbb{Z}\) et pour \(n \geq 0\), on note \(S_n = \sum_{k = 1}^{n} \mathrm{e}^{ik\theta}\), avec \(S_0 = 0\). La figure place les points d’affixes \(S_0, S_1, \ldots, S_{40}\) lorsque \(\theta = 2\) : ils se répartissent sur un même cercle.
- Montrer que \(|S_n| \leq \frac{1}{|\sin(\theta / 2)|}\) pour tout entier \(n\).
- Soit \(\alpha > 0\). En déduire la convergence de la série \(\sum_{n \geq 1} \frac{\cos(2n)}{n^{\alpha}}\).
- On suppose ici \(0 < \alpha \leq 1\). En utilisant l’inégalité \(|\cos x| \geq \cos^2 x\), montrer que cette série ne converge pas absolument.
Exercice 3 – Trois intégrales à étudier (4 points)
Pour chacune des intégrales suivantes, étudier d’abord la convergence, car le comportement à chaque borne doit être justifié.
- \(J = \int_0^{+\infty} \frac{1 – \cos t}{t^2} \, \mathrm{d}t\). Montrer ensuite, par une intégration par parties sur un segment \([\varepsilon, x]\), que \(J = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, \mathrm{d}t\), cette dernière intégrale étant ainsi convergente.
- \(K = \int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t (\ln t)^{3/2}}\), dont on calculera la valeur.
- \(L = \int_0^1 \frac{\ln t}{\sqrt{t}} \, \mathrm{d}t\), dont on calculera aussi la valeur.
Exercice 4 – La version continue de la règle (3 points)
Soient \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur \([1, +\infty[\), décroissante et de limite nulle en \(+\infty\), et \(g\) une fonction continue sur \([1, +\infty[\). On pose \(G(x) = \int_1^x g(t) \, \mathrm{d}t\) et l’on suppose que \(|G(x)| \leq M\) pour tout \(x \geq 1\).
- Pour \(x \geq 1\), exprimer \(\int_1^x f(t) g(t) \, \mathrm{d}t\) à l’aide de \(f(x)G(x)\) et d’une intégrale faisant intervenir \(f^{\prime}\) et \(G\).
- Montrer que \(\int_1^{+\infty} f^{\prime}(t) G(t) \, \mathrm{d}t\) converge absolument, puis en déduire la convergence de \(\int_1^{+\infty} f(t) g(t) \, \mathrm{d}t\).
- Application : la figure représente \(t \mapsto \frac{\cos(3t)}{\sqrt{t}}\), coincée entre deux courbes. Prouver alors que \(\int_1^{+\infty} \frac{\cos(3t)}{\sqrt{t}} \, \mathrm{d}t\) converge.
Exercice 5 – Problème : le sinus cardinal, entre série et intégrale (6 points)
On note \(\varphi(t) = \frac{\sin t}{t}\) pour \(t > 0\), et l’on s’intéresse à \(I = \int_0^{+\infty} \varphi(t) \, \mathrm{d}t\). Cette partie ne réutilise pas le résultat de l’exercice 3.
Étude directe.
- Justifier que l’intégrale de \(\varphi\) sur \(]0, 1]\) n’est impropre qu’en apparence.
- À l’aide d’une intégration par parties sur \([1, x]\), démontrer que \(\int_1^{+\infty} \varphi(t) \, \mathrm{d}t\) converge.
- Pour \(k \geq 0\), minorer \(\int_{k\pi}^{(k + 1)\pi} \frac{|\sin t|}{t} \, \mathrm{d}t\) par \(\frac{2}{(k + 1)\pi}\). En déduire que \(\varphi\) n’est pas intégrable sur \(]0, +\infty[\).
La série des arches. Pour \(k \geq 0\), on pose \(u_k = \int_{k\pi}^{(k + 1)\pi} \varphi(t) \, \mathrm{d}t\) : c’est l’aire algébrique de l’arche numéro \(k\) sur la figure.
- Montrer que \(u_k = (-1)^k w_k\), où \(w_k = \int_0^{\pi} \frac{\sin s}{s + k\pi} \, \mathrm{d}s\). Établir que \((w_k)\) décroît vers 0, puis que \(\sum u_k\) converge, de somme \(I\). Prouver enfin que \(I > 0\).
- Comparer les deux méthodes. D’une part, majorer \(\left| I – \int_0^{n\pi} \varphi(t) \, \mathrm{d}t \right|\) grâce à la série alternée. D’autre part, majorer \(\left| \int_x^{+\infty} \varphi(t) \, \mathrm{d}t \right|\) pour \(x > 0\) par intégration par parties. Commenter ensuite les deux résultats.
Réviser intégrale de sin(t)/t et règle d’Abel avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours convergence absolue, séries alternées et abel puis intégrales impropres ; entraînez-vous sur les exercices convergence absolue, séries alternées et abel et intégrales impropres avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L2 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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