Transformation d’Abel et convergence absolue : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « transformation d’Abel et convergence absolue », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur les séries de signe quelconque, étudiées au début du semestre 3 de L2, juste après les séries positives. Il s’ouvre sur quatre affirmations à démontrer ou à réfuter autour de la convergence absolue. Ensuite, une série alternée vous fera appliquer le critère spécial et majorer son reste pour obtenir une précision fixée. Le troisième exercice repose sur la transformation d’Abel, appliquée à une série en sinus. Enfin, le problème montre qu’un réarrangement peut changer la somme d’une série semi-convergente, puis compare deux produits de Cauchy. Aucune intégrale impropre n’intervient ici.
Ce qu’évalue le contrôle : transformation d’Abel et convergence absolue
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Convergence absolue, séries alternées et Abel (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer qu’une série absolument convergente converge en utilisant le critère de Cauchy
- Appliquer le critère des séries alternées et majorer le reste pour atteindre une précision donnée
- Prouver la convergence d’une série trigonométrique par la transformation d’Abel
- Construire un réarrangement de la série harmonique alternée qui modifie sa somme
- Calculer un produit de Cauchy et repérer quand l’absolue convergence manque
Avant de commencer le devoir
Pour un vrai/faux, commencez par chercher un contre-exemple simple parmi les séries alternées de Riemann ; si aucun ne marche, rédigez alors une preuve. Dans le critère des séries alternées, vérifiez les trois hypothèses avant de conclure, car la décroissance est souvent oubliée. Pour la transformation d’Abel, écrivez d’abord les sommes partielles du sinus, puis bornez-les. Enfin, gardez dix minutes pour le problème : ses deux parties sont indépendantes.
Le sujet du contrôle : transformation d’Abel et convergence absolue
Exercice 1 – Quatre affirmations à trancher (4 points)
Dans cet exercice, \((u_n)_{n \geq 1}\) et \((v_n)_{n \geq 1}\) sont des suites réelles. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse : une affirmation vraie se démontre, une affirmation fausse se réfute par un contre-exemple vérifié.
- Si \(\sum |u_n|\) converge, alors \(\sum u_n\) converge. Pour cette affirmation, on utilisera donc le critère de Cauchy pour les séries.
- Lorsque \(\sum |u_n|\) diverge, la série \(\sum u_n\) diverge aussi.
- La convergence de \(\sum u_n\) entraîne celle de \(\sum u_n^2\).
- Quand \(u_n \sim v_n\) et que \(\sum u_n\) converge, \(\sum v_n\) converge également.
Exercice 2 – Une série alternée et son reste (4 points)
Pour \(n \geq 1\), on pose \(u_n = \frac{(-1)^n}{n + \sqrt{n}}\), puis \(S_n = \sum_{k=1}^{n} u_k\). La figure place ainsi les vingt premières sommes partielles : les indices impairs en bleu, puis les indices pairs en orange.
- Montrer que la série \(\sum u_n\) converge ; on note \(S\) sa somme.
- Prouver ensuite qu’elle ne converge pas absolument.
- Calculer \(S_1\) et \(S_2\), en donnant \(S_2\) sous la forme \(\frac{1 – \sqrt{2}}{2}\). En déduire un encadrement de \(S\) et son signe.
- Déterminer le plus petit entier \(N\) pour lequel la majoration du reste fournie par le critère garantit \(|S – S_N| \leq 10^{-2}\).
Exercice 3 – Sinus et transformation d’Abel (5 points)
On étudie la série \(\sum_{n \geq 1} \frac{\sin n}{\sqrt{n}}\). Pour \(n \geq 1\), on note \(B_n = \sum_{k=1}^{n} \sin k\), et l’on convient que \(B_0 = 0\). Par exemple, la figure représente \(B_n\) pour \(1 \leq n \leq 45\).
- En écrivant \(\sin k\) comme partie imaginaire de \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}k}\), établir que \(B_n = \frac{\sin\left(\frac{n}{2}\right)\sin\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}\right)}\). En déduire que \(|B_n| \leq \frac{1}{\sin(1/2)}\) pour tout \(n\).
- Démontrer, en remplaçant \(\sin k\) par \(B_k – B_{k-1}\), l’égalité
\[\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin k}{\sqrt{k}} = \frac{B_n}{\sqrt{n}} + \sum_{k=1}^{n-1} B_k\left(\frac{1}{\sqrt{k}} – \frac{1}{\sqrt{k+1}}\right).\]
- Justifier alors la convergence de \(\sum \frac{\sin n}{\sqrt{n}}\).
- On admet que la série \(\sum \frac{\cos(2n)}{\sqrt{n}}\) converge, par la même méthode. À l’aide de l’inégalité \(|\sin n| \geq \sin^2 n\), montrer que \(\sum \frac{|\sin n|}{\sqrt{n}}\) diverge. Quelle conclusion en tirer sur la série étudiée ?
Exercice 4 – Problème : réordonner et multiplier des séries (7 points)
Les deux parties sont indépendantes, car elles portent sur des séries différentes.
Partie A : une somme qui dépend de l’ordre
On note \(A_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\) et l’on admet que \(A_n\) tend vers \(\ln 2\). On range maintenant les mêmes termes autrement : un terme positif, puis deux termes négatifs, et ainsi de suite. Cela donne la série
\[1 – \frac{1}{2} – \frac{1}{4} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6} – \frac{1}{8} + \frac{1}{5} – \frac{1}{10} – \frac{1}{12} + \frac{1}{7} – \ldots\]
dont le bloc numéro \(m \geq 1\) est formé de \(\frac{1}{2m-1}\), \(-\frac{1}{4m-2}\) et \(-\frac{1}{4m}\). On note \(T_n\) la somme de ses \(n\) premiers termes. Enfin, la figure compare \(A_n\) et \(T_n\) pour \(n \leq 60\).
- Vérifier que chaque terme de la série harmonique alternée apparaît exactement une fois dans la nouvelle série. Montrer ensuite que \(T_{3m} = \frac{1}{2}A_{2m}\) pour tout \(m \geq 1\).
- En étudiant aussi \(T_{3m+1}\) et \(T_{3m+2}\), prouver que \(T_n\) tend vers \(\frac{\ln 2}{2}\).
- Pourquoi un tel phénomène est-il impossible pour une série absolument convergente ? Citer le résultat utilisé.
Deux produits de Cauchy (partie B)
Le produit de Cauchy de \(\sum_{n \geq 0} a_n\) et \(\sum_{n \geq 0} b_n\) est la série de terme général \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k\,b_{n-k}\).
- Ici \(a_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^n\) et \(b_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n\). Établir que \(c_n = \frac{2}{5}\left(\frac{1}{3}\right)^n + \frac{3}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)^n\), puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty} c_n\). Comparer ce résultat avec le produit des sommes des deux séries.
- Désormais \(a_0 = b_0 = 0\) et \(a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) pour \(n \geq 1\). Justifier que \(\sum a_n\) converge. Prouver ensuite que \(|c_n| \geq 1\) pour \(n \geq 2\), en majorant \(k(n-k)\) par \(\frac{n^2}{4}\).
- Que peut-on dire de la série \(\sum c_n\) ? Expliquer enfin pourquoi les deux questions précédentes ne se contredisent pas.
Réviser transformation d’Abel et convergence absolue avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours convergence absolue, séries alternées et abel ; entraînez-vous sur les exercices convergence absolue, séries alternées et abel avant de retenter le sujet.
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Sujets proches à faire ensuite
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