QCM : Barycentres et applications affines en L2 de maths
Ce QCM barycentres L2 reprend la géométrie affine vue comme un prolongement de l’algèbre linéaire. Il commence par la direction d’un sous-espace affine, le parallélisme de deux droites et le calcul de barycentres, y compris par associativité. Il passe ensuite aux équations dans un repère et aux applications affines : partie linéaire, points fixes, homothéties, compositions et symétries obliques. Les dernières questions appliquent les théorèmes de Ménélaüs et de Céva, puis composent deux réflexions.
Réponds sans le cours, en traçant une figure rapide pour chaque question : elle suffit souvent à éliminer deux propositions. Lis ensuite les explications. Elles refont le calcul vectoriel attendu et nomment l’erreur cachée derrière chaque piège, souvent une confusion entre un point et un vecteur, ou entre deux coefficients.
Les 12 questions
Question 1
La partie de \(\mathbb{R}^3\) d’équation \(x+2y-z=3\) est un plan affine. Quelle est sa direction ?
- La droite vectorielle engendrée par \((1,2,-1)\)
- Le plan d’équation \(x+2y-z=3\) lui-même
- Le plan vectoriel d’équation \(x+2y-z=0\)
- Le plan d’équation \(x+2y-z=-3\)
Réponse C.
La direction rassemble les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) pour \(A\) et \(B\) dans le plan. En soustrayant les deux équations, on obtient \(x+2y-z=0\), qui définit un sous-espace vectoriel. Le piège de la droite donne la direction normale, c’est-à-dire l’orthogonal de la direction. Les deux autres plans ne contiennent pas le vecteur nul : ce ne sont donc pas des sous-espaces vectoriels.
Question 2
Dans \(\mathbb{R}^3\), \(D_1\) passe par \((1,0,0)\) et est dirigée par \((1,2,1)\). \(D_2\) passe par \((0,1,3)\) et est dirigée par \((-2,-4,-2)\). Quelle est leur position relative ?
- Confondues
- Sécantes en un point
- Non coplanaires
- Parallèles et distinctes
Réponse D.
Les vecteurs directeurs sont colinéaires, puisque le second vaut \(-2\) fois le premier. Les droites sont donc parallèles. Reste à tester si \((0,1,3)\) appartient à \(D_1\) : la première coordonnée impose \(t=-1\), ce qui donne \((0,-2,-1)\). Ainsi les droites sont distinctes. Le piège « confondues » s’arrête aux directions. Enfin, deux droites parallèles sont toujours coplanaires.
Question 3
Dans le plan, \(A=(1,2)\) et \(B=(4,-1)\). Quel est le barycentre \(G\) des points pondérés \((A,2)\) et \((B,1)\) ?
- \((3,0)\)
- \((6,3)\)
- \((2{,}5\,;0{,}5)\)
- \((2,1)\)
Réponse D.
Les coordonnées de \(G\) sont les moyennes pondérées : \(\frac{2\times 1+4}{3}=2\) et \(\frac{2\times 2-1}{3}=1\). Le point \(G\) est plus proche de \(A\), qui porte le plus grand poids. Le piège \((3,0)\) échange les poids. La réponse \((6,3)\) oublie de diviser par la somme des poids. Enfin, \((2{,}5\,;0{,}5)\) est le milieu, qui ignore les poids.
Question 4
\(G\) est le barycentre de \((A,1)\), \((B,2)\), \((C,3)\), et \(I\) celui de \((B,2)\), \((C,3)\). Quelle relation vectorielle est vraie ?
- \(\overrightarrow{AG}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AI}\)
- \(\overrightarrow{AG}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AI}\)
- \(\overrightarrow{AG}=\frac{5}{3}\overrightarrow{AI}\)
- \(\overrightarrow{AG}=\frac{6}{5}\overrightarrow{AI}\)
Réponse B.
Par associativité, on remplace \((B,2)\) et \((C,3)\) par \((I,5)\). Ainsi, \(G\) est le barycentre de \((A,1)\) et \((I,5)\), donc \(\overrightarrow{AG}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AI}\). Le piège \(\frac{1}{6}\) attache le poids de \(A\) au mauvais point. La réponse \(\frac{6}{5}\) place \(G\) au-delà de \(I\), hors du segment, ce qui est impossible avec des poids positifs.
Question 5
Quelle est une équation du plan passant par \(A=(1,0,0)\), \(B=(0,2,0)\) et \(C=(0,0,3)\) ?
- \(x+2y+3z=6\)
- \(x+2y+3z=1\)
- \(6x+3y+2z=6\)
- \(6x+3y+2z=1\)
Réponse C.
Les trois points sont sur les axes : l’équation \(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1\) convient, puisqu’elle est vérifiée par chacun d’eux. En multipliant par 6, on obtient \(6x+3y+2z=6\). Le piège \(x+2y+3z\) met les longueurs au numérateur au lieu du dénominateur ; par exemple, \(B\) ne vérifie pas \(x+2y+3z=6\). Enfin, \(6x+3y+2z=1\) oublie de multiplier le second membre.
Question 6
L’application affine \(f(x,y)=(2x-y+1,\ x+3)\) admet-elle un point fixe ?
- Non : le système obtenu est incompatible.
- Oui, un seul, car \(f\) est bijective.
- Oui, une droite de points fixes.
- Oui, l’origine, car \(f\) est affine.
Réponse A.
Un point fixe vérifie \(2x-y+1=x\) et \(x+3=y\). En remplaçant \(y\), la première équation donne \(-2=0\). Il n’y a donc aucun point fixe. En effet, 1 est valeur propre de la partie linéaire. Le piège de la bijectivité est instructif : une translation non nulle est bijective, et pourtant sans point fixe. De plus, une application affine n’envoie pas forcément l’origine sur elle-même.
Question 7
Quelle est l’image de \(M=(3,0)\) par l’homothétie de centre \(\Omega=(1,1)\) et de rapport \(-2\) ?
- \((5,-1)\)
- \((-3,3)\)
- \((-6,0)\)
- \((0\,;1{,}5)\)
Réponse B.
On calcule \(\overrightarrow{\Omega M}=(2,-1)\), puis on le multiplie par \(-2\), ce qui donne \((-4,2)\). On ajoute enfin ce vecteur à \(\Omega\). Le piège \((5,-1)\) utilise le rapport \(+2\). La réponse \((-6,0)\) multiplie les coordonnées de \(M\), comme si le centre était l’origine. Enfin, \((0\,;1{,}5)\) prend le rapport \(-\frac{1}{2}\).
Question 8
\(h_1\) est l’homothétie de centre \(\Omega_1\) et de rapport 2, \(h_2\) celle de centre \(\Omega_2\neq\Omega_1\) et de rapport \(\frac{1}{2}\). Quelle est la nature de \(h_1\circ h_2\) ?
- L’identité, car le rapport vaut 1
- Une homothétie de rapport \(\frac{5}{2}\)
- Une symétrie centrale
- Une translation de vecteur non nul
Réponse D.
La partie linéaire de la composée est le produit des parties linéaires, soit \(2\times\frac{1}{2}=1\) fois l’identité. Une application affine de partie linéaire l’identité est une translation. Ici, l’image de \(\Omega_2\) est celle de \(\Omega_2\) par \(h_1\), distincte de \(\Omega_2\) : le vecteur n’est donc pas nul. Le piège de l’identité oublie le rôle des centres. Les rapports se multiplient, ils ne s’additionnent pas.
Question 9
Dans le plan, \(s\) est la symétrie par rapport à la droite \(y=0\), parallèlement à la direction de \((1,1)\). Quelle est l’image de \(M=(x,y)\) ?
- \((x,\,-y)\)
- \((x-y,\,0)\)
- \((x-2y,\,-y)\)
- \((x+2y,\,-y)\)
Réponse C.
On décompose \(M=P+y(1,1)\), avec \(P=(x-y,0)\) sur l’axe. La symétrie garde \(P\) et change le signe de la composante selon \((1,1)\). On obtient donc \(P-y(1,1)\). Le piège \((x,-y)\) est la symétrie orthogonale, qui ignore la direction imposée. La réponse \((x-y,0)\) est le projeté de \(M\) sur l’axe. Enfin, \(x+2y\) contient une erreur de signe.
Question 10
Dans un triangle \(ABC\), \(P\in(BC)\), \(Q\in(CA)\), \(R\in(AB)\), avec \(\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}=2\) et \(\frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}=-3\). Quelle valeur de \(\frac{\overline{RA}}{\overline{RB}}\) rend \(P\), \(Q\), \(R\) alignés ?
- \(\frac{1}{6}\)
- \(-\frac{1}{6}\)
- \(-6\)
- \(6\)
Réponse B.
Le théorème de Ménélaüs affirme que les trois points sont alignés si et seulement si le produit des trois rapports algébriques vaut 1. Il faut donc \(2\times(-3)\times r=1\), d’où \(r=-\frac{1}{6}\). Le piège \(\frac{1}{6}\) applique la condition \(-1\), qui est celle de Céva. La réponse \(-6\) multiplie au lieu de diviser.
Question 11
Dans un triangle \(ABC\), \(P\in[BC]\) et \(Q\in[CA]\) vérifient \(\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}=-2\) et \(\frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}=-\frac{1}{2}\). Où placer \(R\in(AB)\) pour que \((AP)\), \((BQ)\), \((CR)\) soient concourantes ?
- Au milieu de \([AB]\)
- Au symétrique de \(A\) par rapport à \(B\)
- Au point \(B\) lui-même
- Au tiers de \([AB]\) en partant de \(A\)
Réponse A.
Le théorème de Céva exige que le produit des trois rapports vaille \(-1\). Ici, \((-2)\times\left(-\frac{1}{2}\right)=1\), donc le troisième rapport doit valoir \(-1\). Or \(\overline{RA}=-\overline{RB}\) caractérise le milieu de \([AB]\). Le piège du tiers reprend le coefficient 2 de \(P\). Le point \(B\) rendrait le rapport non défini.
Question 12
Dans le plan euclidien, \(D_1\) et \(D_2\) sont deux droites parallèles distantes de \(d>0\). Quelle est la nature de \(s_{D_2}\circ s_{D_1}\), où \(s_D\) désigne la réflexion d’axe \(D\) ?
- Une translation de longueur \(2d\), orthogonale aux droites
- Une translation de longueur \(d\), orthogonale aux droites
- Une rotation d’angle double de celui des droites
- Une symétrie centrale de centre sur \(D_1\)
Réponse A.
Prenons \(D_1\) d’équation \(y=0\) et \(D_2\) d’équation \(y=d\). La première réflexion envoie \((x,y)\) sur \((x,-y)\), puis la seconde sur \((x,2d+y)\). C’est donc une isométrie directe : la translation de vecteur \((0,2d)\). Le piège de longueur \(d\) oublie le facteur 2. La rotation correspond au cas de deux droites sécantes.
Pour aller plus loin
- Revoir la leçon : cours de L2 de maths sur barycentres et applications affines
- S’exercer : exercices corrigés sur barycentres et applications affines
- QCM précédent : QCM : Lois à densité et loi normale en L2 de maths
- Tous les chapitres : le sommaire de la L2 de maths
