QCM : Lois à densité et loi normale en L2 de maths

Réponse B.

Une densité est positive et d’intégrale égale à 1. Or \(\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x=\frac{27}{3}=9\), donc il faut \(c=\frac{1}{9}\). Le piège \(\frac{1}{27}\) oublie de diviser \(3^3\) par 3 dans la primitive. Ensuite, \(\frac{1}{3}\) normalise par la longueur de l’intervalle, comme pour une loi uniforme. Enfin, 3 inverse le résultat.

Réponse A.

La fonction de répartition vaut \(1-e^{-3t}\) pour \(t\geq 0\). Par conséquent, la queue \(P(T>2)\) vaut \(e^{-3\times 2}=e^{-6}\). Le piège \(1-e^{-6}\) donne \(P(T\leq 2)\), c’est-à-dire l’événement contraire. Ensuite, \(e^{-2/3}\) prend 3 pour la moyenne, alors que la moyenne vaut \(\frac{1}{3}\). Enfin, \(3e^{-6}\) est la valeur de la densité en 2.

Réponse B.

On calcule \(\frac{P(D>5)}{P(D>2)}=\frac{e^{-5/2}}{e^{-1}}=e^{-3/2}\). C’est exactement \(P(D>3)\) : le composant ne vieillit pas. Le piège \(e^{-5/2}\) oublie le conditionnement. Ensuite, \(e^{-1}\) est la probabilité de la condition elle-même. Enfin, \(1-e^{-3/2}\) donne la probabilité d’une panne dans les trois unités de temps suivantes.

Réponse D.

Pour la loi uniforme sur \([a,b]\), la variance vaut \(\frac{(b-a)^2}{12}\). Ici, la longueur vaut 6, donc la variance vaut \(\frac{36}{12}=3\). Le piège 6 confond la variance avec la longueur. Ensuite, 12 recopie le dénominateur de la formule. Enfin, 9 divise par 4 au lieu de 12, comme si l’on calculait le carré de la demi-longueur.

Réponse A.

Pour la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), l’espérance vaut \(\frac{1}{\lambda}\) et le moment d’ordre 2 vaut \(\frac{2}{\lambda^2}\). Ainsi, la variance vaut \(\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{16}\). Le piège \(\frac{1}{4}\) donne l’espérance, ou l’écart type. Ensuite, 16 prend le paramètre pour une moyenne, d’où un écart type égal à 4. Enfin, 4 recopie simplement le paramètre.

Réponse C.

On centre et on réduit avec l’écart type, qui vaut \(\sqrt{4}=2\). La variable \(\frac{X-10}{2}\) suit la loi normale centrée réduite. Donc \(P(X\leq 12)=\Phi\left(\frac{12-10}{2}\right)=\Phi(1)\). Le piège \(\Phi\left(\frac{1}{2}\right)\) divise par la variance. Ensuite, \(\Phi(2)\) oublie de réduire. Enfin, \(\Phi(6)\) réduit sans avoir centré.

Réponse C.

Le théorème de transfert évite de chercher la loi de \(e^{V}\) : on intègre \(e^{v}\) contre la densité de \(V\). Donc \(E\left[e^{V}\right]=\int_0^1 e^{v}\,\mathrm{d}v=e-1\). Le piège \(e^{1/2}\) calcule \(e^{E[V]}\), ce qui est faux pour une fonction non affine. Ensuite, \(e\) prend la valeur maximale. Enfin, diviser par 2 n’a pas de sens, car la densité vaut 1.

Réponse D.

Pour \(w\geq 0\), on a \(P(W>w)=P\left(V<e^{-w/2}\right)=e^{-w/2}\). Attention : la fonction \(-2\ln\) est décroissante, donc l’inégalité se retourne. On reconnaît ainsi la loi exponentielle de paramètre \(\frac{1}{2}\), de moyenne 2. Le piège du paramètre 2 confond paramètre et moyenne. De plus, une transformation non affine ne conserve pas l’uniformité.

Réponse C.

Une transformation affine d’une variable normale reste normale. Son espérance vaut \(3\times 0-1=-1\) et sa variance \(3^2\times 1=9\). Le piège \(\mathcal{N}(-1,3)\) donne l’écart type à la place de la variance. Ensuite, \(\mathcal{N}(1,9)\) se trompe sur le signe de la translation. Enfin, \(\mathcal{N}(0,9)\) oublie qu’une translation déplace la moyenne.

Réponse B.

La densité se factorise en \(e^{-x}\cdot 2e^{-2y}\). Donc \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, de lois exponentielles de paramètres 1 et 2. Ensuite, \(P(X<Y)=\int_0^{+\infty}e^{-x}e^{-2x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\). Le piège \(\frac{1}{2}\) suppose une symétrie qui n’existe pas. Quant à \(\frac{2}{3}\), c’est \(P(Y<X)\) : la variable de plus grand paramètre est en effet plus souvent petite.

Réponse A.

La densité de la somme vaut \(\int_{\mathbb{R}}f_A(t)f_B(s-t)\,\mathrm{d}t\). Pour \(s\in[0,1]\), l’intégrande vaut 1 exactement quand \(0\leq t\leq s\). Donc la densité vaut \(s\), d’où \(\frac{1}{2}\) en \(\frac{1}{2}\). On obtient ainsi un triangle de sommet \((1,1)\). Le piège 1 croit la somme encore uniforme. Ensuite, 2 confond avec la longueur du support.

Réponse D.

La binomiale a pour moyenne \(400\times\frac{1}{2}=200\) et pour variance \(400\times\frac{1}{4}=100\). Son écart type vaut donc 10. On approche alors par \(\Phi\left(\frac{210-200}{10}\right)=\Phi(1)\), soit environ \(0{,}84\). Le piège \(\Phi(0{,}1)\) divise par la variance. Ensuite, \(\Phi(2)\) prend 5 pour écart type. Enfin, \(\Phi(10)\) oublie de réduire.