Différentiabilité en un point : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « différentiabilité en un point », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se place au semestre 3, après le chapitre sur les fonctions de plusieurs variables. D’abord, vous calculerez un gradient et un plan tangent pour une fonction régulière. Ensuite, un contre-exemple montrera que des dérivées directionnelles nulles dans toutes les directions ne suffisent pas, puisque la fonction n’est même pas continue. Le troisième exercice établit au contraire la différentiabilité en (0, 0) d’une fonction définie par morceaux. Puis vous dériverez une composée avec la matrice jacobienne et la règle de la chaîne. Enfin, le problème suit une randonnée autour d’un sommet et se termine par les accroissements finis. Aucune dérivée d’ordre 2 n’est demandée dans ce contrôle.
Ce qu’évalue le contrôle : différentiabilité en un point
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Dérivées partielles, différentielle et jacobienne (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer des dérivées partielles, un gradient et une dérivée directionnelle pour une fonction de classe C1
- Montrer qu’une fonction admettant des dérivées dans toutes les directions peut ne pas être continue
- Établir la différentiabilité en (0, 0) d’une fonction définie par morceaux grâce à une majoration du reste
- Calculer une matrice jacobienne et dériver une composée par la règle de la chaîne
- Majorer un écart de valeurs avec l’inégalité des accroissements finis sur un convexe
Avant de commencer le devoir
À l’origine, calculez toujours les dérivées partielles par le taux d’accroissement, car les formules usuelles ne valent pas en ce point. Ensuite, pour prouver la différentiabilité, isolez le reste et majorez-le par une quantité du type norme au carré. Au contraire, pour la réfuter, cherchez un chemin courbe le long duquel la fonction garde une valeur constante non nulle. Enfin, vérifiez chaque règle de la chaîne par un calcul direct quand c’est rapide.
Le sujet du contrôle : différentiabilité en un point
Exercice 1 – Gradient et plan tangent (3 points)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x, y) = x^3 y – 2y^2 + \mathrm{e}^{x – y}\).
- Justifier que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\), puis calculer ses dérivées partielles et \(\nabla f(1, 1)\).
- Soit \(u = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)\). Calculer la dérivée de \(f\) en \((1, 1)\) dans la direction \(u\).
- Déterminer enfin une équation du plan tangent à la surface \(z = f(x, y)\) au point d’abscisse \((1, 1)\).
Exercice 2 – Des dérivées partout, mais pas de continuité (4 points)
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(g(0, 0) = 0\) et, pour \((x, y) \neq (0, 0)\) :
\[g(x, y) = \frac{x^3 y}{x^6 + y^2}.\]
La figure montre des droites passant par l’origine, ainsi que la courbe d’équation \(y = x^3\).
- Calculer \(\frac{\partial g}{\partial x}(0, 0)\) et \(\frac{\partial g}{\partial y}(0, 0)\).
- Soit \(v = (a, b)\) un vecteur non nul. Montrer que \(g\) admet en \((0, 0)\) une dérivée dans la direction \(v\), et que celle-ci est nulle.
- Calculer \(g(x, x^3)\) pour \(x \neq 0\). En déduire que \(g\) n’est pas continue en \((0, 0)\), puis qu’elle n’y est pas différentiable.
Exercice 3 – Une fonction par morceaux différentiable (5 points)
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(\varphi(0, 0) = 0\) et, pour \((x, y) \neq (0, 0)\) :
\[\varphi(x, y) = 2x + y + \frac{x^2 y^3}{x^4 + y^2}.\]
On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne \(\|(x, y)\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
- Montrer que \(x^4 + y^2 \geq 2x^2|y|\) pour tous réels \(x\) et \(y\). En déduire que, pour \((x, y) \neq (0, 0)\), on a \(\left|\varphi(x, y) – 2x – y\right| \leq \frac{y^2}{2}\).
- Montrer que \(\varphi\) est continue en \((0, 0)\).
- Calculer les deux dérivées partielles de \(\varphi\) en \((0, 0)\).
- Prouver que \(\varphi\) est différentiable en \((0, 0)\), et préciser \(d\varphi(0, 0)\) ainsi que \(\nabla \varphi(0, 0)\).
- Pour \(\theta \in \mathbb{R}\), on pose \(\psi(t) = \varphi(t\cos\theta, t\sin\theta)\). Calculer \(\psi^{\prime}(0)\), puis déterminer sa valeur maximale lorsque \(\theta\) varie.
Exercice 4 – Jacobienne et composée (3 points)
Soient \(F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) définie par \(F(u, v) = \left(u^2 – v,\; uv + v^3\right)\) et \(h : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par \(h(x, y) = x\,\mathrm{e}^{y}\). On pose \(H = h \circ F\).
- Calculer la matrice jacobienne \(J_F(u, v)\), puis \(J_F(1, 1)\) et \(F(1, 1)\).
- Grâce à la règle de la chaîne, déterminer \(\nabla H(1, 1)\).
- Vérifier ce résultat en dérivant directement l’expression de \(H(u, v)\).
Exercice 5 – Problème : la randonnée autour du sommet (5 points)
Sur une carte munie d’un repère orthonormé (unité : le kilomètre), l’altitude d’une colline, en centaines de mètres, est donnée par \(A(x, y) = 5 – x^2 – 3y^2\). Malik fait le tour du sommet en suivant le chemin \(\gamma(t) = \left(2\cos t, \sin t\right)\), pour \(t \in [0, 2\pi]\). La figure montre les lignes de niveau de \(A\) et le chemin parcouru.
- Calculer \(\nabla A(x, y)\), puis déterminer l’unique point où ce gradient s’annule.
- On pose \(a(t) = A\left(\gamma(t)\right)\). Calculer \(a^{\prime}(t)\) par la règle de la chaîne, puis vérifier le résultat en simplifiant d’abord \(a(t)\).
- Sur quels intervalles de \([0, 2\pi]\) Malik monte-t-il ? Préciser aussi les points du chemin où il est le plus haut, puis le plus bas, avec leur altitude.
- Soit \(D\) le disque fermé de centre \(O\) et de rayon 2. Montrer que \(\|\nabla A(x, y)\| \leq 12\) sur \(D\). Justifier ensuite, avec l’inégalité des accroissements finis, que deux points de \(D\) distants de 50 mètres au plus ont des altitudes qui diffèrent de 60 mètres au plus.
Réviser différentiabilité en un point avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours dérivées partielles, différentielle et jacobienne ; entraînez-vous sur les exercices dérivées partielles, différentielle et jacobienne avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L2 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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