Suites de fonctions et double limite : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « suites de fonctions et double limite », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur les suites et séries de fonctions, au début du semestre 4 de la licence. Vous démontrerez d’abord le critère de Cauchy uniforme. Ensuite, une suite de fonctions dont le maximum grandit vous fera distinguer la convergence simple de la convergence uniforme, et vous calculerez des intégrales généralisées. Le troisième exercice étudie une série de fonctions grâce à la convergence normale sur des segments. Vous appliquerez aussi le théorème de la double limite pour prouver qu’une convergence n’est pas uniforme. Enfin, le problème dérive et intègre terme à terme une série trigonométrique dont vous trouverez la somme.
Ce qu’évalue le contrôle : suites de fonctions et double limite
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Convergence uniforme et normale des fonctions (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer qu’une suite de fonctions uniformément de Cauchy converge uniformément
- Étudier la convergence simple puis uniforme d’une suite de fonctions à partir de ses maxima
- Établir la convergence normale d’une série de fonctions sur des segments et en déduire la continuité de sa somme
- Appliquer le théorème de la double limite pour réfuter une convergence uniforme
- Justifier une dérivation et une intégration terme à terme, puis calculer une intégrale grâce à une série
Avant de commencer le devoir
Pour une convergence uniforme, calculez d’abord la limite simple, puis majorez l’écart en norme infinie, souvent grâce à une étude de variations. Quand la borne supérieure de l’écart ne tend pas vers zéro, exhibez une suite de points qui le prouve. Pour une série, cherchez ensuite une majoration indépendante de x par le terme général d’une série convergente. Citez enfin chaque théorème d’interversion avec toutes ses hypothèses, car c’est là que se jouent la plupart des points.
Le sujet du contrôle : suites de fonctions et double limite
Exercice 1 – Critère de Cauchy uniforme (3 points)
Dans tout l’exercice, les fonctions \(f_n\) sont définies sur un même intervalle réel \(I\), à valeurs réelles.
- Écrire avec des quantificateurs la convergence simple, puis la convergence uniforme de \((f_n)\) vers une fonction \(f\) sur \(I\).
- On suppose que, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un rang \(N\) tel que \(|f_p(x) – f_q(x)| \leq \varepsilon\) pour tous \(p, q \geq N\) et tout \(x \in I\). Montrer que \((f_n)\) converge simplement sur \(I\), puis que cette convergence est uniforme.
- On suppose que \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(I\) et que chaque \(f_n\) est bornée. Prouver alors que \(f\) est bornée.
Exercice 2 – Une bosse qui grandit (5 points)
Pour tout entier \(n \geq 1\), on définit sur \(\left[0\,;+\infty\right[\) la fonction \(f_n(x) = \dfrac{n^2 x}{(1 + nx)^3}\). La figure présente les graphes de \(f_1\), \(f_2\) et \(f_4\) sur \([0\,;2]\).
- Montrer que \((f_n)\) converge simplement vers la fonction nulle sur \(\left[0\,;+\infty\right[\).
- Étudier les variations de \(f_n\) et montrer que son maximum vaut \(\frac{4n}{27}\). La convergence est-elle uniforme sur \(\left[0\,;+\infty\right[\) ?
- Soit \(a > 0\). Prouver cependant que la convergence est uniforme sur \(\left[a\,;+\infty\right[\).
- Justifier que l’intégrale \(I_n = \int_0^{+\infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x\) converge, puis montrer que \(I_n = \frac{1}{2}\) grâce au changement de variable \(u = nx\). Que dire alors de la limite de \(I_n\) comparée à l’intégrale de la limite ?
Exercice 3 – Une série qui prolonge les nombres harmoniques (4 points)
Pour \(n \geq 1\) et \(x \geq 0\), on pose \(u_n(x) = \dfrac{x}{n(n + x)}\). On note \(H_k = \sum_{j=1}^{k} \frac{1}{j}\) le \(k\)-ième nombre harmonique.
- Soit \(A > 0\). Montrer que la série \(\sum u_n\) converge normalement sur \([0\,;A]\).
- Vérifier que \(u_n(x) = \frac{1}{n} – \frac{1}{n + x}\), puis calculer \(\sup_{x \geq 0} u_n(x)\). La convergence est-elle normale sur \(\left[0\,;+\infty\right[\) ?
- On note \(S\) la somme de la série. Justifier ensuite que \(S\) est continue sur \(\left[0\,;+\infty\right[\).
- Pour un entier \(k \geq 1\), montrer que \(S(k) = H_k\). Calculer ainsi \(S(1)\), \(S(2)\) et \(S(3)\).
- En déduire la limite de \(S\) en \(+\infty\), après avoir justifié que \(S\) est croissante.
Exercice 4 – La double limite comme contre-exemple (3 points)
Pour \(n \geq 1\) et \(x \geq 0\), on pose \(g_n(x) = \left(\dfrac{x}{1 + x}\right)^n\).
- Rappeler l’énoncé du théorème de la double limite, en un point \(b\) adhérent à l’intervalle de définition, éventuellement infini.
- Déterminer d’abord la limite simple de \((g_n)\) sur \(\left[0\,;+\infty\right[\).
- Calculer, pour chaque \(n\), la limite de \(g_n\) en \(+\infty\). À l’aide du théorème précédent, montrer alors que la convergence n’est pas uniforme sur \(\left[0\,;+\infty\right[\).
- Soit \(A > 0\). Prouver que \(\sum_{n \geq 1} g_n\) converge normalement sur \([0\,;A]\), puis que sa somme vaut \(x\).
Exercice 5 – Problème : une série trigonométrique géométrique (5 points)
Pour tout entier \(n \geq 0\) et tout réel \(x\), on pose \(v_n(x) = \dfrac{(-1)^n \cos(nx)}{2^n}\). On note \(S_N = \sum_{n=0}^{N} v_n\) les sommes partielles. La figure compare \(S_1\), \(S_2\) et la somme \(\varphi\) de la série sur \([-\pi\,;\pi]\).
- Montrer que \(\sum v_n\) converge normalement sur \(\mathbb{R}\). En déduire que sa somme \(\varphi\) est continue, paire et \(2\pi\)-périodique.
- Démontrer que \(\varphi\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\), en précisant le théorème utilisé, et exprimer \(\varphi^{\prime}(x)\) comme somme d’une série.
- En écrivant \(v_n(x)\) comme partie réelle de \(\left(-\frac{\mathrm{e}^{ix}}{2}\right)^n\), établir que \(\varphi(x) = \dfrac{4 + 2\cos x}{5 + 4\cos x}\). Calculer ensuite \(\varphi^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)\).
- Justifier enfin une intégration terme à terme sur \([0\,;\pi]\) et en déduire la valeur de \(\int_0^{\pi} \dfrac{4 + 2\cos x}{5 + 4\cos x}\,\mathrm{d}x\).
Réviser suites de fonctions et double limite avant le contrôle
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