Lois usuelles et calculs d’espérance : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « lois usuelles et calculs d’espérance », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se place au semestre 3, après le chapitre sur les variables aléatoires discrètes. D’abord, vous lirez une loi sur un diagramme en bâtons, puis vous calculerez son espérance, sa variance et sa fonction de répartition. Ensuite, trois situations concrètes vous demanderont de reconnaître une loi hypergéométrique, une loi géométrique et une loi de Poisson. Le troisième exercice repose sur le théorème de transfert, avec des séries à sommer. Puis vous comparerez les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev. Enfin, le problème étudie un stand de fléchettes. Chaque existence d’espérance doit être justifiée, et aucun couple de variables n’est étudié dans ce contrôle.
Ce qu’évalue le contrôle : lois usuelles et calculs d’espérance
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Lois discrètes, espérance et variance (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Identifier une loi hypergéométrique, géométrique ou de Poisson à partir d’une situation décrite
- Calculer une espérance par le théorème de transfert en justifiant la convergence absolue de la série
- Obtenir une variance avec la formule de König-Huygens ou par le moment factoriel
- Comparer la borne de Markov et celle de Bienaymé-Tchebychev sur un même événement rare
Avant de commencer le devoir
Avant de sommer une série, écrivez d’abord sa convergence : c’est le point que les correcteurs regardent en premier. Pour reconnaître une loi, décrivez l’expérience en une phrase, puis nommez la loi avec tous ses paramètres. Quand une somme ressemble à celle de l’exponentielle, décalez l’indice pour faire apparaître la série connue. Enfin, contrôlez vos probabilités : leur somme vaut 1, et une espérance reste dans l’intervalle des valeurs prises.
Le sujet du contrôle : lois usuelles et calculs d’espérance
Exercice 1 – Une loi lue sur un diagramme (3 points)
Une variable aléatoire \(W\) prend les valeurs \(-2\), \(0\), \(1\) et \(3\). Sa loi est ainsi donnée par le diagramme en bâtons ci-dessous.
- Calculer \(E(W)\), puis \(E\left(W^2\right)\). En déduire la variance et l’écart type de \(W\).
- Grâce au théorème de transfert, calculer \(E\left(2^W\right)\).
- Donner la fonction de répartition \(F_W\) de \(W\) sur chaque intervalle, puis la représenter.
Exercice 2 – Trois situations, trois lois (4 points)
Pour chaque situation, nommer d’abord la loi de la variable avec ses paramètres, puis répondre à la question posée.
- Un carton contient 12 cartouches d’encre, dont 4 sont défectueuses. Romane en prélève 3 simultanément, au hasard. Soit \(X\) le nombre de cartouches défectueuses obtenues. Donner la loi de \(X\) sous forme de tableau, puis calculer \(E(X)\).
- Un archer atteint le centre de la cible avec la probabilité \(\frac{1}{5}\) à chaque tir, les tirs étant indépendants. Il tire jusqu’à atteindre le centre, et \(Y\) désigne le rang de ce premier succès. Calculer \(P(Y = 3)\), puis donner \(E(Y)\) et \(V(Y)\).
- Le nombre \(Z\) de particules détectées par un compteur en une seconde suit une loi de Poisson de moyenne 2. Calculer \(P(Z \geq 2)\).
Exercice 3 – Transfert pour Poisson et géométrique (5 points)
Soient \(\lambda > 0\) et \(X\) une variable de loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\). Soient aussi \(p \in \left]0, 1\right[\), \(q = 1 – p\), et \(Y\) une variable de loi géométrique \(\mathcal{G}(p)\), à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\).
- Justifier que \(\frac{1}{X + 1}\) admet une espérance, puis montrer que \(E\left(\frac{1}{X + 1}\right) = \frac{1 – \mathrm{e}^{-\lambda}}{\lambda}\).
- Montrer que \(X(X – 1)\) admet une espérance égale à \(\lambda^2\). En déduire \(V(X)\).
- Soit \(s > 0\). Déterminer à quelle condition sur \(s\) la variable \(s^Y\) admet une espérance, et montrer qu’alors \(E\left(s^Y\right) = \frac{ps}{1 – qs}\).
- Application : pour \(p = \frac{2}{3}\), calculer \(E\left(2^Y\right)\).
Exercice 4 – Passagers absents et deux inégalités (3 points)
Une compagnie aérienne a vendu 300 billets pour un vol. Chaque passager, sans lien avec les autres, renonce à embarquer une fois sur quinze. Soit \(N\) le nombre de passagers absents à l’embarquement.
- Identifier la loi de \(N\), puis calculer \(E(N)\) et \(V(N)\). Avec l’inégalité de Markov, majorer alors \(P(N \geq 40)\).
- Majorer de nouveau \(P(N \geq 40)\), cette fois avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis comparer les deux bornes.
- La compagnie veut un entier \(a\) tel que \(P\left(|N – 20| < a\right) \geq 0{,}95\). Quel est le plus petit \(a\) que fournit Bienaymé-Tchebychev ?
Exercice 5 – Problème : le stand de fléchettes (5 points)
À la fête du quartier, Inès lance des fléchettes sur un ballon. À chaque lancer, elle le crève avec la probabilité \(\frac{1}{3}\), indépendamment des lancers précédents, et elle s’arrête dès que le ballon est crevé. On note alors \(T\) le nombre de lancers effectués. L’arbre ci-dessous décrit les premiers lancers (S pour succès, E pour échec).
On admet que \(\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k} = -\ln(1 – x)\) pour \(x \in \left]-1, 1\right[\), et que \(1{,}09 < \ln 3 < 1{,}10\).
- Reconnaître la loi de \(T\), puis donner \(E(T)\) et \(V(T)\).
- Pour \(n \in \mathbb{N}\), calculer \(P(T > n)\). Quelle est la probabilité qu’Inès lance plus de 3 fléchettes ?
- Le stand remet \(\frac{12}{T}\) euros à Inès lorsque le ballon est crevé. Justifier l’existence de \(E\left(\frac{12}{T}\right)\), puis montrer qu’elle vaut \(6\ln 3\).
- Chaque partie coûte \(c\) euros, avec \(c\) entier. Quelle est la plus petite valeur de \(c\) pour laquelle le gain moyen du joueur est négatif ?
- Majorer \(P(T \geq 10)\) par l’inégalité de Markov. Calculer ensuite la valeur exacte de cette probabilité et montrer qu’elle est inférieure à \(0{,}03\).
- Enfin, montrer que \(P(T > m + n \mid T > m) = P(T > n)\) pour tous entiers naturels \(m\) et \(n\). Interpréter ce résultat.
Réviser lois usuelles et calculs d’espérance avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours lois discrètes, espérance et variance ; entraînez-vous sur les exercices lois discrètes, espérance et variance avant de retenter le sujet.
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