Formes quadratiques et coniques en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une forme bilinéaire du plan et son changement de base

Sur \(\mathbb{R}^2\), on pose \(b(x,y) = 3x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 – 2x_2y_2\), où \(x = (x_1,x_2)\) et \(y = (y_1,y_2)\).

1. Écrire la matrice \(M\) de \(b\) dans la base canonique. La forme \(b\) est-elle symétrique ?
2. Calculer \(b(u,v)\) pour \(u = (1,2)\) et \(v = (-1,1)\), d’abord directement, puis avec \(U^{T}MV\).
3. On considère la base \(\mathcal{B}^{\prime} = (f_1, f_2)\) avec \(f_1 = (1,1)\) et \(f_2 = (1,-2)\). Déterminer la matrice de \(b\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\).

Exercice 2 – Forme polaire d’une forme quadratique de trois variables

Sur \(\mathbb{R}^3\), on considère \(q(x,y,z) = 2x^2 – y^2 + 4xz – 6yz\).

1. Écrire la matrice de \(q\) dans la base canonique.
2. En déduire l’expression de la forme polaire \(b\) de \(q\).
3. Vérifier la valeur de \(b\big((1,0,0),(0,1,1)\big)\) avec l’identité \(b(u,v) = \frac{1}{2}\big(q(u+v) – q(u) – q(v)\big)\).

Exercice 3 – Une forme quadratique sur les polynômes de degré au plus 2

Sur \(E = \mathbb{R}_2[X]\), on pose \(q(P) = P(0)\,P(2)\).

1. Justifier que \(q\) est quadratique, puis expliciter la forme bilinéaire symétrique associée.
2. Écrire sa matrice dans la base \((1, X, X^2)\).
3. Déterminer le noyau de \(q\) et son rang. Interpréter les polynômes du noyau.
4. Trouver la signature de \(q\).

Exercice 4 – Première réduction de Gauss avec un terme carré

On considère sur \(\mathbb{R}^3\) la forme \(q(x,y,z) = x^2 + 4xy – 2xz + 5y^2 + 2z^2\).

1. Réduire \(q\) par la méthode de Gauss en commençant par la variable \(x\).
2. Vérifier que les formes linéaires obtenues sont indépendantes.
3. En déduire le rang et la signature de \(q\). La forme est-elle définie positive ?

Exercice 5 – Cône isotrope d’une forme sur le plan

Sur \(\mathbb{R}^2\), soit \(q(x,y) = 2x^2 – xy – y^2\). La figure montre quelques lignes de niveau de \(q\).

1. Factoriser \(q(x,y)\) et décrire son cône isotrope.
2. Montrer que \(q\) est non dégénérée.
3. Montrer que le cône isotrope n’est pas un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^2\).
4. Donner la signature de \(q\).

Exercice 6 – Matrices congruentes ou non

On note \(I_2\) la matrice identité, \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\).

1. Trouver une matrice inversible \(P\) telle que \(P^{T}AP = I_2\).
2. Calculer \(Q^{T}BQ\) pour \(Q = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\). Conclure.
3. Montrer, sans utiliser la loi de Sylvester, que \(I_2\) et \(D\) ne sont pas congruentes.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Réduction de Gauss sans aucun carré

Soit \(q(x,y,z) = xy + 3xz – yz\) sur \(\mathbb{R}^3\).

1. Déterminer des formes linéaires \(A\) et \(B\) et un réel \(c\) tels que \(q = AB + c\,z^2\).
2. En déduire une réduction de Gauss de \(q\).
3. Donner le rang et la signature de \(q\).
4. Trouver un vecteur isotrope non nul de \(q\).

Exercice 8 – Signature selon un paramètre réel

Pour \(a \in \mathbb{R}\), on pose \(q_a(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + z^2 + 2axy + 2yz\).

1. Réduire \(q_a\) par la méthode de Gauss.
2. Déterminer, selon les valeurs de \(a\), le rang et la signature de \(q_a\).
3. Pour quelles valeurs de \(a\) la forme \(q_a\) est-elle un produit scalaire ?
4. Pour \(a = 1\), déterminer le noyau de \(q_1\).

Exercice 9 – Une somme de trois carrés trompeuse

Soit \(q(x,y,z) = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2\).

1. Expliquer pourquoi cette écriture ne permet pas de conclure que la signature vaut \((3,0)\).
2. Développer \(q\), puis la réduire par la méthode de Gauss.
3. En déduire la signature et le noyau de \(q\).

Exercice 10 – Réduction orthonormée en dimension 2

Dans \(\mathbb{R}^2\) euclidien, soit \(q(x,y) = 3x^2 + 4xy\).

1. Écrire la matrice de \(q\) et calculer ses valeurs propres.
2. Déterminer une base orthonormée directe de vecteurs propres.
3. Exprimer \(q\) dans cette base et nommer la courbe d’équation \(q(x,y) = 4\).

Exercice 11 – Réduction orthonormée en dimension 3 et comparaison avec Gauss

Soit \(q(x,y,z) = 3x^2 + 2y^2 + 3z^2 – 2xy – 2yz\) sur \(\mathbb{R}^3\) euclidien.

1. Écrire la matrice \(M\) de \(q\). Vérifier que \((1,2,1)\), \((1,0,-1)\) et \((1,-1,1)\) sont des vecteurs propres de \(M\).
2. En déduire une base orthonormée qui réduit \(q\), ainsi que l’expression réduite.
3. Réduire \(q\) par la méthode de Gauss. Comparer les coefficients et leurs produits.
4. Quelle est la nature de la surface \(q(x,y,z) = 12\) ?

Exercice 12 – Une ellipse décentrée et inclinée

On considère la conique \(\Gamma : 5x^2 – 6xy + 5y^2 + 2x – 14y + 5 = 0\).

1. Montrer que \(\Gamma\) a un centre et le déterminer.
2. Écrire l’équation de \(\Gamma\) dans le repère translaté en ce centre.
3. Réduire la partie quadratique en base orthonormée et donner la nature de \(\Gamma\), ses axes et ses demi-axes.

Exercice 13 – Une parabole à axe oblique

Soit \(\Gamma : x^2 + 4xy + 4y^2 + 10x – 5y = 0\).

1. Montrer que la partie quadratique est de rang 1.
2. On pose \(u = \frac{1}{\sqrt{5}}(x + 2y)\) et \(v = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2x + y)\). Justifier que \((u,v)\) sont les coordonnées dans une base orthonormée, puis écrire l’équation de \(\Gamma\).
3. Donner la nature de \(\Gamma\), son sommet et son axe. Vérifier que le point \((-1,3)\) est sur \(\Gamma\).

Exercice 14 – Une hyperbole équilatère et ses asymptotes

Soit \(\Gamma : xy + x – 2y – 4 = 0\).

1. Calculer la signature de la partie quadratique et prévoir la nature de \(\Gamma\).
2. Écrire l’équation sous la forme \((x – \alpha)(y – \beta) = k\).
3. Donner le centre et les asymptotes de \(\Gamma\).
4. Par une rotation d’angle \(\pi/4\) autour du centre, obtenir l’équation réduite. Déterminer les sommets.

Exercice 15 – Forme quadratique définie par une intégrale

Sur \(E = \mathbb{R}_2[X]\), on pose \(q(P) = \displaystyle\int_0^1 P(t)\,P^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(q(P) = \frac{1}{2}\big(P(1)^2 – P(0)^2\big)\). Prouver ensuite que \(q\) est quadratique et écrire sa forme polaire.
2. Écrire la matrice de \(q\) dans la base \((1, X, X^2)\).
3. Déterminer le noyau, le rang et la signature de \(q\).
4. Trouver un polynôme isotrope qui n’est pas dans le noyau.

Pour approfondir

Exercice 16 – Plans totalement isotropes en dimension 4

Sur \(\mathbb{R}^4\), on pose \(q(x) = x_1x_2 + x_3x_4\), de forme polaire \(b\). Un sous-espace \(F\) est dit totalement isotrope si \(b(u,v) = 0\) pour tous \(u, v\) de \(F\).

1. Montrer qu’un sous-espace \(F\) est totalement isotrope si et seulement si \(q\) est nulle sur \(F\).
2. Déterminer la signature de \(q\).
3. Montrer que \(F = \mathrm{Vect}(e_1, e_3)\) est totalement isotrope.
4. Montrer que \(q\) est définie positive sur \(G = \mathrm{Vect}\big((1,1,0,0), (0,0,1,1)\big)\).
5. En déduire qu’aucun sous-espace de dimension 3 n’est totalement isotrope.
6. Montrer que \(\mathbb{R}^4\) admet une base formée de vecteurs isotropes, bien que le cône isotrope ne soit pas un sous-espace.

Exercice 17 – Une famille de quadriques selon le second membre

Pour \(k \in \mathbb{R}\), on note \(S_k\) la surface d’équation \(x^2 + y^2 – 3z^2 + 4xy = k\).

1. Réduire la forme \(q(x,y,z) = x^2 + y^2 – 3z^2 + 4xy\) par la méthode de Gauss et donner sa signature.
2. Réduire \(q\) en base orthonormée.
3. Déterminer la nature de \(S_3\), de \(S_{-3}\) et de \(S_0\).
4. Décrire l’intersection de \(S_3\) avec le plan \(z = 0\).

Exercice 18 – Problème sur une famille de coniques à paramètre

Pour \(m \in \mathbb{R}\), on note \(\mathcal{C}_m\) la courbe d’équation \(x^2 + 2mxy + y^2 = 1\). La figure trace quelques courbes de la famille.

1. Montrer que toutes les courbes \(\mathcal{C}_m\) passent par quatre points fixes que l’on précisera.
2. Calculer les valeurs propres et des vecteurs propres unitaires de la matrice de \(q_m(x,y) = x^2 + 2mxy + y^2\).
3. Écrire l’équation de \(\mathcal{C}_m\) dans la base orthonormée obtenue.
4. Classer \(\mathcal{C}_m\) selon les valeurs de \(m\), cas dégénérés compris.
5. Lorsque \(\mathcal{C}_m\) est une ellipse, donner ses demi-axes et montrer que l’aire du domaine qu’elle limite vaut \(\dfrac{\pi}{\sqrt{1 – m^2}}\). Calculer cette aire pour \(m = 3/5\).
6. Pour \(m = 5/4\), déterminer les pentes des asymptotes de \(\mathcal{C}_m\).

Pour aller plus loin

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