Quiz signature, Gauss et classification des courbes en L2

Quiz signature, Gauss et classification des courbes en L2 de maths

Dix questions express pour vérifier que tu écris la matrice d'une forme quadratique, que tu la réduis vite et que tu reconnais coniques et quadriques.

Matrice de \(q(x,y) = 3x^2 + 4xy - y^2\) dans la base canonique ?

A.\(\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz rapide fait travailler les gestes de base sur les formes quadratiques : écrire la matrice associée sans doubler les termes croisés, retrouver la forme polaire, mener une réduction de Gauss en une ligne, lire la signature à partir des valeurs propres et utiliser la loi d'inertie de Sylvester. La fin du quiz te demande de classer des coniques et une quadrique à partir de leur équation.

Lance-le avant un TD ou une colle d'algèbre bilinéaire, puis la veille du partiel. Chaque question se fait en moins d'une minute. Les réponses fausses correspondent aux pièges classiques : mettre le coefficient de \(xy\) entier hors de la diagonale, oublier le facteur un demi de la forme polaire, compter une valeur propre nulle dans la signature ou se tromper de nombre de nappes. Corrige chaque erreur au brouillon, puis recommence.

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Questions fréquentes : signature, Gauss et classification des courbes en L2

Pourquoi divise-t-on par deux le coefficient du terme croisé dans la matrice ?

La matrice doit être symétrique et le terme \(xy\) apparaît deux fois dans le produit \(X^T A X\), une fois pour chaque coefficient hors diagonale. Chacun reçoit donc la moitié du coefficient.

La signature dépend-elle de la base choisie ?

Non : c'est le contenu de la loi d'inertie de Sylvester. Toute réduction en somme de carrés de formes linéaires indépendantes donne le même nombre de carrés positifs et négatifs.

Comment reconnaître vite le type d'une conique ?

On regarde le signe du déterminant de la partie quadratique : positif pour le genre ellipse, négatif pour le genre hyperbole, nul pour le genre parabole. Les termes de degré un précisent ensuite les cas dégénérés.

Quiz signature, Gauss et classification des courbes en L2 de maths

Matrice de \(q(x,y) = 3x^2 + 4xy - y^2\) dans la base canonique ?

Forme polaire de \(q(x_1, x_2) = x_1 x_2\) ?

Réduction de Gauss de \(x^2 + 6xy + 5y^2\) ?

Signature de \(q(x,y,z) = 2xz + y^2\) ?

Un vecteur isotrope non nul de \(q(x,y) = x^2 - 4y^2\) ?

Matrice symétrique réelle de valeurs propres \(5\), \(-2\) et \(0\) : signature ?

Deux matrices symétriques réelles sont congruentes si et seulement si elles ont :

Nature de la conique \(x^2 + xy + y^2 = 1\) ?

Nature de la conique \(x^2 - 2xy + y^2 + x = 0\) ?

Nature de la quadrique \(x^2 - y^2 - z^2 = 1\) ?

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

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Questions fréquentes : signature, Gauss et classification des courbes en L2