Quiz intégrer en plusieurs dimensions en L2

Quiz intégrer en plusieurs dimensions en L2 de maths

Dix calculs éclair pour vérifier que tu maîtrises Fubini, les jacobiens usuels, les volumes, la longueur d'une courbe et la formule de Green-Riemann en licence.

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz express passe en revue les calculs de base de l'intégration multiple. Tu y intègres sur un rectangle avec le théorème de Fubini, tu poses les bornes sur un triangle, tu retrouves le jacobien des coordonnées polaires et sphériques, tu calcules un volume sous une surface, la longueur d'un arc paramétré et la circulation d'une forme différentielle grâce à la formule de Green-Riemann.

Prends-le avant un TD ou un partiel d'analyse de deuxième année : chaque question se fait en une ou deux lignes au brouillon. Les erreurs les plus fréquentes viennent d'un facteur \(r\) oublié lors du passage en polaires, de bornes mal décrites sur un domaine non rectangulaire ou d'une orientation inversée sur le bord. Si tu en commets une, refais le calcul en dessinant d'abord le domaine, c'est le meilleur réflexe pour fiabiliser tes calculs d'aire et de volume.

Aller plus loin sur intégrer en plusieurs dimensions

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Questions fréquentes : intégrer en plusieurs dimensions en L2

Pourquoi un facteur r apparaît-il en coordonnées polaires ?

Il provient du déterminant de la matrice jacobienne du passage des polaires aux cartésiennes, qui vaut exactement \(r\). Géométriquement, un petit rectangle de côtés \(dr\) et \(d\theta\) a une aire voisine de \(r\,dr\,d\theta\).

Comment choisir l'ordre d'intégration sur un domaine non rectangulaire ?

Dessine le domaine, fixe une variable et lis l'intervalle décrit par l'autre. Choisis l'ordre qui donne les bornes les plus simples ou la primitive la plus facile.

À quoi sert la formule de Green-Riemann en pratique ?

Elle transforme une intégrale curviligne sur un bord fermé orienté en intégrale double sur le domaine intérieur, ou l'inverse. On s'en sert notamment pour calculer une aire par une circulation.

Quiz intégrer en plusieurs dimensions en L2 de maths

Que vaut \(\iint_{[0,1]\times[0,2]} xy \,dx\,dy\) ?

Valeur absolue du jacobien des coordonnées polaires ?

Jacobien des sphériques \((r,\theta,\varphi)\), \(\varphi\) angle avec l'axe \(Oz\) ?

\(D\) disque de centre \(O\) et de rayon 3. Que vaut \(\iint_D \sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy\) ?

Domaine \(0 \leq y \leq x \leq 2\). À \(x\) fixé, \(y\) varie :

Volume sous \(z = x^2+y^2\) au-dessus du disque de rayon 2 ?

Longueur de l'arc \(t \mapsto (3\cos t, 3\sin t)\), \(t \in [0,\pi]\) ?

Bord \(\partial D\) orienté dans le sens direct : que vaut \(\oint_{\partial D} x\,dy\) ?

Hypothèse simple pour intervertir les deux intégrales sur un rectangle :

Cercle unité orienté dans le sens direct : \(\oint (y\,dx - x\,dy)\) ?

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Questions fréquentes : intégrer en plusieurs dimensions en L2