Intégrales doubles et triples en L2 de maths : cours et méthodes
Ce chapitre construit pas à pas le calcul des intégrales doubles L2 et triples, toujours à partir d’un dessin du domaine. Nous commençons par les rectangles et le théorème de Fubini, puis nous passons aux domaines élémentaires bornés par deux courbes.
Ensuite viennent les changements de variables et leur jacobien, avec les coordonnées polaires, cylindriques et sphériques. Ces outils donnent des aires et des volumes que l’on ne saurait pas obtenir autrement. Le chapitre s’appuie sur le calcul différentiel du premier semestre.
Enfin, la dernière partie traite des courbes paramétrées, des formes différentielles et des intégrales curvilignes. Elle culmine avec la formule de Green-Riemann : ce que l’on accumule le long de la frontière se calcule aussi à l’intérieur. Ce résultat prépare l’analyse vectorielle de troisième année.
Ce que vous saurez faire
- Calculer une intégrale double sur un rectangle ou sur un domaine élémentaire grâce au théorème de Fubini.
- Décrire un domaine par des inégalités et choisir l’ordre d’intégration le plus commode.
- Effectuer un changement de variables en calculant son jacobien, en particulier en coordonnées polaires.
- Calculer une intégrale triple et un volume en coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques.
- Calculer la longueur d’une courbe paramétrée et l’intégrale curviligne d’une forme différentielle.
- Appliquer la formule de Green-Riemann, notamment pour obtenir une aire.
1. Intégrales doubles sur un rectangle
Dans toute cette partie, \(R=[a,b]\times[c,d]\) est un rectangle du plan et \(f\) une fonction continue sur \(R\). L’intégrale double généralise l’intégrale simple : au lieu d’une aire sous une courbe, elle mesure un volume sous une surface.
1.1 L’idée de la construction
On découpe \(R\) en petits rectangles \(R_{ij}\) d’aires \(\Delta x_i\,\Delta y_j\). Sur chacun, on choisit un point \(M_{ij}\), puis on forme la somme \(\sum f(M_{ij})\,\Delta x_i\,\Delta y_j\). Lorsque le découpage s’affine, ces sommes convergent vers un nombre, noté \(\iint_R f(x,y)\,dx\,dy\).
Remarque :
Nous admettons cette convergence pour les fonctions continues. En revanche, nous retenons ses conséquences : l’intégrale double est linéaire, croissante, et \(\iint_R 1\,dx\,dy\) vaut l’aire de \(R\). De plus, si \(f\ge 0\), l’intégrale est le volume du solide situé entre le plan \(z=0\) et la surface \(z=f(x,y)\).
1.2 Le théorème de Fubini
En pratique, on ne calcule jamais une limite de sommes. On ramène l’intégrale double à deux intégrales simples emboîtées.
Si \(f\) est continue sur \(R=[a,b]\times[c,d]\), alors
\[\iint_R f(x,y)\,dx\,dy=\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx=\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy.\]
Autrement dit, on peut intégrer d’abord en \(y\) à \(x\) fixé, puis en \(x\), ou l’inverse. Le résultat ne dépend pas de l’ordre choisi. En revanche, la difficulté des calculs peut beaucoup en dépendre.
Calculons \(I=\iint_R x\,e^{xy}\,dx\,dy\) avec \(R=[0,1]\times[1,2]\). Si l’on intègre d’abord en \(x\), il faut une intégration par parties. Au contraire, à \(x\) fixé, une primitive de \(y\mapsto x\,e^{xy}\) est \(y\mapsto e^{xy}\).
On obtient donc \(\int_1^2x\,e^{xy}\,dy=e^{2x}-e^{x}\). Ensuite, on intègre en \(x\) :
\[I=\int_0^1(e^{2x}-e^{x})\,dx=\frac{e^2-1}{2}-(e-1)=\frac{(e-1)^2}{2}.\]
Si \(f(x,y)=g(x)h(y)\) avec \(g\) et \(h\) continues, alors l’intégrale se sépare : \(\iint_{[a,b]\times[c,d]}g(x)h(y)\,dx\,dy=\left(\int_a^bg\right)\left(\int_c^dh\right)\).
Par exemple, sur \([0,2]\times[0,\ln 3]\), l’intégrale de \(x\,e^{y}\) vaut \(\left(\int_0^2x\,dx\right)\left(\int_0^{\ln 3}e^{y}\,dy\right)=2\times 2=4\).
2. Domaines élémentaires et ordre d’intégration
Les domaines rencontrés en pratique sont rarement des rectangles. Heureusement, la plupart se décrivent par deux courbes, ce qui permet encore d’utiliser Fubini.
2.1 Description d’un domaine
Un domaine élémentaire vertical est un ensemble de la forme \(D=\{(x,y) : a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\}\), où \(\varphi_1\le\varphi_2\) sont continues sur \([a,b]\). On définit de même un domaine élémentaire horizontal en échangeant les rôles de \(x\) et de \(y\).
Pour \(f\) continue sur un domaine élémentaire vertical \(D\), on a
\[\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\int_a^b\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy\right)dx.\]
En particulier, l’aire de \(D\) vaut \(\int_a^b\big(\varphi_2(x)-\varphi_1(x)\big)\,dx\).
La figure montre la lecture verticale : à \(x\) fixé, \(y\) parcourt un segment qui va du bord inférieur au bord supérieur.
Soit \(D\) le domaine compris entre la parabole \(y=\frac{x^2}{2}\) et la droite \(y=x\). Les deux courbes se coupent en \(x=0\) et \(x=2\), et la droite est au-dessus sur \([0,2]\). Ainsi \(D=\{0\le x\le 2,\ \frac{x^2}{2}\le y\le x\}\).
D’abord, l’aire vaut \(\int_0^2\big(x-\frac{x^2}{2}\big)dx=2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\). Ensuite, calculons \(J=\iint_D y\,dx\,dy\) :
\[J=\int_0^2\left[\frac{y^2}{2}\right]_{x^2/2}^{x}dx=\int_0^2\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}\right)dx=\frac{4}{3}-\frac{4}{5}=\frac{8}{15}.\]
2.2 Changer l’ordre d’intégration
Un même domaine admet souvent les deux lectures. Le domaine \(D\) précédent s’écrit aussi \(\{0\le y\le 2,\ y\le x\le\sqrt{2y}\}\). On vérifie alors \(J=\int_0^2y\big(\sqrt{2y}-y\big)\,dy=\frac{16}{5}-\frac{8}{3}=\frac{8}{15}\), comme attendu.
- Dessiner le domaine et repérer les points d’intersection des courbes qui le bordent.
- Choisir une lecture : verticale (bornes en \(y\) qui dépendent de \(x\)) ou horizontale (bornes en \(x\) qui dépendent de \(y\)).
- Écrire le domaine par des inégalités, les bornes extérieures étant des constantes.
- Intégrer d’abord la variable intérieure, puis la variable extérieure.
- Si une primitive est introuvable, revenir à l’étape 2 avec l’autre lecture.
Piège à éviter :
Les bornes de l’intégrale extérieure sont toujours des nombres. Si une variable apparaît encore dans les bornes extérieures, la description du domaine est fausse.
3. Changement de variables et jacobien
Certains domaines deviennent des rectangles après un changement de coordonnées. Il faut alors savoir comment se transforme l’élément d’aire \(dx\,dy\).
3.1 Jacobien et formule de changement de variables
Partons d’une application \(\Phi:(u,v)\mapsto\big(x(u,v),y(u,v)\big)\) dont les dérivées partielles existent et sont continues. On appelle jacobien de \(\Phi\) le nombre
\[J_\Phi(u,v)=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}.\]
Si \(\Phi\) est une bijection de classe \(C^1\) d’un domaine \(\Delta\) sur un domaine \(D\), de réciproque \(C^1\), et si \(f\) est continue sur \(D\), alors
\[\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\iint_\Delta f\big(\Phi(u,v)\big)\,\big|J_\Phi(u,v)\big|\,du\,dv.\]
Nous admettons ce théorème. Son sens géométrique est cependant clair : près d’un point, \(\Phi\) se comporte comme sa différentielle, qui multiplie les aires par \(|J_\Phi|\). C’est pourquoi la valeur absolue est indispensable.
Il est souvent plus simple de calculer le jacobien de la transformation inverse \((x,y)\mapsto(u,v)\). En effet, les deux jacobiens sont inverses l’un de l’autre. Ainsi, si \(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=k\), alors \(dx\,dy=\frac{1}{|k|}\,du\,dv\).
Soit \(D\) le parallélogramme défini par \(0\le x+y\le 2\) et \(0\le x-2y\le 3\). On pose \(u=x+y\) et \(v=x-2y\), si bien que \(D\) devient le rectangle \([0,2]\times[0,3]\).
Le jacobien de \((x,y)\mapsto(u,v)\) vaut \(1\times(-2)-1\times 1=-3\), donc \(dx\,dy=\frac{1}{3}\,du\,dv\). Par conséquent :
\[\iint_D(x+y)^2\,dx\,dy=\frac{1}{3}\int_0^2u^2\,du\int_0^3dv=\frac{1}{3}\times\frac{8}{3}\times 3=\frac{8}{3}.\]
3.2 Les coordonnées polaires
Le changement le plus fréquent est \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\). Son jacobien vaut \(\cos\theta\cdot r\cos\theta-(-r\sin\theta)\sin\theta=r\). Ainsi, l’élément d’aire devient \(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\).
- Vérifier que le domaine est un disque, une couronne ou un secteur, ou que la fonction dépend de \(x^2+y^2\).
- Traduire le domaine en inégalités sur \(r\) et \(\theta\).
- Remplacer \(x\) et \(y\), puis multiplier par le facteur \(r\).
- Séparer l’intégrale lorsque les bornes en \(r\) ne dépendent pas de \(\theta\).
Soit \(C\) le quart de couronne \(\{x\ge 0,\ y\ge 0,\ 1\le x^2+y^2\le 9\}\). En polaires, il s’écrit \(1\le r\le 3\) et \(0\le\theta\le\frac{\pi}{2}\). Calculons l’intégrale de \(xy\) sur \(C\) :
\[\iint_C xy\,dx\,dy=\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\int_1^3r^3\,dr=\frac{1}{2}\times\frac{81-1}{4}=10.\]
La figure montre ce domaine et un petit élément de surface. Sa forme est presque un rectangle de côtés \(dr\) et \(r\,d\theta\), d’où le facteur \(r\).
Piège à éviter :
Oublier le facteur \(r\) est l’erreur la plus fréquente. Pour la détecter, on calcule l’aire d’un disque de rayon \(\rho\) : sans le facteur \(r\), on trouverait \(2\pi\rho\) au lieu de \(\pi\rho^2\).
4. Intégrales triples, aires et volumes
Tout ce qui précède s’étend à trois variables. L’intégrale triple \(\iiint_V f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\) se calcule encore par intégrations successives, et \(\iiint_V 1\) donne le volume de \(V\).
4.1 Fubini en dimension 3 : piles et tranches
Deux lectures dominent. Dans la lecture par piles, on fixe \((x,y)\) dans la projection \(D\) du solide, et \(z\) varie entre deux surfaces. Dans la lecture par tranches, on fixe \(z\) et l’on intègre sur la section horizontale \(S_z\).
Si \(V=\{(x,y)\in D,\ g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)\}\), alors \(\iiint_V f=\iint_D\left(\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}f\,dz\right)dx\,dy\). De même, si \(V\) est compris entre les plans \(z=\alpha\) et \(z=\beta\), alors \(\mathrm{vol}(V)=\int_\alpha^\beta\mathrm{aire}(S_z)\,dz\).
Soit \(V=\{-1\le x\le 1,\ 0\le y\le 2,\ 0\le z\le 1-x^2\}\), un demi-tunnel de section parabolique. Par piles, on intègre d’abord \(z\) de 0 à \(1-x^2\) :
\[\iiint_V z\,dx\,dy\,dz=\int_{-1}^1\int_0^2\frac{(1-x^2)^2}{2}\,dy\,dx=\int_{-1}^1(1-x^2)^2\,dx=2\left(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\right)=\frac{16}{15}.\]
4.2 Coordonnées cylindriques
Les coordonnées cylindriques \((r,\theta,z)\) conservent \(z\) et passent en polaires dans le plan horizontal. Le jacobien vaut encore \(r\), donc \(dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\theta\,dz\). Elles conviennent aux solides de révolution autour de l’axe \(Oz\).
Cherchons le volume du solide situé au-dessus du cône \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) et au-dessous du paraboloïde \(z=2-x^2-y^2\). En cylindriques, on a \(r\le z\le 2-r^2\). Les deux surfaces se rencontrent quand \(r=2-r^2\), soit \(r=1\).
Par conséquent :
\[V=\int_0^{2\pi}\int_0^1(2-r^2-r)\,r\,dr\,d\theta=2\pi\left(1-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)=\frac{5\pi}{6}.\]
La coupe ci-dessous, par un plan vertical contenant l’axe, montre le solide entre les deux surfaces.
4.3 Coordonnées sphériques
Trois nombres suffisent à situer un point \(M\) de l’espace : \(\rho=OM\), l’angle polaire \(\theta\) de sa projection horizontale, et l’écart angulaire \(\varphi\in[0,\pi]\) entre \(\overrightarrow{OM}\) et l’axe vertical. Ainsi \(x=\rho\sin\varphi\cos\theta\), \(y=\rho\sin\varphi\sin\theta\) et \(z=\rho\cos\varphi\).
Le jacobien des coordonnées sphériques vaut \(\rho^2\sin\varphi\). On écrit donc \(dx\,dy\,dz=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\theta\,d\varphi\). Ce facteur est toujours positif, car \(\varphi\in[0,\pi]\).
Par exemple, le « cornet » formé des points de la boule de rayon 2 situés dans le cône \(\varphi\le\frac{\pi}{3}\) a pour volume \(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi\int_0^2\rho^2\,d\rho=2\pi\times\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}=\frac{8\pi}{3}\).
Remarque :
Le choix du système de coordonnées se lit sur la géométrie. Un solide limité par des plans se traite en cartésiennes. Ensuite, un solide de révolution autour de \(Oz\) appelle les cylindriques. Enfin, une boule, un cône issu de l’origine ou une fonction de \(x^2+y^2+z^2\) appellent les sphériques.
5. Courbes paramétrées et intégrales curvilignes
Nous quittons les domaines pour les courbes. Une courbe paramétrée de classe \(C^1\) est une application \(\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^2\), \(t\mapsto\big(x(t),y(t)\big)\). Le vecteur \(\gamma^{\prime}(t)\) est le vecteur vitesse au point \(\gamma(t)\).
5.1 Longueur d’un arc
La longueur de l’arc \(\gamma\) est \(L(\gamma)=\int_a^b\|\gamma^{\prime}(t)\|\,dt=\int_a^b\sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2}\,dt\).
Cette formule s’obtient en approchant la courbe par une ligne brisée : chaque petit segment a pour longueur environ \(\|\gamma^{\prime}(t)\|\,\Delta t\). Elle ne dépend pas du paramétrage choisi, pourvu qu’il parcoure l’arc une seule fois.
Considérons l’arc de spirale \(\gamma(t)=e^t(\cos t,\sin t)\) pour \(0\le t\le 1\). On dérive : \(\gamma^{\prime}(t)=e^t(\cos t-\sin t,\ \sin t+\cos t)\). Ensuite, \(\|\gamma^{\prime}(t)\|^2=e^{2t}\big((\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2\big)=2e^{2t}\).
Par conséquent, \(L=\int_0^1\sqrt{2}\,e^t\,dt=\sqrt{2}\,(e-1)\approx 2{,}43\).
5.2 Formes différentielles et intégrale curviligne
Une forme différentielle sur un ouvert \(U\) de \(\mathbb{R}^2\) est une expression \(\omega=P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy\), où \(P\) et \(Q\) sont continues sur \(U\). Son intégrale curviligne le long de \(\gamma\) est
\[\int_\gamma\omega=\int_a^b\Big(P\big(\gamma(t)\big)\,x^{\prime}(t)+Q\big(\gamma(t)\big)\,y^{\prime}(t)\Big)\,dt.\]
Concrètement, on remplace \(x\), \(y\), \(dx\) et \(dy\) par leurs expressions en \(t\). Le résultat ne change pas si l’on reparamètre l’arc dans le même sens. En revanche, il change de signe si l’on inverse le sens de parcours.
Soit \(\omega=y\,dx+2x\,dy\). Le long de l’arc \(\gamma_1\) de parabole \(y=x^2\), de \(O\) à \((1,1)\), on pose \(x=t\), \(y=t^2\). Alors \(dx=dt\), \(dy=2t\,dt\), et \(\int_{\gamma_1}\omega=\int_0^1(t^2+4t^2)\,dt=\frac{5}{3}\).
Le long du segment de \(O\) à \((1,1)\), on pose \(x=y=t\), et l’on trouve \(\int_0^1(t+2t)\,dt=\frac{3}{2}\). Les deux chemins ont les mêmes extrémités, mais les intégrales diffèrent.
5.3 Potentiels, formes exactes, formes fermées
On appelle potentiel de \(\omega\) toute fonction \(f\) de \(U\) dans \(\mathbb{R}\), dérivable à dérivées continues, vérifiant \(df=\omega\) ; la forme est dite exacte quand elle en possède un. Cela signifie \(\omega=df\), c’est-à-dire \(P=\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(Q=\frac{\partial f}{\partial y}\). Une forme de classe \(C^1\) est fermée si \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\) sur \(U\).
Si \(\omega=df\), alors pour tout chemin \(\gamma\) de \(A\) à \(B\), on a \(\int_\gamma\omega=f(B)-f(A)\). En particulier, l’intégrale d’une forme exacte sur un chemin fermé est nulle.
La fonction \(g(t)=f\big(\gamma(t)\big)\) est de classe \(C^1\). Par la règle de la chaîne, \(g^{\prime}(t)=\frac{\partial f}{\partial x}x^{\prime}(t)+\frac{\partial f}{\partial y}y^{\prime}(t)\), ce qui est exactement l’intégrande. Donc \(\int_\gamma\omega=g(b)-g(a)=f(B)-f(A)\).
Une forme exacte de classe \(C^1\) est fermée, d’après le théorème de Schwarz. Réciproquement, nous admettons le théorème de Poincaré : sur un ouvert étoilé, toute forme fermée est exacte. Ainsi, la forme \(y\,dx+2x\,dy\) n’est pas exacte, car \(\frac{\partial P}{\partial y}=1\neq 2=\frac{\partial Q}{\partial x}\). Cela explique les deux valeurs différentes trouvées plus haut.
Retirons l’origine du plan : l’ouvert obtenu possède un trou. On y considère \(\frac{x\,dy-y\,dx}{x^2+y^2}\), dont les dérivées croisées coïncident. Toutefois, un tour complet autour du trou produit \(2\pi\) au lieu de 0. Aucun potentiel ne peut donc exister.
6. La formule de Green-Riemann
Ce dernier résultat échange un calcul à l’intérieur d’une région contre un calcul le long de sa frontière, ou l’inverse. Il prolonge la formule \(\int_a^bF^{\prime}=F(b)-F(a)\) à la dimension 2.
6.1 Énoncé et démonstration
Considérons une région bornée \(D\) délimitée par un contour \(\partial D\) formé d’un nombre fini d’arcs réguliers. On oriente ce contour dans le sens direct : en le suivant, on garde \(D\) sur sa gauche. Pour \(P\) et \(Q\) de classe \(C^1\) sur un ouvert contenant \(D\), on a
\[\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy.\]
Nous la donnons pour un domaine à la fois vertical et horizontal, et pour le seul terme en \(P\). Écrivons \(D=\{a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\}\). Par Fubini, \(-\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}=\int_a^b\Big(P\big(x,\varphi_1(x)\big)-P\big(x,\varphi_2(x)\big)\Big)dx\).
Sur le bord inférieur, parcouru de gauche à droite, \(\int P\,dx\) donne le premier terme. Sur le bord supérieur, parcouru de droite à gauche, on obtient le second avec son signe moins. Enfin, sur d’éventuels côtés verticaux, \(dx=0\). Le terme en \(Q\) se traite de même avec la lecture horizontale.
Reprenons \(\omega=y\,dx+2x\,dy\) et le domaine \(D=\{0\le x\le 1,\ x^2\le y\le x\}\). Son bord direct est l’arc \(\gamma_1\) de \(O\) vers \((1,1)\), suivi du segment de \((1,1)\) vers \(O\). D’après 5.2, l’intégrale sur le bord vaut \(\frac{5}{3}-\frac{3}{2}=\frac{1}{6}\).
De l’autre côté, \(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2-1=1\). L’intégrale double vaut donc l’aire de \(D\), soit \(\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac{1}{6}\). Les deux membres coïncident.
- Vérifier que \(P\) et \(Q\) sont de classe \(C^1\) sur un ouvert qui contient tout le domaine, trous compris.
- Découper le bord en arcs simples et orienter chacun de façon à laisser le domaine à gauche.
- Choisir le membre le plus facile : souvent l’intégrale double si \(\partial_xQ-\partial_yP\) est simple, l’intégrale curviligne sinon.
- Sur les segments parallèles aux axes, repérer les contributions nulles, car \(dx=0\) ou \(dy=0\).
6.2 Application au calcul d’aires
Le choix \(P=0\), \(Q=x\) donne \(\partial_xQ-\partial_yP=1\). Par conséquent, l’intégrale double se réduit à l’aire du domaine. D’autres choix conduisent au même résultat, d’où le corollaire suivant.
L’aire de \(D\) s’obtient par une intégrale sur son bord : \(\mathrm{aire}(D)=\oint_{\partial D}x\,dy=-\oint_{\partial D}y\,dx=\frac{1}{2}\oint_{\partial D}(x\,dy-y\,dx)\).
Ce corollaire est précieux pour les domaines bordés par une courbe paramétrée fermée. Par exemple, pour l’ellipse \(x=3\cos t\), \(y=2\sin t\), on trouve \(x\,dy-y\,dx=6\,dt\). L’aire vaut donc \(\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}6\,dt=6\pi\).
Piège à éviter :
Green-Riemann exige que \(P\) et \(Q\) soient \(C^1\) sur tout le domaine. La forme du contre-exemple précédent n’est pas définie en l’origine : on ne peut donc pas appliquer la formule sur le disque unité.
Les erreurs fréquentes
- Laisser une variable dans les bornes de l’intégrale extérieure.
- Oublier le facteur \(r\) en polaires ou en cylindriques, ou le facteur \(\rho^2\sin\varphi\) en sphériques.
- Utiliser le jacobien sans valeur absolue, ou confondre le jacobien d’une transformation et celui de sa réciproque.
- Parcourir le bord dans le sens indirect et obtenir le résultat avec le mauvais signe.
- Conclure qu’une forme fermée est exacte sur un domaine troué.
Fiche mémo
- Fubini : sur un rectangle, on intègre dans l’ordre que l’on veut.
- Domaine vertical : \(\iint_D f=\int_a^b\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f\,dy\,dx\).
- Changement de variables : \(dx\,dy=|J_\Phi|\,du\,dv\).
- Polaires et cylindriques : facteur \(r\) ; sphériques : facteur \(\rho^2\sin\varphi\).
- Volume : \(\iiint_V 1\), ou intégrale des aires des sections horizontales.
- Longueur : \(L=\int_a^b\|\gamma^{\prime}(t)\|\,dt\).
- Forme exacte : \(\int_\gamma df=f(B)-f(A)\) ; exacte implique fermée.
- Green-Riemann : \(\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D(\partial_xQ-\partial_yP)\), bord parcouru avec \(D\) à gauche.
- Aire : \(\frac{1}{2}\oint_{\partial D}(x\,dy-y\,dx)\).
Questions fréquentes
Comment choisir l'ordre d'intégration dans Fubini ?
On dessine d’abord le domaine, puis on regarde s’il se décrit plus simplement par des segments verticaux ou horizontaux. On tient compte aussi de la fonction : une primitive peut exister dans une variable et pas dans l’autre. Si un ordre conduit à une primitive impossible, il faut essayer l’autre ordre.
Quand faut-il passer en coordonnées polaires ?
Le passage en polaires est utile lorsque le domaine est un disque, une couronne ou un secteur, ou lorsque la fonction ne dépend que de x²+y². Il ne faut pas oublier le facteur r dans l’élément d’aire. Sans ce facteur, le résultat est faux, même si le calcul semble plus simple.
Quelle différence entre une forme fermée et une forme exacte ?
Une forme exacte est la différentielle d’une fonction, et son intégrale sur un chemin ne dépend que des extrémités. Une forme fermée vérifie seulement l’égalité des dérivées croisées. Sur un domaine étoilé, les deux notions coïncident, mais sur le plan privé de l’origine une forme fermée peut ne pas être exacte.
Dans quel sens parcourir le bord pour appliquer Green-Riemann ?
Imaginez que vous marchez sur la frontière : la région doit toujours rester sur votre gauche. Autour d’un disque plein, on tourne ainsi dans le sens trigonométrique. Pour une couronne, le cercle intérieur se parcourt au contraire dans le sens des aiguilles d’une montre. Un parcours inversé change le signe du résultat.
Pour aller plus loin
- S’exercer : exercices corrigés de L2 de maths sur intégrales doubles et triples
- Bases utiles : Hessienne, Taylor à l'ordre 2 et extrema libres
- Chapitre d’avant : Formes quadratiques, Sylvester et coniques
- Chapitre d’après : Variables à densité : lois exponentielle et normale
- Vérifier ses acquis : QCM de L2 de maths sur intégrales doubles et triples
- Contrôle corrigé en temps limité : Intégrales doubles et couples à densité : contrôle de maths en L2
- Tous les chapitres : le sommaire de la L2 de maths
- Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3
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