QCM : DSE et rayon de convergence en L2 de maths

Réponse B.

Avec \(a_n=\frac{2^n}{n+1}\), le quotient \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\,\frac{n+1}{n+2}\) tend vers \(2\). D’après la règle de d’Alembert, le rayon est donc l’inverse de cette limite, soit \(\frac{1}{2}\). Le piège \(2\) oublie de prendre l’inverse. La réponse \(1\) ne voit que le facteur \(\frac{1}{n+1}\), qui ne modifie pas le rayon. Enfin, \(0\) surestime l’effet de \(2^n\).

Réponse C.

Le lemme d’Abel affirme que si \((a_nr^n)\) est bornée, alors la série converge absolument pour tout \(|z|<r\). Par conséquent, \(R\geqslant 2\). Cependant, rien n’empêche le rayon d’être plus grand : la suite nulle en est un exemple. Le piège \(R\leqslant 2\) renverse l’inégalité, ce qui demanderait une suite non bornée. Enfin, \(\frac{1}{2}\) inverse la valeur de \(r\) sans raison.

Réponse D.

La série ne contient que des puissances paires : il vaut mieux poser \(u=4z^2\). On obtient une série géométrique \(\sum u^n\), qui converge si et seulement si \(4|z|^2<1\), c’est-à-dire \(|z|<\frac{1}{2}\). Le piège \(\frac{1}{4}\) applique d’Alembert au coefficient \(4^n\) comme si l’exposant de \(z\) était \(n\). Ensuite, \(2\) oublie l’inverse, et \(\frac{1}{16}\) élève au carré au lieu de prendre la racine.

Réponse C.

Le rayon vaut \(2\) par d’Alembert, et seul le bord demande une étude. En \(x=2\), on obtient la série harmonique, qui diverge. En revanche, en \(x=-2\), on obtient \(\sum\frac{(-1)^n}{n}\), qui converge par le critère des séries alternées. Le piège \(]-2,2[\) suppose qu’une série diverge toujours au bord. Les deux autres se trompent sur l’une des extrémités.

Réponse D.

La somme converge pour \(|z|<2\), donc son rayon est au moins \(2\). De plus, pour \(2<|z|<3\), la série \(\sum b_nz^n\) converge tandis que \(\sum a_nz^n\) diverge ; ainsi, la somme diverge. Le rayon vaut donc exactement \(2\), le minimum des deux, car ils sont distincts. Le piège \(3\) prend le maximum. Additionner ou multiplier les rayons n’a aucun sens.

Réponse D.

Pour \(|u|<1\), on a \(\ln(1+u)=\sum_{n\geqslant 1}(-1)^{n+1}\frac{u^n}{n}\). Avec \(u=2x\), le terme de rang \(4\) vaut \(-\frac{(2x)^4}{4}=-4x^4\). Le piège \(4\) oublie que les termes pairs sont négatifs. La valeur \(-\frac{1}{4}\) néglige le facteur \(2^4\). Enfin, \(\frac{2}{3}\) divise \(16\) par \(4!\), comme pour l’exponentielle.

Réponse A.

On dérive terme à terme la série géométrique sur l’intervalle ouvert de convergence : \(\sum_{n\geqslant 1}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\). Il reste ensuite à multiplier par \(x\) pour retrouver \(nx^n\). Le piège \(\frac{1}{(1-x)^2}\) oublie cette multiplication. La réponse \(\frac{x}{1-x}\) supprime le facteur \(n\). Enfin, \(-\ln(1-x)\) provient d’une intégration au lieu d’une dérivation.

Réponse A.

Le développement \(\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots\) est la série de Taylor en \(0\). Par unicité des coefficients, \(\frac{f^{(5)}(0)}{5!}=\frac{1}{5}\), donc \(f^{(5)}(0)=\frac{120}{5}=24\). Le piège \(\frac{1}{5}\) confond coefficient et dérivée. La valeur \(120\) oublie le dénominateur \(5\). Enfin, \(-24\) se trompe sur l’alternance des signes, positive au rang \(5\).

Réponse B.

On sépare la somme en deux. D’une part, \(\sum\frac{x^n}{n!}=e^x\). D’autre part, \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{n}{n!}x^n=x\sum_{n\geqslant 1}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=xe^x\). Par conséquent, la somme vaut \((x+1)e^x\). Le piège \(xe^x\) oublie la partie constante du numérateur. La réponse \(e^x\) l’oublie dans l’autre sens. Enfin, \((x+2)e^x\) compte deux fois l’exponentielle.

Réponse B.

Sur \([-r,r]\), on a \(|x^n|\leqslant r^n\), terme général d’une série convergente : la convergence y est donc normale. Cependant, le reste vaut \(\frac{x^{n+1}}{1-x}\), dont la borne supérieure sur \(]-1,1[\) est infinie. Ainsi, la convergence n’est pas uniforme sur l’intervalle ouvert entier. Le piège classique étend aux bords du disque une propriété qui ne vaut que sur les compacts.

Réponse A.

Le coefficient de \(x^n\) dans \(y^{\prime}\) est \((n+1)a_{n+1}\). Dans \(2xy\), il vaut \(2a_{n-1}\), car la multiplication par \(x\) décale les indices. On en déduit \(a_1=0\), puis \(a_{2k}=\frac{1}{k!}\), donc \(y=e^{x^2}\). Le piège \(2a_n\) oublie ce décalage. La réponse sans \(n+1\) dérive mal la série, et la dernière inverse les rôles.

Réponse C.

Si \(f\) était développable en \(0\), sa série serait forcément sa série de Taylor, ici identiquement nulle. Or \(f(x)>0\) pour \(x\neq 0\), donc \(f\) ne coïncide avec aucune série entière près de \(0\). Le piège du rayon nul se trompe : la série nulle converge partout. En somme, être de classe \(C^\infty\) ne suffit pas pour être développable.