Lois à densité et loi normale en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Vérifier une densité polynomiale

Soit \(c\) un réel et \(f\) la fonction définie par \(f(x)=c\,x(3-x)\) si \(x\in[0,3]\), et \(f(x)=0\) sinon.

1. Déterminer \(c\) pour que \(f\) soit une densité de probabilité.
2. Soit \(X\) de densité \(f\). Déterminer sa fonction de répartition, puis \(P(X\leq1)\).
3. Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).

Exercice 2 – Loi uniforme sur un segment non centré

Soit \(U\) de loi uniforme sur \([-1,3]\).

1. Donner la densité et la fonction de répartition de \(U\).
2. Calculer \(P(U^2\leq1)\) et \(P(U>2\mid U>0)\).
3. Calculer \(E(U)\), \(V(U)\), puis \(E(U^2)\) de deux façons différentes.

Exercice 3 – Durée de vie d’une ampoule

La durée de vie \(T\), en heures, d’une ampoule suit une loi exponentielle de moyenne \(2\,000\) heures.

1. Donner le paramètre de la loi de \(T\), puis \(P(T>3\,000)\) à \(10^{-4}\) près.
2. Déterminer la durée médiane \(m\), c’est-à-dire le réel tel que \(P(T\leq m)=\frac12\).
3. L’ampoule fonctionne encore après \(2\,000\) heures. Calculer la probabilité qu’elle dure au moins \(5\,000\) heures au total.

Exercice 4 – Lire la table de la loi normale

La masse \(X\), en grammes, d’un sachet suit la loi \(\mathcal{N}(50,16)\). On donne \(\Phi(1)\approx0{,}8413\), \(\Phi(1{,}5)\approx0{,}9332\), \(\Phi(2)\approx0{,}9772\) et \(\Phi(1{,}645)\approx0{,}95\).

1. Calculer \(P(X\leq56)\).
2. Calculer \(P(46\leq X\leq58)\).
3. Déterminer la masse \(a\) telle que \(95\,\%\) des sachets pèsent au plus \(a\) grammes.

Exercice 5 – Transformation affine d’une gaussienne

Soit \(Z\) de loi \(\mathcal{N}(0,1)\) et \(X=3-2Z\).

1. Exprimer \(F_X\) à l’aide de \(\Phi\), puis reconnaître la loi de \(X\).
2. En déduire \(E(X)\), \(V(X)\) et \(E(X^2)\).
3. Calculer \(P(X\leq5)\), sachant que \(\Phi(1)\approx0{,}8413\).

Exercice 6 – Moments d’une densité en puissance

Soit \(f(x)=\dfrac{c}{x^4}\) pour \(x\geq1\), et \(f(x)=0\) pour \(x<1\).

1. Déterminer \(c\) pour que \(f\) soit une densité, puis la fonction de répartition associée.
2. Soit \(X\) de densité \(f\). Montrer que \(X\) admet une variance et la calculer.
3. La variable \(X^3\) admet-elle une espérance ?

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Transfert pour une loi exponentielle

Soit \(X\) de loi \(\mathcal{E}(1)\).

1. Montrer par récurrence que \(X^n\) admet une espérance égale à \(n!\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
2. Déterminer l’ensemble des réels \(t\) tels que \(E(e^{tX})\) soit finie, puis donner sa valeur.
3. Soit \(N=\lfloor X\rfloor\) la partie entière de \(X\). Calculer \(P(N=k)\) pour \(k\in\mathbb{N}\), reconnaître la loi de \(N+1\), puis en déduire \(E(N)\).

Exercice 8 – Loi du carré d’une gaussienne

Soit \(Z\) de loi \(\mathcal{N}(0,1)\) et \(Y=Z^2\).

1. Pour \(y>0\), exprimer \(F_Y(y)\) à l’aide de \(\Phi\).
2. En déduire qu’une densité de \(Y\) est \(y\mapsto\dfrac{e^{-y/2}}{\sqrt{2\pi y}}\) sur \(]0,+\infty[\).
3. Calculer \(E(Y)\) et \(P(Y\leq1)\), sachant que \(\Phi(1)\approx0{,}8413\).

Exercice 9 – Transformer une variable uniforme

Soit \(U\) de loi uniforme sur \(]0,1[\).

1. Déterminer la loi de \(A=-2\ln U\).
2. Déterminer une densité de \(B=\sqrt U\), puis \(E(B)\).
3. Déterminer la fonction de répartition de \(C=\dfrac1U\). La variable \(C\) admet-elle une espérance ?

Exercice 10 – Loi de Cauchy et tangente

Un projecteur placé à distance \(1\) d’un mur tourne d’un angle \(\Theta\) de loi uniforme sur \(\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[\). Le point éclairé sur le mur a pour abscisse \(X=\tan\Theta\).

1. Déterminer la fonction de répartition de \(X\), puis une densité de \(X\).
2. Calculer \(P(|X|\leq1)\).
3. Montrer que \(X\) n’admet pas d’espérance.

Exercice 11 – Densité jointe et marginales

Le couple \((X,Y)\) a pour densité \(f(x,y)=x+y\) si \((x,y)\in[0,1]^2\), et \(0\) sinon. Le domaine utile pour la dernière question est représenté ci-dessous.

1. Justifier que \(f\) convient comme densité du couple.
2. Calculer \(f_X(x)\) pour \(x\in[0,1]\), puis, par symétrie, \(f_Y\).
3. Comparer \(f\) au produit \(f_Xf_Y\) et conclure sur l’indépendance.
4. Calculer enfin \(P(X+Y\leq1)\).

Exercice 12 – Minimum de deux durées de vie

Un appareil contient deux composants montés en série. Leurs durées de vie \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, de lois \(\mathcal{E}(\lambda)\) et \(\mathcal{E}(\mu)\). L’appareil tombe en panne dès qu’un composant lâche.

1. Calculer \(P(\min(X,Y)>t)\) pour \(t\geq0\), puis reconnaître la loi de \(M=\min(X,Y)\).
2. Calculer \(P(X<Y)\) à l’aide d’une intégrale double.
3. Application : \(E(X)=300\) heures et \(E(Y)=600\) heures. Calculer \(E(M)\), puis \(P(M>100)\) à \(10^{-4}\) près.

Exercice 13 – Somme de deux uniformes de longueurs différentes

Soient \(X\sim\mathcal{U}([0,1])\) et \(Y\sim\mathcal{U}([0,2])\) indépendantes, et \(S=X+Y\).

1. Montrer que \(f_S(z)=\frac12\,\ell\big([0,1]\cap[z-2,z]\big)\), où \(\ell\) désigne la longueur.
2. En déduire l’expression de \(f_S\) sur \([0,1]\), \([1,2]\) et \([2,3]\).
3. Calculer \(P(S\leq1)\), \(P(S\geq2{,}5)\) et \(E(S)\).

Exercice 14 – Somme de deux exponentielles de paramètres distincts

Soient \(X\sim\mathcal{E}(1)\) et \(Y\sim\mathcal{E}(3)\) indépendantes. On pose \(S=X+Y\).

1. Montrer que \(S\) a pour densité \(z\mapsto\frac32\left(e^{-z}-e^{-3z}\right)\) sur \([0,+\infty[\).
2. Vérifier directement que cette fonction est une densité.
3. Calculer \(E(S)\) de deux manières.

Exercice 15 – Somme de deux variables gaussiennes

1. Soient \(Z_1\) et \(Z_2\) indépendantes de loi \(\mathcal{N}(0,1)\). En calculant la convolée, montrer que \(Z_1+Z_2\) suit la loi \(\mathcal{N}(0,2)\). On pourra écrire \(x^2+(z-x)^2=2\left(x-\frac z2\right)^2+\frac{z^2}{2}\).
2. Deux tiges sont mises bout à bout. Leurs longueurs, en centimètres, sont indépendantes, de lois \(\mathcal{N}(20\,;\,0{,}09)\) et \(\mathcal{N}(30\,;\,0{,}16)\). Donner la loi de la longueur totale \(L\).
3. Calculer \(P(49{,}5\leq L\leq50{,}5)\) et \(P(L>51)\), avec \(\Phi(1)\approx0{,}8413\) et \(\Phi(2)\approx0{,}9772\).

Exercice 16 – Lancers de dé et approximation normale

On lance \(1\,200\) fois un dé équilibré. Soit \(X\) le nombre de six obtenus.

1. Reconnaître la loi de \(X\) et calculer sa moyenne ainsi que sa variance.
2. Justifier ensuite l’approximation normale, puis estimer \(P(X\geq220)\) avec la correction de continuité. On donne \(\Phi(1{,}51)\approx0{,}9345\).
3. Majorer la même probabilité par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et comparer.

Pour approfondir

Exercice 17 – Absence de mémoire et loi exponentielle

Soit \(X\) une variable à densité, à valeurs dans \(]0,+\infty[\), telle que \(G(t)=P(X>t)\) soit strictement positive pour tout \(t\geq0\). On suppose que \(P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)\) pour tous \(s,t\geq0\).

1. Montrer que \(G(s+t)=G(s)G(t)\) pour tous \(s,t\geq0\), et que \(G(0)=1\).
2. Montrer que \(G(1)\in\,]0,1[\). On pose \(\lambda=-\ln G(1)\).
3. Montrer que \(G(r)=e^{-\lambda r}\) pour tout rationnel \(r\geq0\).
4. Conclure, à l’aide de la continuité de \(G\), que \(X\) suit la loi \(\mathcal{E}(\lambda)\).

Exercice 18 – Encadrer la queue de la loi normale

On note \(\varphi\) la densité de \(\mathcal{N}(0,1)\) et \(\Phi\) sa fonction de répartition. Soit \(x>0\).

1. Montrer que \(1-\Phi(x)\leq\dfrac{\varphi(x)}{x}\). On pourra majorer \(1\) par \(\frac tx\) sur \([x,+\infty[\).
2. Écrire \(\varphi(t)=\frac1t\cdot t\varphi(t)\) et intégrer par parties pour obtenir \(1-\Phi(x)=\dfrac{\varphi(x)}{x}-\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{\varphi(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t\).
3. Établir ensuite l’encadrement \(\left(\dfrac1x-\dfrac1{x^3}\right)\varphi(x)\leq1-\Phi(x)\leq\dfrac{\varphi(x)}{x}\).
4. Application : encadrer \(1-\Phi(3)\), sachant que \(\varphi(3)\approx0{,}004432\).

Exercice 19 – Problème – Point au hasard dans un disque

On choisit un point \((X,Y)\) au hasard dans le disque unité \(D\) : le couple a pour densité \(\frac1\pi\) sur \(D\) et \(0\) ailleurs. La figure montre une bande verticale et un cercle de rayon \(r\) utiles dans la suite.

1. Vérifier que l’on définit bien une densité de couple.
2. Déterminer la densité marginale de \(X\). Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
3. Calculer \(P\left(|X|\leq\frac12\right)\).
4. Calculer \(V(X)\) à l’aide des coordonnées polaires.
5. Soit \(R=\sqrt{X^2+Y^2}\) la distance du point au centre. Déterminer la fonction de répartition de \(R\), une densité, puis \(E(R)\) et \(V(R)\).

Exercice 20 – Problème – Surréservation d’un vol

Un avion compte \(200\) places. Chaque client ayant réservé se présente à l’embarquement avec probabilité \(0{,}9\), indépendamment des autres. La compagnie vend \(n\geq200\) billets. Soit \(X_n\) le nombre de clients présents. On cherche le plus grand \(n\) tel que la probabilité de devoir refuser quelqu’un reste au plus de \(5\,\%\). Les valeurs utiles de la table sont \(\Phi(1{,}59)\approx0{,}9441\), \(\Phi(1{,}645)\approx0{,}95\) et \(\Phi(1{,}80)\approx0{,}9641\).

1. Identifier la loi de \(X_n\), puis calculer ses deux premiers moments.
2. Montrer qu’avec l’approximation normale et la correction de continuité, \(P(X_n>200)\approx1-\Phi\big(z(n)\big)\), avec \(z(n)=\dfrac{200{,}5-0{,}9n}{0{,}3\sqrt n}\).
3. Montrer que \(z\) est décroissante sur \([200,+\infty[\).
4. Calculer \(z(214)\) et \(z(215)\) à \(10^{-2}\) près, puis conclure.
5. Pour \(n=214\), estimer la probabilité de refuser au moins un client.

Pour aller plus loin

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