Intégrales doubles et couples à densité : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « intégrales doubles et couples à densité », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle de synthèse de deux heures relie les intégrales doubles aux probabilités, vers la fin du semestre 4 de la licence. Vous calculerez d’abord une intégrale sur un triangle grâce au théorème de Fubini, en intégrant dans les deux ordres. Ensuite, le passage en coordonnées polaires sert à évaluer l’intégrale de Gauss. Le troisième exercice étudie un couple à densité réparti sur un triangle et ses densités marginales. Puis la convolution donne la loi d’une durée d’attente totale. Enfin, le problème modélise les impacts sur une cible par deux lois normales indépendantes. Chaque domaine d’intégration doit être dessiné sur votre copie.
Ce qu’évalue le contrôle : intégrales doubles et couples à densité
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée2 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Intégrales doubles, triples et curvilignes et Variables à densité : lois exponentielle et normale (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer une intégrale double sur un domaine élémentaire dans les deux ordres d’intégration
- Passer en coordonnées polaires et en déduire la valeur de l’intégrale de Gauss
- Déterminer la constante de normalisation et les densités marginales d’un couple à densité
- Obtenir la densité d’une somme de variables indépendantes par un produit de convolution
- Utiliser les coordonnées polaires pour étudier la distance au centre d’un couple de lois normales
Avant de commencer le devoir
Avant tout calcul, dessinez le domaine et écrivez-le sous la forme d’inégalités emboîtées : c’est ce qui fixe les bornes. Pour une densité, vérifiez ensuite la positivité puis l’intégrale totale égale à \(1\). Quand le domaine est un disque ou un secteur, pensez aussitôt aux coordonnées polaires, sans oublier le jacobien \(r\). Dans la convolution, distinguez enfin les cas selon la position de \(s\).
Le sujet du contrôle : intégrales doubles et couples à densité
Exercice 1 – Le triangle découpé dans les deux sens (3 points)
On note \(D\) le triangle plein de sommets \(O(0\,;\,0)\), \(A(4\,;\,0)\) et \(C(0\,;\,2)\), représenté ci-dessous.
- Décrire \(D\) par des inégalités de deux façons : d’abord avec \(y\) fixé, puis avec \(x\) fixé. Calculer ensuite \(I = \iint_D y \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) dans chacun des deux ordres d’intégration.
- Calculer \(J = \iint_D x \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\), puis les coordonnées du centre de gravité \(G\) de la plaque homogène \(D\). Comparer \(G\) avec l’isobarycentre des sommets.
Exercice 2 – Un secteur de couronne et l’intégrale de Gauss (4 points)
Soit \(\Delta = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4 \text{ et } 0 \leq y \leq x\right\}\), dessiné ci-dessous.
- Décrire \(\Delta\) en coordonnées polaires, puis calculer \(\iint_\Delta x \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) et \(\iint_\Delta y \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\).
- Pour \(a > 0\), on note \(D_a\) le quart de disque \(\left\{x \geq 0,\ y \geq 0,\ x^2 + y^2 \leq a^2\right\}\) et \(C_a = \left[0, a\right]^2\). Calculer \(\iint_{D_a} \mathrm{e}^{-(x^2 + y^2)/2} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\).
- On pose \(G(a) = \int_0^a \mathrm{e}^{-t^2/2} \,\mathrm{d}t\). Exprimer l’intégrale sur \(C_a\) à l’aide de \(G(a)\), puis encadrer \(G(a)^2\) grâce aux inclusions \(D_a \subset C_a \subset D_{a\sqrt{2}}\). En déduire que \(\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2/2} \,\mathrm{d}t = \sqrt{2\pi}\).
Exercice 3 – Un couple réparti sur un triangle (4 points)
Soit \(T = \left\{(x, y) : x \geq 0,\ y \geq 0,\ x + y \leq 2\right\}\) et \(c\) un réel. Le couple \((X, Y)\) admet pour densité la fonction \(f\) définie par \(f(x, y) = c\, y\) si \((x, y) \in T\), et \(f(x, y) = 0\) sinon.
- Déterminer d’abord la valeur de \(c\).
- Calculer ensuite les densités marginales \(f_X\) et \(f_Y\).
- Comparer \(P(X > 1,\ Y > 1)\) et \(P(X > 1)\,P(Y > 1)\). Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
- Dessiner la partie de \(T\) où \(y > x\), puis calculer \(P(Y > X)\).
- Enfin, calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).
Exercice 4 – Attente totale au guichet (3 points)
À la poste, Florian attend d’abord son tour pendant une durée \(X\), en minutes, de loi exponentielle de paramètre \(1\). Ensuite, son opération dure un temps \(Y\) de loi uniforme sur \(\left[0, 1\right]\), indépendant de \(X\). On note \(S = X + Y\) la durée totale passée au guichet.
- Rappeler la formule donnant la densité \(f_S\) comme produit de convolution de \(f_X\) et \(f_Y\). Pour \(s\) fixé, dessiner l’ensemble des \(t\) où l’intégrande est non nul.
- Montrer que \(f_S(s) = 1 – \mathrm{e}^{-s}\) pour \(0 \leq s \leq 1\), puis déterminer \(f_S(s)\) pour \(s > 1\) et pour \(s < 0\).
- Calculer la probabilité que Florian reste au plus une minute, puis son temps moyen au guichet.
Exercice 5 – Problème : les impacts sur une cible (6 points)
Un archer tire sur une cible centrée à l’origine. Les écarts horizontal \(X\) et vertical \(Y\) de l’impact, en décimètres, sont indépendants et suivent tous deux la loi normale \(\mathcal{N}(0, 1)\). On note \(D = \sqrt{X^2 + Y^2}\) la distance de l’impact au centre. La figure montre soixante-dix tirs simulés et la zone \(Z\) des points de module au moins \(1\) dont l’angle polaire est compris entre \(\frac{\pi}{6}\) et \(\frac{\pi}{2}\).
- Donner tout d’abord une densité \(g\) du couple \((X, Y)\).
- Pour \(r > 0\), calculer \(P(D \leq r)\) en passant en coordonnées polaires. En déduire que \(D^2\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
- Calculer alors la probabilité que l’impact tombe dans la zone \(Z\).
- Par un produit de convolution, établir que \(X + Y\) admet la densité \(s \mapsto \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\, \mathrm{e}^{-s^2/4}\). On pourra écrire \(t^2 + (s – t)^2 = 2\left(t – \frac{s}{2}\right)^2 + \frac{s^2}{2}\) et utiliser l’exercice 2. Reconnaître la loi obtenue.
- Déterminer une densité de \(D\), puis montrer que \(E(D) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\).
Réviser intégrales doubles et couples à densité avant le contrôle
La page contrôles de maths en L2 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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