Coniques, barycentres et affinités : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « coniques, barycentres et affinités », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce partiel de trois heures clôt la géométrie affine du semestre 4 et la réduction des coniques. Le premier exercice manipule les barycentres et leur associativité dans un triangle. Ensuite, vous identifierez une affinité oblique à partir de ses formules, avant de démontrer un alignement grâce au théorème de Ménélaüs. Le quatrième exercice réduit une conique dont l’équation cache une hyperbole. Enfin, le problème réduit une ellipse en base orthonormée, puis la transforme en cercle par une affinité. Chaque exercice appelle une figure soignée : le sujet en fournit trois, et vous compléterez les autres sur votre copie.
Ce qu’évalue le contrôle : coniques, barycentres et affinités
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée3 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Formes quadratiques, Sylvester et coniques et Espaces affines, barycentres et applications affines (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer un barycentre et utiliser son associativité dans un triangle
- Reconnaître une affinité à partir de son expression analytique et déterminer l’image d’une droite
- Démontrer un alignement par le théorème de Ménélaüs puis le confirmer en coordonnées
- Réduire une conique en base orthonormée et en donner la nature, les sommets et les asymptotes
- Transformer une ellipse en cercle par une affinité orthogonale et comparer les aires
Avant de commencer le devoir
Pour un barycentre, travaillez d’abord avec les vecteurs, puis passez aux coordonnées seulement à la fin. Quand une application affine est donnée par ses formules, cherchez ses points fixes et le vecteur qui relie un point à son image. Dans Ménélaüs, les rapports sont algébriques : surveillez donc les signes. Pour réduire une conique, diagonalisez la matrice de la partie quadratique, puis vérifiez chaque sommet trouvé dans l’équation de départ.
Le sujet du contrôle : coniques, barycentres et affinités
Exercice 1 – Un point pondéré dans un triangle (3 points)
Dans un plan affine réel, on considère un triangle \(ABC\). On note \(I\) le barycentre de \((B, 1)\) et \((C, 3)\), puis \(G\) le barycentre de \((A, 2)\), \((B, 1)\) et \((C, 3)\). La figure ci-dessous place ces deux points.
- Soit \(n\) points \(A_1, \ldots, A_n\) affectés de poids réels \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) de somme \(s \neq 0\). Démontrer qu’il existe un unique point \(M\) tel que \(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \overrightarrow{MA_i} = \vec{0}\).
- Exprimer \(\overrightarrow{BI}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\). Montrer ensuite que \(G\) est le barycentre de \((A, 2)\) et \((I, 4)\), puis en déduire \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AI}\).
- On note \(J\) le barycentre de \((A, 2)\) et \((C, 3)\), et \(K\) celui de \((A, 2)\) et \((B, 1)\). Prouver que les droites \((AI)\), \((BJ)\) et \((CK)\) sont concourantes.
Exercice 2 – Une affinité oblique (4 points)
Le plan est rapporté à un repère \((O\,;\vec{i}, \vec{j})\). On considère l’application \(f\) qui, au point \(M(x\,;y)\), associe le point \(M^{\prime}(x^{\prime}\,;y^{\prime})\) défini par \(x^{\prime} = x + y – 1\) et \(y^{\prime} = 3y – 2\). On pose aussi \(\vec{u} = \vec{i} + 2\vec{j}\), puis on note \(D\) la droite d’équation \(y = 1\) et \(L\) la droite d’équation \(x = -1\).
- Justifier que \(f\) est une application affine bijective, en précisant sa partie linéaire. Déterminer ensuite l’ensemble de ses points fixes.
- Montrer que \(\overrightarrow{MM^{\prime}}\) est colinéaire à \(\vec{u}\) pour tout point \(M\). Soit \(H\) le point de \(D\) tel que \(\overrightarrow{HM}\) soit colinéaire à \(\vec{u}\) ; prouver que \(\overrightarrow{HM^{\prime}} = 3\,\overrightarrow{HM}\). Conclure sur la nature de \(f\).
- Déterminer une équation de l’image de la droite \(L\) par \(f\). Pourquoi cette image passe-t-elle alors par le point d’intersection de \(L\) et de \(D\) ?
- Placer sur la figure le point \(H\) associé à \(M(2\,;2)\), puis l’image \(f(M)\), et tracer \(f(L)\).
Exercice 3 – Ménélaüs et trois points alignés (3,5 points)
Soit \(ABC\) un triangle non aplati. On définit trois points par les relations \(\overrightarrow{PB} = 3\,\overrightarrow{PC}\), puis \(\overrightarrow{QA} = -2\,\overrightarrow{QC}\) et enfin \(3\,\overrightarrow{RA} + 2\,\overrightarrow{RB} = \vec{0}\). Ainsi \(P\) appartient à \((BC)\), \(Q\) au segment \([CA]\) et \(R\) au segment \([AB]\).
- Écrire d’abord chacun des points \(P\), \(Q\) et \(R\) comme barycentre de deux sommets du triangle.
- Énoncer le théorème de Ménélaüs avec des mesures algébriques, puis l’utiliser pour montrer que \(P\), \(Q\) et \(R\) sont alignés.
- Vérifier ce résultat en calculant les coordonnées de \(P\), \(Q\) et \(R\) dans le repère \((A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\).
- Trouver deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(R\) soit le barycentre de \((P, \lambda)\) et \((Q, \mu)\).
Exercice 4 – Une hyperbole sans terme en x carré (3,5 points)
Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{i}, \vec{j})\). On étudie la courbe \(\mathcal{H}\) d’équation \(4xy + 3y^2 = 4\), puis on note \(q(x, y) = 4xy + 3y^2\).
- Écrire la matrice symétrique \(S\) de \(q\) dans la base \((\vec{i}, \vec{j})\). Calculer ses valeurs propres, puis donner une base orthonormée directe \((\vec{e}_1, \vec{e}_2)\) de vecteurs propres.
- En déduire l’équation réduite de \(\mathcal{H}\) dans le repère \((O\,;\vec{e}_1, \vec{e}_2)\), ainsi que sa nature et la signature de \(q\).
- Déterminer les sommets et les asymptotes de \(\mathcal{H}\) dans le repère initial. Retrouver ensuite les asymptotes en factorisant \(q\).
- Tracer enfin \(\mathcal{H}\), ses asymptotes et les vecteurs \(\vec{e}_1\) et \(\vec{e}_2\).
Exercice 5 – Problème : d’une ellipse à un cercle (6 points)
Dans le même repère orthonormé direct, on considère la conique \(\Gamma\) d’équation \(17x^2 – 12xy + 8y^2 – 46x + 28y + 17 = 0\) et le point \(\Omega(1\,;-1)\).
Partie A – Réduction de la conique
- On pose \(u = x – 1\) et \(v = y + 1\). Montrer qu’une équation de \(\Gamma\) dans le repère \((\Omega\,;\vec{i}, \vec{j})\) est \(17u^2 – 12uv + 8v^2 = 20\). Que représente alors \(\Omega\) pour \(\Gamma\) ?
- Diagonaliser la matrice de la forme \(17u^2 – 12uv + 8v^2\) dans une base orthonormée directe \((\vec{e}_1, \vec{e}_2)\), en prenant \(\vec{e}_1\) colinéaire à \(\vec{i} + 2\vec{j}\).
- Écrire l’équation réduite de \(\Gamma\) dans \((\Omega\,;\vec{e}_1, \vec{e}_2)\). Préciser sa nature, ses demi-axes et les coordonnées de ses quatre sommets dans le repère initial.
- Tracer \(\Gamma\) avec ses axes de symétrie.
Partie B – Une affinité qui arrondit
Soit \(g\) l’affinité orthogonale d’axe \(\Delta = \Omega + \mathbb{R}\vec{e}_1\) et de rapport \(2\). Dans le repère \((\Omega\,;\vec{e}_1, \vec{e}_2)\), elle envoie le point de coordonnées \((X, Y)\) sur le point de coordonnées \((X, 2Y)\).
- Montrer que \(g(\Gamma)\) est un cercle dont on donnera le centre et le rayon.
- Prouver que \(g\) s’écrit \(x^{\prime} = \frac{9x – 2y – 6}{5}\) et \(y^{\prime} = \frac{-2x + 6y + 3}{5}\) dans le repère initial. Comparer alors l’aire du disque limité par \(g(\Gamma)\) à celle du domaine limité par \(\Gamma\).
Réviser coniques, barycentres et affinités avant le contrôle
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