Convergence simple et uniforme en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Limite simple d’un quotient de puissances

Pour \(n\geqslant 1\) et \(x\geqslant 0\), on pose \(f_n(x)=\dfrac{x^n}{1+x^n}\).

1. Déterminer la limite simple \(f\) de \((f_n)\) sur \([0,+\infty[\).
2. Y a-t-il convergence uniforme sur toute la demi-droite \([0,+\infty[\) ?
3. Soit \(a\in\,]0,1[\). Montrer que la convergence est uniforme sur \([0,a]\).
4. Soit \(b>1\). Montrer que la convergence est uniforme sur \([b,+\infty[\).

Exercice 2 – Une norme infinie qui tend vers zéro

Pour \(n\geqslant 1\) et \(x\geqslant 0\), on pose \(g_n(x)=x^2e^{-nx}\).

1. Calculer \(\|g_n\|_\infty\) sur \([0,+\infty[\).
2. En déduire que \((g_n)\) converge uniformément sur \([0,+\infty[\) vers une fonction à préciser.
3. Montrer que la série \(\sum g_n\) converge normalement sur \([0,+\infty[\).

Exercice 3 – Translations et carrés

1. Ensuite, prouver que la suite \(x\mapsto\sin\left(x+\frac{1}{n}\right)\) converge uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers la fonction sinus.
2. Établir que la suite \(x\mapsto\left(x+\frac{1}{n}\right)^2\) converge simplement sur \(\mathbb{R}\), mais pas uniformément.
3. De plus, vérifier que cette seconde suite converge uniformément sur tout segment \([-A,A]\), avec \(A>0\).

Exercice 4 – Deux séries normalement convergentes

1. Justifier que la série \(\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{\cos(nx)}{n^2+1}\) converge normalement sur \(\mathbb{R}\). Que peut-on dire de sa somme ?
2. Même question pour \(\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{(\sin x)^n}{n^2}\).
3. Calculer \(\|u_n\|_\infty\) pour \(u_n(x)=\dfrac{\cos(nx)}{n^2+1}\), en précisant un point où cette borne est atteinte.

Exercice 5 – Racine carrée et exponentielle face à la continuité uniforme

1. Par ailleurs, montrer que, pour \(0\leqslant y\leqslant x\), on a \(\sqrt{x}-\sqrt{y}\leqslant\sqrt{x-y}\).
2. En déduire que la fonction racine carrée est uniformément continue sur \([0,+\infty[\).
3. À l’inverse, prouver que l’exponentielle n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\). On comparera ses valeurs en \(n\) et en \(n+\frac{1}{n}\), en utilisant \(e^t-1\geqslant t\).

Exercice 6 – Arctangentes de plus en plus raides

Pour \(n\geqslant 1\) et \(x\in\mathbb{R}\), on pose \(\varphi_n(x)=\arctan(nx)\). La figure montre quelques-unes de ces fonctions.

1. Déterminer la limite simple \(\varphi\) de \((\varphi_n)\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \(\varphi_n\left(\frac{1}{n}\right)\) et en déduire que la convergence n’est pas uniforme sur \(]0,+\infty[\).
3. Soit \(a>0\). En utilisant l’égalité \(\arctan t+\arctan\frac{1}{t}=\frac{\pi}{2}\) pour \(t>0\), montrer que la convergence est uniforme sur \([a,+\infty[\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Sommes partielles de l’exponentielle

Pour \(n\in\mathbb{N}\) et \(x\in\mathbb{R}\), on pose \(E_n(x)=\sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}\). On rappelle que \(E_n(x)\) tend vers \(e^x\) pour tout réel \(x\).

1. Soit \(A>0\). Prouver que, pour \(p>n\) et \(|x|\leqslant A\), on a \(|E_p(x)-E_n(x)|\leqslant\sum_{k>n}\dfrac{A^k}{k!}\).
2. En déduire, par le critère de Cauchy uniforme, que \((E_n)\) converge uniformément sur \([-A,A]\).
3. Ensuite, prouver que la convergence n’est pas uniforme sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 8 – Des intégrales qui ne tendent pas vers zéro

Pour \(n\geqslant 1\) et \(x\in[0,1]\), on pose \(k_n(x)=nx\,e^{-nx^2}\).

1. Déterminer la limite simple de \((k_n)\) sur \([0,1]\).
2. Calculer \(\int_0^1k_n(x)\,\mathrm{d}x\) et sa limite. Que peut-on en conclure ?
3. Enfin, retrouver ce résultat en calculant \(\|k_n\|_\infty\).

Exercice 9 – Dérivation d’une série d’exponentielles

On pose, lorsque cela a un sens, \(S(x)=\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{e^{-nx}}{n^2}\). On admet que \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{y^n}{n}=-\ln(1-y)\) pour \(y\in[0,1[\).

1. Établir que \(S\) est définie et continue sur \([0,+\infty[\).
2. Soit \(a>0\). Montrer que la série des dérivées converge normalement sur \([a,+\infty[\).
3. En déduire que \(S\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0,+\infty[\) et exprimer \(S^{\prime}(x)\) à l’aide d’un logarithme.

Exercice 10 – Une série uniforme mais pas normale

Pour \(n\geqslant 1\) et \(x\geqslant 0\), on pose \(v_n(x)=(-1)^n\dfrac{e^{-nx}}{n}\). On admet que \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{(-1)^ny^n}{n}=-\ln(1+y)\) pour \(y\in[0,1[\).

1. De plus, vérifier que \(\sum v_n\) converge uniformément sur \([0,+\infty[\).
2. Prouver ensuite qu’elle ne converge pas normalement sur \([0,+\infty[\), mais qu’elle converge normalement sur \([a,+\infty[\) pour tout \(a>0\).
3. Exprimer la somme \(V(x)\) pour \(x>0\), puis en déduire la somme \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots\) de la série harmonique alternée.

Exercice 11 – Double limite en l’infini

Pour \(n\geqslant 1\) et \(x\geqslant 0\), on pose \(w_n(x)=e^{-x/n}\).

1. Déterminer la limite simple de \((w_n)\) sur \([0,+\infty[\).
2. Calculer, pour chaque \(n\), la limite de \(w_n(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). En déduire, à l’aide du théorème de la double limite, que la convergence n’est pas uniforme sur \([0,+\infty[\).
3. Soit \(A>0\). Prouver que \(0\leqslant 1-w_n(x)\leqslant\frac{A}{n}\) pour \(x\in[0,A]\) et conclure.

Exercice 12 – Une fonction dont tous les moments sont nuls

Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\) telle que \(\int_0^1f(x)\,x^k\,\mathrm{d}x=0\) pour tout entier \(k\geqslant 0\).

1. Justifier que \(\int_0^1f(x)P(x)\,\mathrm{d}x=0\) pour toute fonction polynomiale \(P\).
2. À l’aide du théorème de Weierstrass, montrer que \(\int_0^1f(x)^2\,\mathrm{d}x=0\).
3. Conclure que \(f\) est la fonction nulle.

Exercice 13 – Heine et la fonction sinus de l’inverse

1. Soit \(g\) définie sur \(]0,1]\) par \(g(x)=x\sin\frac{1}{x}\). Montrer que \(g\) se prolonge par continuité en \(0\), puis qu’elle est uniformément continue sur \(]0,1]\).
2. On pose ensuite \(h(x)=\sin\frac{1}{x}\) sur \(]0,1]\). À l’aide des points \(x_n=\frac{1}{n\pi}\) et \(y_n=\frac{2}{(2n+1)\pi}\), montrer que \(h\) n’est pas uniformément continue.
3. Enfin, expliquer pourquoi le théorème de Heine ne s’applique pas à \(h\).

Exercice 14 – Une série d’arctangentes

On pose \(T(x)=\sum_{n\geqslant 1}\arctan\left(\dfrac{x}{n^2}\right)\).

1. Par ailleurs, montrer que \(T\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\). On rappelle que \(|\arctan t|\leqslant|t|\) pour tout réel \(t\).
2. Montrer que \(T\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\).
3. En déduire que \(T\) est strictement croissante, puis calculer \(T^{\prime}(0)\), sachant que la somme des inverses des carrés des entiers non nuls vaut \(\frac{\pi^2}{6}\).

Pour approfondir

Exercice 15 – Trois séries sur le segment unité

Pour \(n\in\mathbb{N}\) et \(x\in[0,1]\), on considère \(a_n(x)=x^n(1-x)\), \(b_n(x)=(-1)^nx^n(1-x)\) et \(c_n(x)=x^n(1-x)^2\).

1. Calculer \(\|a_n\|_\infty\) et \(\|c_n\|_\infty\) pour \(n\geqslant 1\).
2. Ensuite, calculer les sommes partielles de \(\sum a_n\), puis la somme. Cette série converge-t-elle uniformément sur le segment ?
3. Ensuite, prouver que \(\sum b_n\) converge uniformément sur \([0,1]\), mais pas normalement.
4. Établir que \(\sum c_n\) converge normalement sur \([0,1]\).

La figure représente quelques sommes partielles de \(\sum a_n\).

Exercice 16 – Quand la dérivée ne suit pas

1. De plus, vérifier que \(\sigma_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}\) converge uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers \(x\mapsto|x|\). Que dire de la dérivabilité des \(\sigma_n\) et de la limite ?
2. Justifier que \(\tau_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n}\) converge uniformément vers \(0\) sur \(\mathbb{R}\), mais que \(\tau_n^{\prime}(0)\) ne tend pas vers \(0\).
3. Par ailleurs, montrer que \((\tau_n^{\prime}(\pi))\) diverge.
4. Expliquer, pour chacun des deux exemples, quelle hypothèse du théorème de dérivation fait défaut.

Exercice 17 – Des fonctions affines par morceaux pour approcher

Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) et \(n\geqslant 1\). On note \(x_k=\frac{k}{n}\) pour \(0\leqslant k\leqslant n\), et \(L_n\) la fonction continue, affine sur chaque \([x_k,x_{k+1}]\), qui coïncide avec \(f\) aux points \(x_k\).

1. Pour \(x\in[x_k,x_{k+1}]\), vérifier que \(L_n(x)\) est compris entre \(f(x_k)\) et \(f(x_{k+1})\). À l’aide du théorème de Heine, en déduire que \(\|f-L_n\|_\infty\) tend vers \(0\).
2. Dans le cas où \(f\) est la racine carrée, établir la majoration explicite \(\|f-L_n\|_\infty\leqslant\frac{1}{\sqrt{n}}\). On pourra utiliser l’inégalité démontrée à l’exercice 5.
3. On note \(s_k\) la pente de \(L_n\) sur \([x_k,x_{k+1}]\). Prouver que \(L_n(x)-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{s_k-s_{k-1}}{2}\,|x-x_k|\) est une fonction affine sur \([0,1]\).
4. On suppose connue une suite de polynômes \((Q_m)\) qui converge uniformément vers la valeur absolue sur \([-1,1]\). En déduire le théorème de Weierstrass sur \([0,1]\).

Exercice 18 – Problème d’une série d’inverses de sinus hyperboliques

On pose, lorsque cela a un sens, \(F(x)=\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{1}{\mathrm{sh}(nx)}\). On admet que \(u\mapsto\ln\left(\mathrm{th}\frac{u}{2}\right)\) est une primitive de \(u\mapsto\frac{1}{\mathrm{sh}\,u}\) sur \(]0,+\infty[\).

1. Pour \(x>0\) et \(n\geqslant 1\), établir \(0<\frac{1}{\mathrm{sh}(nx)}\leqslant\frac{2e^{-nx}}{1-e^{-2x}}\). En déduire que \(F\) est définie sur \(\mathbb{R}^*\) et impaire.
2. Prouver la convergence normale sur \([a,+\infty[\) pour tout \(a>0\), puis la continuité de \(F\) sur \(\mathbb{R}^*\).
3. Établir que la convergence n’est pas uniforme sur \(]0,+\infty[\).
4. Prouver que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\).
5. Déterminer la limite de \(e^xF(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
6. Par comparaison avec une intégrale, établir l’encadrement \(J(x)\leqslant F(x)\leqslant J(x)+\frac{1}{\mathrm{sh}\,x}\) pour \(x>0\), où \(J(x)=-\frac{1}{x}\ln\left(\mathrm{th}\frac{x}{2}\right)\). En déduire un équivalent de \(F\) en \(0^+\).

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