Quiz suites et séries de fonctions en L2

Pourquoi la suite précédente ne converge-t-elle pas uniformément sur \(\mathbb{R}\) ?

A.Les \(f_n\) ne sont pas bornéesB.Les \(f_n\) ne sont pas continuesC.Sa limite n'est pas continueD.Sa limite n'est pas bornée

\(f_n\) de classe \(C^1\), \(\sum f_n\) converge simplement : que faut-il en plus pour dériver terme à terme ?

A.La convergence uniforme de \(\sum f_n^{\prime}\)B.La convergence uniforme de \(\sum f_n\)C.La convergence simple de \(\sum f_n^{\prime}\)D.La bornitude de chaque \(f_n^{\prime}\)

Une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) est-elle limite uniforme sur \(\mathbb{R}\) de polynômes ?

A.Toujours, par WeierstrassB.Seulement si c'est un polynômeC.Oui dès qu'elle est bornéeD.Oui dès qu'elle est périodique

Le critère de Cauchy uniforme demande que, pour \(p, q\) grands, la quantité suivante soit petite :

A.\(|f_p(x) - f_q(x)|\) pour un \(x\) fixéB.\(\sup_x |f_p(x)|\)C.\(|f_p(0) - f_q(0)|\)D.\(\sup_x |f_p(x) - f_q(x)|\)

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz express travaille les réflexes de convergence des suites et séries de fonctions : trouver une limite simple, calculer une norme infinie sans dérivée quand c'est possible, reconnaître qu'une limite discontinue interdit la convergence uniforme d'une suite de fonctions continues. Chaque question se traite en moins d'une minute, sans tableau de variations complet.

Il te fait aussi hiérarchiser les modes de convergence d'une série, prouver une convergence normale par une majoration indépendante de la variable, et retrouver l'hypothèse exacte qui permet de dériver terme à terme ou d'intervertir limite et intégrale. Une question sur le théorème de Weierstrass vérifie que tu sais ce qu'il ne dit pas. Fais-le avant ton TD, puis refais-le avant le partiel : vise dix sur dix, car ces erreurs d'hypothèse sont parmi les plus sanctionnées.

Aller plus loin sur suites et séries de fonctions

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Questions fréquentes : suites et séries de fonctions en L2

Quelle différence entre convergence simple et uniforme ?

En convergence simple, le rang à partir duquel f_n(x) est proche de f(x) peut dépendre de x. En convergence uniforme, un même rang convient pour tous les x, ce qui revient à faire tendre la norme infinie de f_n - f vers 0.

Comment prouver qu'une série de fonctions converge normalement ?

On majore |f_n(x)| par un nombre a_n qui ne dépend pas de x, puis on montre que la série numérique des a_n converge.

La convergence uniforme suffit-elle pour dériver terme à terme ?

Non : il faut des fonctions de classe C¹, la convergence simple de la série et la convergence uniforme de la série des dérivées.

Quiz suites et séries de fonctions en L2 de maths

Limite simple sur \(\mathbb{R}\) de \(f_n(x) = \frac{1}{1 + nx^2}\) ?

Pourquoi la suite précédente ne converge-t-elle pas uniformément sur \(\mathbb{R}\) ?

Norme infinie sur \(\mathbb{R}\) de \(x \mapsto \frac{\sin(nx)}{n}\) ?

La série \(\sum f_n\) converge normalement sur \(I\) si…

Sur \(\mathbb{R}\), la série \(\sum \frac{\cos(nx)}{n^3}\) converge…

Pour les séries de fonctions, quelle implication est toujours vraie ?