Quiz variables jointes et moyennes empiriques en L2

Bienaymé-Tchebychev : \(P(|\overline{X}_n-m|\geqslant\varepsilon)\) est majoré par :

A.\(\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\)B.\(\frac{\sigma}{n\varepsilon}\)C.\(\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\)D.\(\frac{\sigma^2}{n^2\varepsilon^2}\)

La loi faible des grands nombres du cours suppose les variables :

A.de même loi, sans indépendanceB.indépendantes, de même loi, de variance finieC.indépendantes, de lois quelconquesD.à valeurs entières positives seulement

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz express fait travailler les réflexes sur les couples de variables aléatoires : extraire une loi marginale d'un tableau, calculer une covariance et la variance d'une somme, distinguer covariance nulle et indépendance, puis utiliser la fonction génératrice pour obtenir une espérance ou la loi d'une somme. Les dernières questions portent sur la loi faible des grands nombres et l'inégalité qui la démontre.

Utilise-le avant un TD ou un contrôle continu, sans calculatrice. Pour chaque erreur, réécris la formule utilisée et vérifie ses hypothèses : indépendance, variance finie, variables à valeurs entières. Avant un partiel, recommence jusqu'à dix sur dix, puis rédige entièrement une application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à une moyenne empirique, en précisant chaque hypothèse au moment où tu t'en sers.

Aller plus loin sur variables jointes et moyennes empiriques

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Questions fréquentes : variables jointes et moyennes empiriques en L2

Pourquoi une covariance nulle ne prouve-t-elle pas l'indépendance ?

La covariance ne mesure qu'une dépendance linéaire. Si X suit la loi uniforme sur moins un, zéro, un et Y vaut X au carré, la covariance est nulle alors que Y est entièrement déterminée par X.

À quoi sert la fonction génératrice ?

Elle code la loi d'une variable à valeurs entières naturelles. Elle donne l'espérance par sa dérivée en 1 et transforme la loi d'une somme de variables indépendantes en un simple produit.

Que dit concrètement la loi faible des grands nombres ?

Pour des variables indépendantes de même loi admettant une variance, la probabilité que la moyenne empirique s'écarte de l'espérance d'au moins epsilon tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

Quiz variables jointes et moyennes empiriques en L2 de maths

\(P(X=0,Y=0)=0{,}1\), \(P(X=0,Y=1)=0{,}3\), \(P(X=1,Y=0)=0{,}2\), \(P(X=1,Y=1)=0{,}4\). \(P(X=1)\) ?

\(E(XY)=5\), \(E(X)=2\), \(E(Y)=3\). Que vaut \(\mathrm{Cov}(X,Y)\) ?

\(V(X)=4\), \(V(Y)=1\), \(\mathrm{Cov}(X,Y)=-1\). Que vaut \(V(X+Y)\) ?

Deux variables de covariance nulle sont-elles indépendantes ?

Fonction génératrice de \(X\) de loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\) :

Pour \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) et d'espérance finie, \(E(X)\) vaut :

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes à valeurs dans \(\mathbb{N}\), \(G_{X+Y}\) vaut :

\(X\sim\mathcal{B}(n,p)\), \(Y\sim\mathcal{B}(m,p)\) indépendantes. Loi de \(X+Y\) :