Fonction Gamma et intégrale de Gauss en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Un cosinus intégré sur le segment unité

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \int_0^1 \frac{\cos(xt)}{1+t}\,dt\).

1. Justifier que \(F\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\).
2. Prouver que \(F\) est paire et que \(|F(x)| \leq \ln 2\) pour tout réel \(x\).
3. Établir ensuite la dérivabilité de \(F\), donner \(F^{\prime}(x)\) sous forme intégrale et en déduire \(F^{\prime}(0)\).

Exercice 2 – Dériver puis calculer directement

Pour \(x > -1\), on pose \(F(x) = \int_0^1 \ln(1+xt)\,dt\).

1. Vérifier que \(1 + xt > 0\) pour \(x > -1\) et \(t \in [0,1]\). En déduire que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(]-1,+\infty[\).
2. Ensuite, calculer \(F^{\prime}(0)\) en dérivant sous l’intégrale.
3. Pour \(x \neq 0\), calculer \(F(x)\) explicitement. Retrouver alors la valeur de \(F^{\prime}(0)\) par un développement limité.

Exercice 3 – Valeurs particulières de Gamma

On rappelle que \(\sqrt{\pi} = \Gamma(1/2)\).

1. Calculer \(\Gamma(5)\), puis \(\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)\).
2. En posant \(s = 2t\), calculer \(\int_0^{+\infty} t^3 e^{-2t}\,dt\).
3. Reconnaître ensuite \(\int_0^{+\infty} \sqrt{t}\,e^{-t}\,dt\) comme une valeur de Gamma et la calculer.
4. Enfin, simplifier le quotient \(\frac{\Gamma(5/2)}{\Gamma(1/2)}\).

Exercice 4 – Domaine de définition de Gamma

1. Montrer en détail que \(\int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\,dt\) converge si et seulement si \(x > 0\).
2. Pour \(x > 0\), exprimer \(\int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-3t}\,dt\) à l’aide de \(\Gamma(x)\).
3. Par le changement de variable \(t = e^{-u}\), déterminer les réels \(x\) pour lesquels \(\int_0^1 t^{x-1}(\ln t)^2\,dt\) converge, puis calculer sa valeur.

Exercice 5 – Variantes de l’intégrale de Gauss

On admet que \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\,dt = \sqrt{\pi}\).

1. Calculer \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-3t^2}\,dt\) par un changement de variable affine.
2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(\int_0^{+\infty} t^2 e^{-t^2}\,dt\).
3. En complétant le carré, calculer \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2+2t}\,dt\).

Exercice 6 – Premières transformées de Laplace

On note \(\mathcal{L}f(p) = \int_0^{+\infty} f(t)\,e^{-pt}\,dt\). Pour chaque fonction, préciser les \(p\) réels pour lesquels l’intégrale converge, puis calculer \(\mathcal{L}f(p)\).

1. D’abord, la fonction constante \(f(t) = 1\).
2. Ensuite, la fonction \(f(t) = e^{2t}\).
3. Puis la fonction \(f(t) = t^2\), par deux intégrations par parties.
4. Enfin, la fonction \(f(t) = \sin(3t)\), en passant par l’exponentielle complexe.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Quand la domination fait défaut

Pour \(x \geq 0\), on pose \(F(x) = \int_0^{+\infty} x\,e^{-xt}\,dt\).

1. Donner la valeur de \(F(0)\), puis celle de \(F(x)\) lorsque \(x > 0\). Que dire du comportement de \(F\) au voisinage de 0 ?
2. Pour \(t \geq 1\), calculer \(\sup_{x \in ]0,1]} x\,e^{-xt}\).
3. En déduire qu’aucune fonction intégrable \(\varphi\) sur \([0,+\infty[\) ne vérifie \(x\,e^{-xt} \leq \varphi(t)\) pour tout \(x \in ]0,1]\) et tout \(t \geq 0\).
4. Pour \(0 < a < b\), proposer en revanche une domination valable pour \(x \in [a,b]\).

Exercice 8 – Une équation différentielle du second ordre

Pour \(x > 0\), on considère \(F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{4+t^2}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(C^2\) sur \(]0,+\infty[\), en dominant sur chaque demi-droite \([a,+\infty[\) avec \(a > 0\).
2. Exprimer \(F^{\prime\prime}(x)\) par une intégrale, puis établir \(F^{\prime\prime}(x) + 4F(x) = \frac{1}{x}\).
3. Montrer que \(0 \leq F(x) \leq \frac{1}{4x}\), puis déterminer la limite de \(F\) en \(+\infty\).

Exercice 9 – Une gaussienne modulée par un cosinus

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(K(x) = \int_0^{+\infty} e^{-2t^2}\cos(xt)\,dt\).

1. Justifier que \(K\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\), avec une domination indépendante de \(x\).
2. À l’aide d’une intégration par parties, établir \(K^{\prime}(x) = -\frac{x}{4}K(x)\).
3. Calculer \(K(0)\) à partir de l’intégrale de Gauss, puis en déduire \(K(x)\) pour tout réel \(x\).

Exercice 10 – L’intégrale de Frullani par dérivation

Pour \(x > 0\), on pose \(\Phi(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t} – e^{-xt}}{t}\,dt\). La figure représente la fonction intégrée pour \(x = 3\).

1. Montrer que \(\Phi(x)\) est bien définie : étudier la borne 0, puis la borne \(+\infty\).
2. Dériver sous l’intégrale, en justifiant soigneusement la domination, et obtenir une expression simple de \(\Phi^{\prime}(x)\).
3. Calculer \(\Phi(1)\) et conclure. Par différence, obtenir ensuite \(\int_0^{+\infty} \frac{e^{-2t} – e^{-5t}}{t}\,dt\).

Exercice 11 – Relation fonctionnelle et factorielle

1. Redémontrer la relation \(\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)\) pour \(x > 0\), en intégrant par parties sur \([\varepsilon, A]\).
2. En déduire, pour tout entier \(n \geq 1\) et tout \(x > 0\), la formule \(\Gamma(x+n) = (x+n-1)(x+n-2)\cdots x\,\Gamma(x)\).
3. Admettant la continuité de \(\Gamma\), prouver que \(x\,\Gamma(x)\) tend vers 1 quand \(x\) tend vers 0.
4. Montrer enfin que \(\Gamma(x) \geq \int_1^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\,dt \geq \frac{1}{e}\) pour \(x \geq 1\), et que \(\Gamma\) n’est pas bornée sur \([1,+\infty[\).

Exercice 12 – Une cousine de la fonction Gamma

Pour \(x > 0\), on pose \(B(x) = \int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1+t}\,dt\).

1. Justifier que \(B(x)\) existe si et seulement si \(x > 0\).
2. Établir la relation \(B(x) + B(x+1) = \frac{1}{x}\) et calculer \(B(1)\).
3. Montrer que \(B\) est décroissante, puis continue sur \(]0,+\infty[\), à l’aide d’une domination sur \([a,+\infty[\).
4. En déduire un équivalent de \(B(x)\) en \(0^+\).
5. Par un encadrement utilisant la décroissance, prouver enfin que \(B(x) \sim \frac{1}{2x}\) en \(+\infty\).

Exercice 13 – Se ramener à Gamma

Dans chaque cas, un changement de variable fait apparaître une valeur de Gamma. L’identifier, puis donner la valeur numérique exacte quand elle est connue.

1. Premier cas : \(\int_0^{+\infty} t^2 e^{-4t}\,dt\).
2. Deuxième cas : \(\int_0^{+\infty} t^5 e^{-t^2}\,dt\).
3. Troisième cas : \(\int_0^1 (-\ln u)^3\,du\), avec \(u = e^{-s}\).
4. Dernier cas : \(\int_0^{+\infty} e^{-t^3}\,dt\), exprimée avec \(\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)\).

Exercice 14 – Propriétés générales de la transformée de Laplace

Soit \(f\) continue et bornée sur \([0,+\infty[\), et \(M = \sup |f|\). On note \(\mathcal{L}f(p) = \int_0^{+\infty} f(t)\,e^{-pt}\,dt\).

1. Justifier l’existence de \(\mathcal{L}f(p)\) pour \(p > 0\). Par une domination sur \([a,+\infty[\), établir que \(\mathcal{L}f\) est \(C^1\), avec \((\mathcal{L}f)^{\prime}(p) = -\int_0^{+\infty} t\,f(t)\,e^{-pt}\,dt\).
2. Établir la majoration \(|\mathcal{L}f(p)| \leq \frac{M}{p}\).
3. Par le changement de variable \(u = pt\) et la convergence dominée, montrer que \(p\,\mathcal{L}f(p)\) tend vers \(f(0)\) quand \(p\) tend vers \(+\infty\).
4. On suppose de plus \(f\) de classe \(C^1\) avec \(f^{\prime}\) bornée. Montrer que \(\mathcal{L}(f^{\prime})(p) = p\,\mathcal{L}f(p) – f(0)\).
5. En appliquant deux fois ce résultat à \(f = \sin\), retrouver \(\mathcal{L}(\sin)(p) = \frac{1}{1+p^2}\).

Exercice 15 – Transformée de Laplace des puissances

1. Soient \(a > -1\) et \(p > 0\). Montrer que \(\int_0^{+\infty} t^a e^{-pt}\,dt = \frac{\Gamma(a+1)}{p^{a+1}}\).
2. En déduire les transformées de \(t \mapsto \sqrt{t}\) et de \(t \mapsto t^{-1/2}\).
3. Vérifier sur ces deux exemples la règle de dérivation : la dérivée de la transformée de \(f\) est l’opposé de la transformée de \(t \mapsto t f(t)\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Problème – L’intégrale de Gauss par les intégrales de Wallis

On note \(I = \int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,dt\) et \(W_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n \theta\,d\theta\). On admet que \(W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}\). La figure montre \(e^{-t^2}\) encadrée par les deux fonctions de la question 1, pour \(n = 4\).

1. Rappeler que \(\ln(1+u) \leq u\) pour \(u > -1\). En déduire, pour \(n \geq 1\), que \(\left(1 – \frac{t^2}{n}\right)^n e^{t^2} \leq 1\) si \(0 \leq t < \sqrt{n}\), et que \(\left(1 + \frac{t^2}{n}\right)^{n} e^{-t^2} \leq 1\) si \(t \geq 0\).
2. Avec \(t = \sqrt{n}\sin\theta\), montrer que \(\int_0^{\sqrt{n}} \left(1 – \frac{t^2}{n}\right)^n dt = \sqrt{n}\,W_{2n+1}\).
3. Avec \(t = \sqrt{n}\tan\theta\), montrer que \(\int_0^{+\infty} \left(1 + \frac{t^2}{n}\right)^{-n} dt = \sqrt{n}\,W_{2n-2}\).
4. Encadrer \(I\), puis conclure que \(I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\).

Exercice 17 – Problème – Convexité logarithmique de Gamma

On admet que \(\Gamma\) est de classe \(C^2\) sur \(]0,+\infty[\), avec les formules du cours pour \(\Gamma^{\prime}\) et \(\Gamma^{\prime\prime}\).

1. Justifier que \(\Gamma(x) > 0\) pour tout \(x > 0\).
2. Écrire \(\Gamma^{\prime}(x)\) comme l’intégrale d’un produit de deux fonctions de carré intégrable. Grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, en déduire \(\Gamma(x)\,\Gamma^{\prime\prime}(x) – \Gamma^{\prime}(x)^2 \geq 0\).
3. Montrer alors que \(\ln \Gamma\) est convexe sur \(]0,+\infty[\).
4. Dériver la relation fonctionnelle et en déduire \(\Gamma^{\prime}(2) = 1 + \Gamma^{\prime}(1)\).
5. Établir que \(-1 < \int_0^{+\infty} \ln(t)\,e^{-t}\,dt < 0\).
6. Par convexité de \(\ln \Gamma\), prouver que \(\Gamma\left(x + \frac{1}{2}\right) \leq \sqrt{x}\,\Gamma(x)\) pour \(x > 0\). Vérifier ce résultat pour \(x = 1\).

Exercice 18 – Problème – Une transformée de Laplace logarithmique

Pour \(p > 0\), on pose \(F(p) = \int_0^{+\infty} e^{-pt}\,\frac{1 – \cos t}{t}\,dt\).

1. Montrer que \(F(p)\) est bien définie pour tout \(p > 0\).
2. Justifier la dérivation sous l’intégrale sur \([a,+\infty[\), pour tout \(a > 0\), puis écrire \(F^{\prime}(p)\) sous forme intégrale.
3. Calculer \(\int_0^{+\infty} e^{-pt}\cos t\,dt\), puis en déduire \(F^{\prime}(p)\) sous forme explicite.
4. À l’aide de \(1 – \cos t \leq \frac{t^2}{2}\), prouver que \(0 \leq F(p) \leq \frac{1}{2p^2}\).
5. En déduire que \(F(p) = \frac{1}{2}\ln\left(1 + \frac{1}{p^2}\right)\) pour tout \(p > 0\).

Exercice 19 – Problème – Moments gaussiens par dérivation

Pour \(x > 0\), on pose \(G(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt^2}\,dt\), et pour \(n \in \mathbb{N}\), \(M_n = \int_0^{+\infty} t^{2n}e^{-t^2}\,dt\).

1. Par un changement de variable, montrer que \(G(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,x^{-1/2}\).
2. Dominer les dérivées successives de \(x \mapsto e^{-xt^2}\) sur \([a,+\infty[\). En déduire la régularité \(C^\infty\) de \(G\) et une formule intégrale pour \(G^{(n)}(x)\).
3. En comparant avec la dérivée \(n\)-ième de \(x^{-1/2}\), établir \(M_n = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdots (2n-1)}{2^n}\) pour \(n \geq 1\).
4. Par le changement de variable \(s = t^2\), exprimer \(M_n\) à l’aide de Gamma, puis retrouver la formule du cours pour \(\Gamma\left(n + \frac{1}{2}\right)\).
5. En déduire la valeur de \(\int_{-\infty}^{+\infty} t^{2n}e^{-t^2/2}\,dt\).

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