Maths PDF : quiz de maths de L2 pour réviser en ligne et s'auto-évaluer
Quiz de maths›L2›Intégrales dépendant d'un paramètre

Quiz intégrales dépendant d'un paramètre en L2 de maths

Dix questions rapides pour vérifier que tu maîtrises Gamma, l'intégrale de Gauss, les hypothèses de domination et la dérivation sous le signe intégrale.

Que vaut \(\Gamma(5)\) ?

Valeur de \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\) ?

Valeur de \(\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\) ?

Valeur de \(\int_0^{+\infty} e^{-4x^2}\,dx\) ?

Ensemble des réels \(x\) pour lesquels l'intégrale définissant \(\Gamma(x)\) converge ?

Relation fonctionnelle de Gamma pour \(x > 0\) ?

Transformée de Laplace de \(t \mapsto t\) en \(p > 0\) ?

Dans l'hypothèse de domination, la fonction majorante doit être…

\(F(x) = \int_0^1 e^{xt}\,dt\). Que vaut \(F^{\prime}(0)\) ?

Équivalent de \(\Gamma(x)\) quand \(x \to 0^{+}\) ?

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz express rassemble les valeurs à connaître et les hypothèses à citer sans hésiter sur les intégrales à paramètre en L2 : valeurs de la fonction Gamma aux entiers et aux demi-entiers, relation fonctionnelle, comportement en zéro, variantes de l'intégrale de Gauss, transformée de Laplace d'une fonction simple et dérivée d'une intégrale en un point. Une question vérifie que tu sais formuler correctement l'hypothèse de domination.

Fais-le juste avant une colle ou un TD pour t'assurer que les calculs de base sont immédiats. Si une valeur de Gamma te résiste, redescends avec la relation fonctionnelle jusqu'à une valeur connue. Pour la domination, rappelle-toi que la majoration doit être uniforme en le paramètre. Un score d'au moins 8 sur 10 montre que tu peux attaquer un sujet d'examen sur ce thème ; sinon, refais l'étude complète de Gamma.

Aller plus loin sur intégrales dépendant d'un paramètre

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Questions fréquentes : intégrales dépendant d'un paramètre en L2

Pourquoi la domination doit-elle être indépendante du paramètre ?

C'est elle qui permet de passer à la limite sous l'intégrale grâce au théorème de convergence dominée. Une majoration qui dépend du paramètre ne contrôle rien quand celui-ci varie.

Peut-on se contenter d'une domination locale ?

Oui : pour la continuité ou la dérivabilité, il suffit de dominer sur tout segment inclus dans l'intervalle des paramètres. C'est ce qu'on fait pour Gamma sur ]0, +∞[.

Comment retrouver Gamma(1/2) ?

Le changement de variable t = u² ramène Gamma(1/2) à deux fois l'intégrale de exp(-u²) sur [0, +∞[, donc à l'intégrale de Gauss, ce qui donne la racine de π.

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