Quiz projeter, mesurer, approcher en L2

Quiz projeter, mesurer, approcher en L2 de maths

Dix questions éclair pour réviser bases orthonormées, projecteurs orthogonaux, distances, produit hermitien et moindres carrés avant ta prochaine séance de TD.

Produit hermitien linéaire à droite : que vaut \(\langle \lambda x,y\rangle\) ?

A.\(\lambda\langle x,y\rangle\)B.\(\overline{\lambda}\langle x,y\rangle\)C.\(|\lambda|\langle x,y\rangle\)D.\(\lambda^2\langle x,y\rangle\)

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz entraîne les réflexes euclidiens de deuxième année : lire une norme et des coordonnées dans une base orthonormée, écrire la matrice d’un projecteur sur une droite, en déduire la symétrie associée, utiliser l’inégalité de Bessel. Il aborde aussi la conjugaison propre au produit hermitien et les moindres carrés, avec les équations normales et la droite de régression.

Fais-le juste avant une colle ou un TD, en moins de dix minutes et sans calculatrice. Quand tu te trompes, écris le vecteur comme somme de son projeté orthogonal et d’un vecteur de l’orthogonal, puis applique Pythagore : presque toutes les questions se ramènent à cette décomposition. Reprends le quiz avant un partiel pour vérifier que la position de la conjugaison et l’ordre des transposées ne te piègent plus.

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Une erreur ? Reprends le cours de L2 de maths, les exercices corrigés ou le QCM détaillé sur Maths PDF, puis retente le quiz. Tous les chapitres de l’année sont réunis sur la page L2 de maths.

Questions fréquentes : projeter, mesurer, approcher en L2

Pourquoi les équations normales donnent-elles la solution des moindres carrés ?

Minimiser \(\|Ax-b\|\) revient à projeter \(b\) sur l’image de \(A\). Le résidu \(b-Ax\) doit alors être orthogonal à chaque colonne de \(A\), ce qui s’écrit exactement \({}^tA(b-Ax)=0\).

Dans un produit hermitien, de quel côté se trouve la conjugaison ?

Cela dépend de la convention de ton cours : linéaire à droite et semi-linéaire à gauche, ou l’inverse. Vérifie toujours la convention annoncée avant de sortir un scalaire du crochet.

Comment calculer vite une distance à un sous-espace ?

Projette orthogonalement le vecteur sur le sous-espace, puis utilise Pythagore : le carré de la distance vaut le carré de la norme du vecteur moins le carré de la norme de son projeté.

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Dans une base orthonormée \((e_1,e_2,e_3)\), quelle est la norme de \(2e_1-e_2+2e_3\) ?

Dans une base orthonormée \((e_i)\), la coordonnée de \(x\) selon \(e_i\) vaut :

Produit hermitien linéaire à droite : que vaut \(\langle \lambda x,y\rangle\) ?

Pour un produit hermitien, \(\langle y,x\rangle\) est égal à :

\(U\) est une colonne unitaire. Matrice du projecteur orthogonal sur la droite qu’elle dirige ?

Équations normales du problème \(\min\|Ax-b\|\) :

La droite de régression des moindres carrés passe toujours par :

\(\|x\|^2=10\) et son projeté orthogonal \(p\) sur \(F\) vérifie \(\|p\|^2=6\). Distance de \(x\) à \(F\) ?

Pour une famille orthonormée finie \((e_i)\), la somme des \(\langle x,e_i\rangle^2\) est :

Si \(p\) est le projecteur orthogonal sur \(F\), la symétrie orthogonale par rapport à \(F\) est :

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