Univers dénombrable et Bayes en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Tribu engendrée par deux parties de N

Sur \(\Omega = \mathbb{N}\), on considère \(A = \{0, 1\}\) et \(B = \{1, 2\}\). On note \(\mathcal{T}\) la plus petite tribu contenant \(A\) et \(B\).

1. Déterminer les quatre parties \(A \cap B\), \(A \setminus B\), \(B \setminus A\) et \(\overline{A \cup B}\). Montrer qu’elles forment une partition de \(\mathbb{N}\).
2. Montrer que l’ensemble des réunions de certaines de ces quatre parties est une tribu.
3. En déduire que \(\mathcal{T}\) possède exactement 16 éléments.
4. Le singleton \(\{5\}\) est-il un événement de \(\mathcal{T}\) ?

Exercice 2 – Une loi en 1/(n(n+1)(n+2))

Pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on pose \(u_n = \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}\).

1. Vérifier que \(u_n = \dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1}{n(n+1)} – \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\Big)\).
2. En déduire \(\sum_{n \geqslant k} u_n\) pour tout \(k \geqslant 1\).
3. Déterminer la constante \(c\) telle que \(p_n = c\, u_n\) définisse une probabilité \(P\) sur \(\mathbb{N}^{*}\).
4. Calculer \(P(\{n \geqslant k\})\), puis \(P(\{n \leqslant 3\})\).

Exercice 3 – Deux dés tétraédriques sous condition

On lance deux dés tétraédriques équilibrés et discernables, dont les faces portent 1, 2, 3, 4. La grille ci-dessous donne la somme des deux faces pour chaque issue.

1. Préciser l’univers et la probabilité utilisés.
2. Calculer la probabilité que l’un des dés au moins montre 1, sachant que la somme vaut 5.
3. Calculer la probabilité que le plus grand des deux résultats soit 4, sachant que la somme est au moins 6.
4. Les événements « la somme vaut 5 » et « le premier dé montre 2 » sont-ils indépendants ?

Exercice 4 – Trois ateliers et une pièce défectueuse

Une entreprise fabrique des engrenages dans trois ateliers. L’atelier 1 assure 50 % de la production, l’atelier 2 en assure 30 % et l’atelier 3 le reste. Les taux de pièces défectueuses sont respectivement 2 %, 4 % et 5 %.

1. Calculer la probabilité qu’un engrenage pris au hasard soit défectueux.
2. Un engrenage est défectueux. Calculer la probabilité qu’il vienne de chacun des ateliers.
3. Quel atelier est le plus souvent responsable d’un défaut ? Commenter.

Exercice 5 – Calculs avec deux événements indépendants

Soit \(A\) et \(B\) deux événements indépendants avec \(P(A) = 0{,}4\) et \(P(B) = 0{,}25\).

1. Calculer \(P(A \cup B)\), \(P(A \cap \overline{B})\) et \(P(\overline{A} \cup \overline{B})\).
2. Calculer la probabilité qu’exactement un des deux événements soit réalisé.
3. Montrer qu’un événement \(C\) indépendant de lui-même vérifie \(P(C) \in \{0, 1\}\).

Exercice 6 – Incompatibilité contre indépendance

Soit \(A\) et \(B\) deux événements d’un espace probabilisé.

1. Montrer que si \(A\) et \(B\) sont à la fois incompatibles et indépendants, alors \(P(A) = 0\) ou \(P(B) = 0\).
2. Montrer qu’un événement de probabilité nulle est indépendant de tout événement.
3. Montrer qu’un événement de probabilité 1 est indépendant de tout événement.
4. Donner, avec un dé tétraédrique équilibré, deux événements incompatibles non indépendants.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Rang du premier 4 au dé tétraédrique

On lance indéfiniment un dé tétraédrique équilibré, les lancers étant indépendants. On note \(T\) le rang du premier 4, avec \(T = +\infty\) si le 4 ne sort jamais.

1. Pour \(n \geqslant 1\), calculer \(P(T = n)\).
2. Montrer, par continuité monotone, que \(P(T = +\infty) = 0\).
3. Calculer la probabilité que \(T\) soit pair.
4. Calculer \(P(T > n)\) puis \(P(T > m + n \mid T > m)\) pour \(m, n \in \mathbb{N}\). Interpréter.

Exercice 8 – Lancers alternés et continuité monotone

On lance indéfiniment une pièce équilibrée, les lancers étant indépendants. Pour \(n \geqslant 2\), on note \(A_n\) l’événement « les \(n\) premiers lancers alternent », c’est-à-dire que deux lancers consécutifs parmi les \(n\) premiers donnent toujours des faces différentes.

1. Calculer \(P(A_n)\).
2. Montrer que la suite \((A_n)\) est décroissante et décrire son intersection \(A\).
3. En déduire \(P(A)\).
4. On note \(D_n\) « deux lancers consécutifs identiques apparaissent parmi les \(n\) premiers ». Montrer que \(P\big(\bigcup_n D_n\big) = 1\).

Exercice 9 – Pile une infinité de fois

Une pièce, éventuellement biaisée, tombe sur pile avec probabilité \(p \in \,]0, 1[\). On la jette une infinité de fois, de façon indépendante.

1. Montrer que, pour une suite quelconque d’événements, \(P\big(\bigcup A_n\big) \leqslant \sum P(A_n)\).
2. Pour \(m \geqslant 1\), on note \(F_m\) « tous les lancers à partir du rang \(m\) donnent face ». Montrer que \(P(F_m) = 0\).
3. Exprimer l’événement « pile sort un nombre fini de fois » à l’aide des \(F_m\).
4. En déduire que pile sort presque sûrement une infinité de fois.

Exercice 10 – Le dé pipé de la boîte

Une boîte contient trois dés cubiques d’apparence identique. Deux sont équilibrés. Le troisième est pipé : il donne 6 avec probabilité 1/2. On prend un dé au hasard et on le lance deux fois. Sachant le dé choisi, les lancers sont indépendants.

1. Calculer la probabilité d’obtenir deux fois 6.
2. On a obtenu deux fois 6. Calculer la probabilité que le dé soit pipé.
3. On relance le même dé. Calculer la probabilité d’obtenir encore 6, sachant les deux premiers 6.
4. Les événements « premier lancer donne 6 » et « second lancer donne 6 » sont-ils indépendants ?

Exercice 11 – Un nombre géométrique de dés

On tire un entier \(N \geqslant 1\) avec \(P(N = n) = \frac{1}{3}\big(\frac{2}{3}\big)^{n-1}\). Ensuite, on lance \(N\) dés cubiques équilibrés indépendants. On note \(Z\) l’événement « aucun dé ne donne 6 ».

1. Vérifier que la loi de \(N\) est bien une probabilité sur \(\mathbb{N}^{*}\).
2. Calculer \(P(Z)\).
3. Calculer \(P(N = n \mid Z)\) pour tout \(n \geqslant 1\). Quelle est la valeur la plus probable de \(N\) sachant \(Z\) ?

Exercice 12 – Rang du premier jeton rouge sans remise

Une urne contient 3 jetons rouges et 5 jetons blancs. On tire les jetons un par un, sans remise, jusqu’à obtenir un rouge. On note \(R\) le rang du premier jeton rouge.

1. Quelles sont les valeurs possibles de \(R\) ?
2. Calculer \(P(R = 1)\), \(P(R = 2)\) et \(P(R = 3)\) par la formule des probabilités composées.
3. En raisonnant sur les positions des trois jetons rouges parmi les huit rangs, montrer que \(P(R = k) = \binom{8-k}{2} \big/ \binom{8}{3}\).
4. Vérifier que la somme des \(P(R = k)\) vaut 1.

Exercice 13 – Urne de Pólya à deux rouges et un bleu

Une urne contient 2 jetons rouges et 1 jeton bleu. À chaque tirage, on remet le jeton tiré et on ajoute un jeton de la même couleur. On note \(R_i\) « le \(i\)-ième tirage donne rouge ».

1. Calculer \(P(R_2)\) et \(P(R_3)\).
2. Calculer \(P(R_1 \mid R_2)\).
3. Les événements \(R_1\) et \(R_2\) sont-ils indépendants ?

Exercice 14 – Indépendances deux à deux et mutuelle

1. Sur \(\Omega = \{1, 2, 3, 4\}\) muni de l’équiprobabilité, on pose \(A = \{1, 2\}\), \(B = \{1, 3\}\) et \(C = \{1, 4\}\). Montrer que \(A, B, C\) sont indépendants deux à deux mais pas mutuellement.
2. Sur \(\Omega = \{1, \ldots, 8\}\) muni de l’équiprobabilité, on pose \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{1, 2, 3, 5\}\) et \(C = \{1, 6, 7, 8\}\). Montrer que \(P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)\), mais que \(A, B, C\) ne sont pas mutuellement indépendants.
3. Conclure sur la définition de l’indépendance mutuelle de trois événements.

Exercice 15 – Un événement indépendant d’une réunion

Soit \(A, B, C\) trois événements mutuellement indépendants.

1. Montrer que \(A\) et \(B \cap C\) sont indépendants.
2. Montrer que \(A\) et \(B \cup C\) sont indépendants.
3. Le résultat de la question 2 subsiste-t-il si l’on suppose seulement \(A, B, C\) indépendants deux à deux ? On pourra utiliser l’exercice 14.

Pour approfondir

Exercice 16 – Problème – Scanner de colis et alarmes répétées

Dans un centre de tri, un colis sur 50 contient une marchandise interdite. On note \(C\) cet événement. Un scanner examine les colis. Pour un colis frauduleux, chaque passage déclenche une alarme avec probabilité 9/10. Pour un colis sain, chaque passage déclenche une alarme avec probabilité 1/10. Sachant \(C\), comme sachant \(\overline{C}\), les passages successifs sont indépendants. On note \(A_j\) « le \(j\)-ième passage déclenche une alarme ».

1. Calculer \(P(A_1)\), puis \(P(C \mid A_1)\). Commenter.
2. Soit \(k \geqslant 1\). Montrer que \(P(C \mid A_1 \cap \cdots \cap A_k) = \dfrac{9^k}{9^k + 49}\).
3. Déterminer le plus petit nombre \(k\) d’alarmes consécutives pour lequel cette probabilité dépasse 0,95.
4. Calculer \(P(A_1 \cap A_2)\). Les événements \(A_1\) et \(A_2\) sont-ils indépendants ? Expliquer la différence avec l’hypothèse de l’énoncé.
5. On fait passer un colis tant que le scanner sonne. Montrer que la procédure s’arrête presque sûrement.

Exercice 17 – Premier double pile et suite de Fibonacci

Une pièce équilibrée est jetée sans arrêt, et les jets sont mutuellement indépendants. On attend le premier instant où deux jets successifs montrent tous deux pile, et l’on appelle \(T\) le numéro du second de ces deux jets. Si ce motif ne se produit jamais, on pose \(T = +\infty\). On pose \(p_n = P(T = n)\) pour \(n \geqslant 1\). La suite de Fibonacci est définie par \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\) et \(F_{n+1} = F_n + F_{n-1}\).

1. Calculer \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\) et \(p_4\).
2. En conditionnant par le résultat des premiers lancers, montrer que \(p_n = \frac{1}{2} p_{n-1} + \frac{1}{4} p_{n-2}\) pour tout \(n \geqslant 3\).
3. En déduire que \(p_n = F_{n-1}/2^n\) pour tout \(n \geqslant 1\).
4. On pose \(S = \sum_{n \geqslant 1} p_n\). Justifier que \(S \leqslant 1\), puis montrer que \(S = 1\) en sommant la relation de la question 2. Conclure sur \(P(T = +\infty)\).

Exercice 18 – Problème – Loi zêta et divisibilité

On admet que \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\). Soit \(N\) un entier aléatoire tel que \(P(N = n) = \dfrac{6}{\pi^2 n^2}\) pour \(n \geqslant 1\). Pour \(k \geqslant 1\), on note \(D_k\) l’événement « \(k\) divise \(N\) ».

1. Vérifier que la formule définit une probabilité sur \(\mathbb{N}^{*}\).
2. Montrer que \(P(D_k) = 1/k^2\).
3. Soit \(a, b\) deux entiers premiers entre eux. Montrer que \(D_a \cap D_b = D_{ab}\), puis que \(D_a\) et \(D_b\) sont indépendants. Les événements \(D_2\) et \(D_4\) sont-ils indépendants ?
4. Soit \(q_1, \ldots, q_r\) des nombres premiers distincts. Montrer que \(D_{q_1}, \ldots, D_{q_r}\) sont mutuellement indépendants. En déduire la probabilité que \(N\) ne soit divisible par aucun des \(q_i\).
5. On numérote les nombres premiers \(2 = q_1 < q_2 < \cdots\) et on note \(E_r\) « \(N\) n’est divisible par aucun de \(q_1, \ldots, q_r\) ». Par continuité monotone, montrer que \(\prod_{j=1}^{r} \big(1 – q_j^{-2}\big)\) tend vers \(6/\pi^2\) quand \(r \to +\infty\).

Pour aller plus loin

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