Intégrales doubles et triples en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Trois intégrales sur des rectangles

Calculer les intégrales doubles suivantes.

1. \(I_1=\iint_{[0,1]\times[0,\pi/2]}x^2\cos y\,dx\,dy\).
2. \(I_2=\iint_{[1,2]\times[0,1]}\dfrac{y}{x}\,dx\,dy\).
3. \(I_3=\iint_{[0,1]\times[0,1]}(x+y)^2\,dx\,dy\).

Exercice 2 – Le bon ordre d’intégration

On considère \(I=\iint_R y\sin(xy)\,dx\,dy\) avec \(R=[0,\pi]\times[0,1]\).

1. Expliquer pourquoi il est plus simple d’intégrer d’abord par rapport à \(x\).
2. Calculer \(I\).

Exercice 3 – Aire entre une parabole et une droite

Soit \(\Delta\) le domaine borné compris entre la parabole \(y=x^2-2x\) et la droite \(y=x\), représenté sur la figure.

1. Déterminer les points d’intersection des deux courbes et décrire \(\Delta\) par des inégalités.
2. Ensuite, calculer l’aire de \(\Delta\).
3. Enfin, calculer \(\iint_\Delta x\,dx\,dy\), puis l’abscisse du centre de gravité de \(\Delta\).

Exercice 4 – Un triangle dans les deux ordres

Soit \(T\) le triangle de sommets \((0,0)\), \((2,0)\) et \((2,1)\).

1. Décrire \(T\) par une lecture verticale, puis par une lecture horizontale.
2. Calculer \(\iint_T xy\,dx\,dy\) avec chacune des deux descriptions, et vérifier que les résultats coïncident.

Exercice 5 – Deux intégrales sur un disque

Soit \(B\) le disque fermé de centre \(O\) et de rayon 2.

1. Calculer \(\iint_B\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy\) en passant en coordonnées polaires.
2. Ensuite, calculer \(\iint_Bx^2\,dx\,dy\). Par symétrie, en déduire sans calcul \(\iint_B(x^2+y^2)\,dx\,dy\).

Exercice 6 – Longueurs de deux courbes

1. Calculer la longueur de la portion de la courbe \(y=\cosh x\) située au-dessus de \([-\ln 3,\ln 3]\).
2. De même, calculer la longueur de l’arc \(t\mapsto(3t^2,\,2t^3)\) pour \(t\in[0,\sqrt{3}]\).

Exercice 7 – Une forme le long de deux chemins

Soit \(\omega=xy\,dx+(x-y)\,dy\), et les points \(O=(0,0)\) et \(A=(1,2)\).

1. Calculer \(\int\omega\) le long du segment de \(O\) à \(A\).
2. Ensuite, calculer \(\int\omega\) le long de l’arc de parabole \(y=2x^2\), de \(O\) à \(A\).
3. La forme \(\omega\) est-elle exacte sur \(\mathbb{R}^2\) ? Justifier de deux façons.

Pour s’entraîner

Exercice 8 – Échanger l’ordre pour conclure

On pose \(K=\displaystyle\int_0^9\left(\int_{\sqrt{y}}^{3}\sin(x^3)\,dx\right)dy\).

1. Expliquer pourquoi l’intégrale intérieure ne peut pas être calculée à l’aide d’une primitive usuelle.
2. Dessiner le domaine d’intégration et le décrire par une lecture verticale.
3. En déduire la valeur de \(K\).

Exercice 9 – Un parallélogramme et un changement affine

Soit \(P\) le domaine défini par \(1\le x+y\le 3\) et \(-1\le x-y\le 1\).

1. Montrer que le changement \(u=x+y\), \(v=x-y\) envoie \(P\) sur un rectangle, et calculer l’aire de \(P\).
2. Ensuite, calculer \(\iint_P(x+y)\,e^{x-y}\,dx\,dy\).

Exercice 10 – Logarithme sur une couronne

Soit \(C\) la couronne \(\{1\le x^2+y^2\le e^2\}\). Calculer \(\iint_C\ln(x^2+y^2)\,dx\,dy\).

Exercice 11 – Un disque qui passe par l’origine

Soit \(D=\{(x,y) : x^2+y^2\le 2x\}\).

1. Reconnaître \(D\), puis le décrire en coordonnées polaires.
2. Puis calculer \(\iint_Dx\,dx\,dy\) et interpréter le résultat à l’aide du centre de \(D\).
3. Enfin, calculer \(\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy\).

Exercice 12 – Volume sous une surface

Le solide considéré est situé au-dessus d’un rectangle. Ainsi, calculer le volume du solide \(\{0\le x\le 1,\ 0\le y\le 2,\ 0\le z\le x^2+xy\}\).

Exercice 13 – Les trois jacobiens usuels

1. D’abord, calculer le jacobien de \((r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,\,r\sin\theta)\).
2. En déduire celui des coordonnées cylindriques \((r,\theta,z)\mapsto(r\cos\theta,\,r\sin\theta,\,z)\).
3. Ensuite, calculer le jacobien de \((\rho,\theta,\varphi)\mapsto(\rho\sin\varphi\cos\theta,\,\rho\sin\varphi\sin\theta,\,\rho\cos\varphi)\), en développant selon la dernière ligne.
4. Enfin, application : calculer le volume de la demi-coquille \(\{1\le x^2+y^2+z^2\le 4,\ z\ge 0\}\).

Exercice 14 – Deux volumes en cylindriques

1. Calculer le volume du solide situé dans le cylindre \(x^2+y^2\le 1\), entre les plans \(z=0\) et \(z=3+x\).
2. Ensuite, calculer le volume du solide compris entre le paraboloïde \(z=x^2+y^2\) et le plan \(z=2y\). On pourra commencer par déterminer la projection du solide sur le plan \(xOy\).

Exercice 15 – Tétraèdre et tranches horizontales

Soit \(T=\{x\ge 0,\ y\ge 0,\ z\ge 0,\ x+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}\le 1\}\).

1. Décrire la section horizontale \(S_z\) de \(T\) à la hauteur \(z\in[0,3]\) et calculer son aire.
2. En déduire le volume de \(T\).
3. Enfin, calculer \(\iiint_Tz\,dx\,dy\,dz\), puis la cote du centre de gravité de \(T\).

Exercice 16 – Masse d’une boule de densité variable

Une boule \(B\) de centre \(O\) et de rayon 2 a pour masse volumique \(\mu(x,y,z)=1+z^2\).

1. D’abord, calculer \(\iiint_Bz^2\,dx\,dy\,dz\) en coordonnées sphériques.
2. Retrouver ce résultat par un argument de symétrie, en calculant d’abord \(\iiint_B(x^2+y^2+z^2)\).
3. En déduire la masse de la boule.

Exercice 17 – Potentiel d’une forme exacte

Soit \(\omega=(2xy^3+e^x)\,dx+(3x^2y^2-1)\,dy\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Montrer que \(\omega\) est fermée. Pourquoi est-elle exacte ?
2. Trouver une fonction \(f\) telle que \(df=\omega\).
3. Ensuite, calculer \(\int_\gamma\omega\) où \(\gamma\) est l’arc \(t\mapsto(\sin t,\,2t/\pi)\), \(t\in[0,\pi/2]\).
4. Que vaut l’intégrale de \(\omega\) sur une courbe fermée quelconque ?

Exercice 18 – Vérifier Green-Riemann sur un quart de disque

Soit \(Q=\{x\ge 0,\ y\ge 0,\ x^2+y^2\le 4\}\) et \(\omega=-y^2\,dx+xy\,dy\).

1. Calculer \(\iint_Q\left(\frac{\partial(xy)}{\partial x}-\frac{\partial(-y^2)}{\partial y}\right)dx\,dy\).
2. Décomposer le bord de \(Q\), parcouru dans le sens direct, en trois morceaux, et calculer l’intégrale de \(\omega\) sur chacun.
3. Enfin, vérifier la formule de Green-Riemann.

Pour approfondir

Exercice 19 – Un changement de variables hyperbolique

Soit \(D=\{(x,y) : x>0,\ 1\le xy\le 4,\ x\le y\le 3x\}\).

1. On pose \(u=xy\) et \(v=\frac{y}{x}\). Montrer que \((x,y)\mapsto(u,v)\) est une bijection de \(D\) sur \([1,4]\times[1,3]\), et exprimer \(x\) et \(y\) en fonction de \(u\) et \(v\).
2. Calculer le jacobien \(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\) et en déduire \(dx\,dy\) en fonction de \(du\,dv\).
3. Enfin, calculer l’aire de \(D\), puis \(\iint_Dxy\,dx\,dy\).

Exercice 20 – Aire d’une boucle par Green-Riemann

On considère la courbe \(\Gamma\) paramétrée par \(x(t)=t^2-1\), \(y(t)=t^3-t\), \(t\in\mathbb{R}\). Elle présente une boucle, représentée sur la figure.

1. Déterminer les valeurs de \(t\) pour lesquelles \(\Gamma\) passe par l’origine. En déduire que la boucle correspond à \(t\in[-1,1]\).
2. Montrer que \(x\,y^{\prime}-y\,x^{\prime}=(t^2-1)^2\), et préciser le sens de parcours de la boucle.
3. Par conséquent, calculer l’aire de la boucle grâce à la formule de Green-Riemann.
4. Vérifier le résultat par un calcul direct, sachant que la boucle a pour équation cartésienne \(y^2=x^2(x+1)\) avec \(-1\le x\le 0\).

Exercice 21 – Une forme fermée qui n’est pas exacte

Sur \(U=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), on considère \(\omega=\dfrac{x\,dy-y\,dx}{x^2+y^2}\).

1. Montrer que \(\omega\) est fermée sur \(U\).
2. Pour \(a>0\), intégrer \(\omega\) le long de \(t\mapsto(a\cos t,\,a\sin t)\), \(t\in[0,2\pi]\). Conclure que \(\omega\) n’est pas exacte sur \(U\).
3. Expliquer pourquoi ce résultat ne contredit pas la formule de Green-Riemann.
4. Soit \(E\) l’ellipse \(\frac{x^2}{4}+y^2=1\). En appliquant Green-Riemann au domaine compris entre \(E\) et le cercle de rayon \(\frac{1}{2}\), montrer que \(\oint_E\omega=2\pi\).
5. En paramétrant \(E\), en déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{dt}{4\cos^2t+\sin^2t}\).

Exercice 22 – Problème – Un verre conique

L’intérieur d’un verre est modélisé par le solide \(V=\{(x,y,z) : 2\sqrt{x^2+y^2}\le z\le 4\}\), l’unité étant le centimètre.

1. D’abord, décrire \(V\) en coordonnées cylindriques et calculer son volume.
2. On verse du liquide jusqu’à la hauteur \(h\in[0,4]\). Montrer que le volume de liquide vaut \(\frac{\pi h^3}{12}\).
3. Déterminer la hauteur \(h\) pour laquelle le verre est rempli à moitié de son volume. Commenter.
4. Ensuite, calculer \(\iiint_Vz\,dx\,dy\,dz\) et en déduire la cote du centre de masse du liquide quand le verre est plein.
5. Décrire \(V\) en coordonnées sphériques, avec \(\alpha\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) tel que \(\tan\alpha=\frac{1}{2}\). Retrouver le volume de \(V\) par ce second calcul.

Pour aller plus loin

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