Partiel d’algèbre du semestre 3 : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « partiel d’algèbre du semestre 3 », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce partiel de trois heures clôt le semestre 3 et couvre la réduction des matrices ainsi que la théorie élémentaire des groupes. Deux démonstrations de cours ouvrent le sujet : le théorème de Lagrange et la liberté des familles de vecteurs propres. Ensuite, une matrice qui vérifie une relation polynomiale très simple vous fera utiliser un polynôme annulateur. Puis une permutation de sept éléments sera décomposée en cycles. Le quatrième exercice demande une discussion complète de la diagonalisabilité selon un paramètre. Enfin, le problème étudie un sous-groupe de matrices inversibles d’ordre 6 et le relie au groupe symétrique grâce à une figure.
Ce qu’évalue le contrôle : partiel d’algèbre du semestre 3
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée3 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Diagonaliser une matrice et applications et Polynômes annulateurs et trigonalisation et Groupes, théorème de Lagrange et permutations (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer le théorème de Lagrange et la liberté d’une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
- Déduire la diagonalisabilité d’une matrice d’un polynôme annulateur scindé à racines simples
- Décomposer une permutation en cycles disjoints, puis calculer son ordre, sa signature et une grande puissance
- Discuter la diagonalisabilité d’une matrice 3×3 selon la valeur d’un paramètre réel
- Étudier un sous-groupe fini de matrices inversibles, son ordre et ses sous-groupes
Avant de commencer le devoir
Rédigez d’abord les questions de cours, car elles sont courtes et rapportent des points sûrs. Dans l’exercice 4, dressez un tableau des cas avant de conclure : valeurs propres distinctes, valeur propre double, racines complexes. De plus, pour chaque valeur propre multiple, calculez le rang de la matrice associée plutôt que de résoudre tout le système. Dans le problème, établissez enfin les relations entre générateurs, puis réutilisez-les pour réduire chaque produit sans recalculer de matrice.
Le sujet du contrôle : partiel d’algèbre du semestre 3
Exercice 1 – Deux démonstrations de cours (3 points)
- Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe de \(G\). Énoncer le théorème de Lagrange, puis le démontrer en utilisant les classes à gauche \(xH\).
- Soit \(f\) un endomorphisme d’un espace vectoriel réel \(E\), et soient \(x_1, \ldots, x_p\) des vecteurs propres de \(f\), avec \(f(x_k) = \lambda_kx_k\) pour chaque indice \(k\), les réels \(\lambda_k\) étant tous différents. Montrer par récurrence sur \(p\) que la famille \((x_1, \ldots, x_p)\) est libre.
Exercice 2 – Une matrice involutive (3 points)
On considère \(C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -3 \end{pmatrix}\) et l’endomorphisme \(c\) de \(\mathbb{R}^3\) qui lui est canoniquement associé.
- Calculer \(C^2\). En déduire que \(C\) est inversible et donner \(C^{-1}\).
- Justifier, sans calculer de polynôme caractéristique, que \(C\) est diagonalisable et que son spectre est inclus dans \(\{-1, 1\}\).
- Déterminer \(\ker(C – I_3)\) et \(\ker(C + I_3)\), puis interpréter géométriquement \(c\) à l’aide de la figure, qui représente une droite \(\mathcal{D}\) et un plan \(\mathcal{P}\) de \(\mathbb{R}^3\).
Exercice 3 – Une permutation de sept éléments (3 points)
La figure décrit une permutation \(\sigma\) de \(\{1, \ldots, 7\}\) : chaque flèche part d’un entier \(k\) placé en haut et pointe vers \(\sigma(k)\), placé en bas.
- Décomposer \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints.
- Déterminer l’ordre de \(\sigma\), puis écrire \(\sigma^{2026}\) comme produit de cycles disjoints.
- Calculer la signature \(\varepsilon(\sigma)\).
- On note \(\mathcal{A}_7\) le groupe alterné. Montrer que \(\langle \sigma \rangle \cap \mathcal{A}_7\) est un sous-groupe de \(\langle \sigma \rangle\) et préciser son ordre.
Exercice 4 – Réduction selon un paramètre (5 points)
Pour tout réel \(m\), on pose \(B_m = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
- Montrer que \(\chi_{B_m}(X) = (X – 2)\left((X – 1)^2 – m\right)\).
- On suppose \(m > 0\) et \(m \neq 1\). Donner le spectre de \(B_m\) et montrer que \(B_m\) est diagonalisable.
- On suppose \(m = 1\). Déterminer les valeurs propres de \(B_1\) avec leur multiplicité, puis montrer que \(B_1\) est diagonalisable en donnant une base de vecteurs propres.
- On suppose \(m = 0\). La matrice \(B_0\) est-elle diagonalisable ?
- On suppose enfin \(m < 0\). Discuter la diagonalisabilité de \(B_m\), vue d’abord comme matrice réelle, puis comme matrice complexe.
Exercice 5 – Problème : un groupe de six matrices (6 points)
Dans \(GL_2(\mathbb{R})\), on considère \(R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\) et \(S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). On note \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}\), représentés sur la figure ; on remarque que \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\). Enfin, on pose \(G = \{I_2, R, R^2, S, SR, SR^2\}\).
- Calculer \(R^2\) et \(R^3\), puis en déduire l’ordre de \(R\) dans \(GL_2(\mathbb{R})\).
- Vérifier que \(SRS = R^2\), puis en déduire que \(RS = SR^2\).
- À l’aide de ces relations et de \(S^2 = I_2\), montrer que \(G\) est un sous-groupe de \(GL_2(\mathbb{R})\). Ce groupe est-il commutatif ?
- Justifier que les six éléments de \(G\) sont distincts, puis donner l’ordre de chacun d’eux.
- Vérifier que chaque élément de \(G\) permute les trois vecteurs \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\). En déduire un morphisme injectif de \(G\) dans le groupe des permutations de \(\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}\), puis conclure que \(G\) est isomorphe à \(\mathfrak{S}_3\).
- À l’aide du théorème de Lagrange, déterminer tous les sous-groupes de \(G\).
Réviser partiel d’algèbre du semestre 3 avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours diagonaliser une matrice et applications puis polynômes annulateurs et trigonalisation puis groupes, théorème de lagrange et permutations ; entraînez-vous sur les exercices diagonaliser une matrice et applications et polynômes annulateurs et trigonalisation et groupes, théorème de lagrange et permutations avant de retenter le sujet.
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