Groupes et théorème de Lagrange en L2 de maths : cours et méthodes
Ce chapitre du premier semestre construit la notion de groupe à partir d’exemples familiers : entiers relatifs, racines de l’unité, matrices inversibles et symétries d’un rectangle. Nous dégageons ensuite les outils de base : sous-groupes, sous-groupe engendré, morphismes avec leur noyau et leur image.
Ce cours sur les groupes L2 étudie l’ordre d’un élément et les groupes cycliques, puis il décrit tous les sous-groupes de \(\mathbb{Z}\). Les classes modulo un sous-groupe mènent à une preuve commentée du théorème de Lagrange, dont nous tirons plusieurs conséquences. Enfin, nous découvrons le groupe symétrique et la décomposition d’une permutation en cycles disjoints.
Ces notions servent ensuite en arithmétique, en algèbre linéaire et en géométrie. Elles préparent aussi l’étude des anneaux et des groupes quotients des années suivantes.
Ce que vous saurez faire
- Vérifier qu’un ensemble muni d’une loi est un groupe, ou repérer l’axiome qui manque.
- Montrer qu’une partie est un sous-groupe avec un critère unique.
- Utiliser un morphisme de groupes, son noyau et son image.
- Calculer l’ordre d’un élément, en particulier dans un groupe cyclique.
- Appliquer le théorème de Lagrange pour obtenir des divisibilités.
- Décomposer une permutation en cycles disjoints et en déduire son ordre.
1. La notion de groupe à partir d’exemples
Avant toute définition, observons quelques situations familières. Dans \(\mathbb{Z}\), on additionne deux entiers, \(0\) ne change rien, et chaque entier possède un opposé. De même, dans \(\mathbb{C}^{*}\), on multiplie, \(1\) est neutre, et tout nombre non nul a un inverse. Enfin, les bijections d’un ensemble se composent, l’identité est neutre, et chaque bijection admet une réciproque.
Un exemple géométrique complète la liste. Un rectangle non carré possède exactement quatre isométries qui le conservent : l’identité, les deux symétries axiales \(h\) et \(v\), et le demi-tour \(r\) autour du centre.
Ces quatre transformations se composent sans sortir de l’ensemble. Par exemple, \(h \circ v = r\), et chacune vérifie \(t \circ t = \mathrm{id}\). Ainsi, les mêmes règles reviennent dans des contextes très différents. C’est pourquoi on les isole dans une définition abstraite.
Un groupe est un ensemble \(G\) muni d’une loi interne \((x,y) \mapsto xy\) qui vérifie trois axiomes :
- associativité : \((xy)z = x(yz)\) pour tous \(x, y, z\) ;
- existence d’un neutre \(e\) tel que \(ex = xe = x\) pour tout \(x\) ;
- existence, pour chaque \(x\), d’un symétrique \(x^{-1}\) tel que \(x x^{-1} = x^{-1} x = e\).
Le groupe est dit abélien (ou commutatif) si de plus \(xy = yx\) pour tous \(x, y\).
En notation additive, réservée aux groupes abéliens, on écrit \(x + y\), \(0\) et \(-x\). D’autre part, le neutre est unique : si \(e\) et \(e^{\prime}\) sont neutres, alors \(e = e e^{\prime} = e^{\prime}\). De même, le symétrique d’un élément est unique.
Dans un groupe, \((xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}\). De plus, chaque élément est simplifiable : \(xy = xz\) entraîne \(y = z\).
Par associativité, \((xy)(y^{-1}x^{-1}) = x(yy^{-1})x^{-1} = xx^{-1} = e\). Le calcul dans l’autre sens est identique. Ensuite, on multiplie \(xy = xz\) à gauche par \(x^{-1}\), ce qui donne \(y = z\).
Piège à éviter :
L’ordre des facteurs dans \((xy)^{-1}\) s’inverse. Pour s’en souvenir, on pense à des chaussettes et des chaussures : on retire en premier ce que l’on a mis en dernier. Dans un groupe non abélien, \(x^{-1}y^{-1}\) est en général faux.
Plusieurs ensembles familiers échouent. D’abord, \((\mathbb{N}, +)\) n’a pas d’opposés : \(3\) n’a pas de symétrique. Ensuite, la soustraction sur \(\mathbb{Z}\) n’est pas associative, car \((5 – 2) – 1 = 2\) alors que \(5 – (2 – 1) = 4\). Enfin, \((\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), \times)\) n’est pas un groupe, car la matrice nulle n’est pas inversible.
Sur \(G = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\), posons \(x * y = x + y + 2xy\). La clé est l’identité \(1 + 2(x * y) = (1 + 2x)(1 + 2y)\), qui se vérifie en développant.
D’abord, si \(x\) et \(y\) sont dans \(G\), le produit \((1 + 2x)(1 + 2y)\) est non nul, donc \(x * y \neq -\frac{1}{2}\) : la loi est interne. Ensuite, \(1 + 2\big((x * y) * z\big)\) et \(1 + 2\big(x * (y * z)\big)\) valent tous deux \((1 + 2x)(1 + 2y)(1 + 2z)\), d’où l’associativité. De plus, \(0\) est neutre. Enfin, \(y = -\frac{x}{1 + 2x}\) vérifie \((1 + 2x)(1 + 2y) = 1\), donc c’est le symétrique de \(x\). Par conséquent, \((G, *)\) est un groupe abélien.
2. Sous-groupes et sous-groupe engendré
Une partie \(H\) d’un groupe \(G\) en est un sous-groupe lorsqu’elle contient \(e\), qu’elle est stable par produit et qu’elle est stable par passage au symétrique. Muni de la loi restreinte, \(H\) est alors lui-même un groupe.
Pour qu’une partie \(H \subset G\) soit un sous-groupe, il faut et il suffit qu’elle soit non vide et que, dès que \(x\) et \(y\) lui appartiennent, l’élément \(xy^{-1}\) lui appartienne aussi.
Le sens direct est clair. Pour la réciproque, on choisit \(a \in H\). Alors \(e = aa^{-1}\) est dans \(H\). Ensuite, pour \(y \in H\), on obtient \(y^{-1} = ey^{-1} \in H\). Enfin, pour \(x, y \in H\), on écrit \(xy = x(y^{-1})^{-1}\), qui appartient à \(H\). Les trois conditions de la définition sont donc réunies.
- Repérer le groupe ambiant \(G\) dans lequel \(H\) est inclus, et vérifier cette inclusion.
- Montrer que \(e \in H\) : la partie est alors non vide.
- Prendre \(x, y\) quelconques dans \(H\), calculer \(xy^{-1}\) et vérifier qu’il satisfait la condition qui définit \(H\).
- Conclure : \(H\) est un groupe pour la loi induite, sans revérifier l’associativité.
Dans \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\), considérons \(T = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \mid a \neq 0,\ b \in \mathbb{R} \right\}\). D’abord, \(I_2 \in T\) avec \(a = 1\) et \(b = 0\). Ensuite, on calcule :
\[\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac & ad + bc \\ 0 & ac \end{pmatrix}.\]
De plus, l’inverse de la première matrice est \(\begin{pmatrix} a^{-1} & -b a^{-2} \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix}\), qui est encore dans \(T\). Par conséquent, \(T\) est un sous-groupe de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\). On remarque même que ce sous-groupe est abélien, car l’expression \(ad + bc\) est symétrique.
2.1 Intersection et sous-groupe engendré
Une intersection de sous-groupes est encore un sous-groupe : elle contient \(e\), et le critère se vérifie dans chacun d’eux. En revanche, une réunion de sous-groupes n’en est presque jamais un. Par exemple, \(4\mathbb{Z} \cup 6\mathbb{Z}\) contient \(4\) et \(6\), mais pas leur somme \(10\).
Soit \(A \subset G\). On note \(\langle A \rangle\) et l’on appelle sous-groupe engendré par \(A\) l’intersection de la famille des sous-groupes de \(G\) dont \(A\) est une partie. Pour l’inclusion, aucun sous-groupe contenant \(A\) n’est plus petit que lui.
Les éléments de \(\langle A \rangle\) sont exactement les produits \(a_1^{\varepsilon_1} \cdots a_k^{\varepsilon_k}\), où \(k \in \mathbb{N}\), chaque \(a_i\) est pris dans \(A\) et chaque \(\varepsilon_i\) vaut \(1\) ou \(-1\) ; pour \(k = 0\), on convient que ce produit vaut \(e\). Lorsque \(A = \{a\}\), on obtient \(\langle a \rangle = \{a^k \mid k \in \mathbb{Z}\}\).
En effet, ces produits forment un sous-groupe qui contient \(A\). Réciproquement, tout sous-groupe contenant \(A\) contient aussi ces produits. En notation additive, on obtient \(\langle a \rangle = \{ka \mid k \in \mathbb{Z}\}\).
2.2 Les sous-groupes de Z
Les sous-groupes de \((\mathbb{Z}, +)\) sont exactement les ensembles \(n\mathbb{Z}\), avec \(n \in \mathbb{N}\). De plus, l’entier \(n\) est unique.
Chaque \(n\mathbb{Z}\) est un sous-groupe, puisque \(nk – nl = n(k – l)\). Inversement, partons d’un sous-groupe \(H\) quelconque. Le cas \(H = \{0\} = 0\mathbb{Z}\) est immédiat. Dans le cas contraire, \(H\) possède un élément \(m \neq 0\), et \(|m|\) appartient à \(H\) puisque \(H\) est stable par opposé. L’ensemble \(H \cap \mathbb{N}^{*}\) est donc non vide, et il admet un minimum que nous notons \(n\).
D’abord, \(n\mathbb{Z} \subset H\), car \(H\) est stable par somme et par opposé. Ensuite, pour \(m \in H\), la division euclidienne donne \(m = qn + r\) avec \(0 \leqslant r < n\). Or \(r = m – qn\) appartient à \(H\). Par minimalité de \(n\), on a \(r = 0\), donc \(m \in n\mathbb{Z}\). Enfin, \(n\) est le plus petit élément positif non nul de \(n\mathbb{Z}\), ce qui assure l’unicité.
Ce théorème éclaire l’arithmétique. Par exemple, \(18\mathbb{Z} + 30\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\), donc de la forme \(d\mathbb{Z}\) : on vérifie que \(d = 6\), le PGCD de 18 et 30.
3. Morphismes de groupes
Soient \(G\) et \(G^{\prime}\) deux groupes. Une application \(f : G \to G^{\prime}\) est un morphisme si \(f(xy) = f(x)f(y)\) pour tous \(x, y \in G\). Un morphisme bijectif s’appelle un isomorphisme.
Par exemple, l’exponentielle envoie \((\mathbb{R}, +)\) sur \((\mathbb{R}_{+}^{*}, \times)\), car \(\mathrm{e}^{s + t} = \mathrm{e}^{s}\mathrm{e}^{t}\). De même, le déterminant est un morphisme de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}^{*}\), puisque \(\det(AB) = \det A \det B\).
Si \(f\) est un morphisme, alors \(f(e) = e^{\prime}\) et \(f(x^{-1}) = f(x)^{-1}\). De plus, \(f(x^k) = f(x)^k\) pour tout \(k \in \mathbb{Z}\).
On a \(f(e) = f(ee) = f(e)f(e)\). En simplifiant par \(f(e)\), on obtient \(f(e) = e^{\prime}\). Ensuite, \(f(x)f(x^{-1}) = f(xx^{-1}) = e^{\prime}\), ce qui identifie le symétrique. Enfin, la formule pour \(x^k\) s’obtient par récurrence sur \(k \geqslant 0\), puis par passage au symétrique.
3.1 Noyau et image
Le noyau du morphisme \(f\) est \(\mathrm{Ker}\, f = \{x \in G \mid f(x) = e^{\prime}\}\), et son image est \(\mathrm{Im}\, f = f(G)\). Ce sont des sous-groupes respectifs de \(G\) et de \(G^{\prime}\).
Un morphisme \(f\) est injectif si et seulement si \(\mathrm{Ker}\, f = \{e\}\).
Si \(f\) est injectif et \(f(x) = e^{\prime} = f(e)\), alors \(x = e\). Réciproquement, si le noyau est trivial et \(f(x) = f(y)\), on calcule \(f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = e^{\prime}\). Donc \(xy^{-1} = e\), c’est-à-dire \(x = y\).
Reprenons le groupe \((G, *)\) de la partie 1 et posons \(\varphi(x) = 1 + 2x\). L’identité \(1 + 2(x * y) = (1 + 2x)(1 + 2y)\) s’écrit exactement \(\varphi(x * y) = \varphi(x)\varphi(y)\). Ainsi, \(\varphi\) est un morphisme de \((G, *)\) vers \((\mathbb{R}^{*}, \times)\).
Ensuite, son noyau est \(\{x \mid 1 + 2x = 1\} = \{0\}\), donc \(\varphi\) est injectif. De plus, tout \(u \neq 0\) s’écrit \(\varphi\big(\frac{u – 1}{2}\big)\). Par conséquent, \(\varphi\) est un isomorphisme : le groupe \((G, *)\) n’est qu’une copie déguisée de \((\mathbb{R}^{*}, \times)\).
Remarque :
Cet exemple montre l’intérêt des isomorphismes. Au lieu de vérifier les axiomes à la main, on aurait pu transporter la structure de \(\mathbb{R}^{*}\) par la bijection \(\varphi\). Cette idée revient souvent dans les exercices.
4. Ordre d’un élément et groupes cycliques
Un élément \(a\) de \(G\) est d’ordre fini s’il existe \(k \geqslant 1\) tel que \(a^k = e\). Le plus petit de ces entiers est l’ordre de \(a\), noté \(\mathrm{ord}(a)\).
Soit \(a\) d’ordre \(n\). Alors, pour tout \(k \in \mathbb{Z}\), on a \(a^k = e\) si et seulement si \(n\) divise \(k\). De plus, \(\langle a \rangle = \{e, a, \dots, a^{n-1}\}\) compte exactement \(n\) éléments.
On écrit \(k = qn + r\) avec \(0 \leqslant r < n\). Alors \(a^k = (a^n)^q a^r = a^r\). Par minimalité de \(n\), \(a^r = e\) équivaut à \(r = 0\). Ensuite, le même calcul montre que toute puissance de \(a\) est l’une des puissances \(a^0, \dots, a^{n-1}\). Enfin, ces dernières sont distinctes : si \(a^i = a^j\) avec \(0 \leqslant i < j < n\), alors \(a^{j – i} = e\), ce qui contredit la minimalité de \(n\).
L’ordre d’un élément est donc le cardinal du sous-groupe qu’il engendre. Par exemple, dans \(\mathbb{U}_{10}\) avec \(\omega = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/10}\), l’élément \(\omega^4\) est d’ordre 5. En effet, \((\omega^4)^5 = \omega^{20} = 1\), alors que \(4k\) n’est pas multiple de 10 pour \(1 \leqslant k \leqslant 4\).
4.1 Groupes monogènes et cycliques
On qualifie \(G\) de monogène lorsqu’il existe \(a \in G\) tel que \(G = \langle a \rangle\) ; un tel \(a\) s’appelle un générateur. Si de plus \(G\) est fini, on dit qu’il est cyclique.
Le groupe \(\mathbb{Z}\) est monogène infini, engendré par \(1\) ou par \(-1\). Pour \(n \geqslant 1\), le groupe \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) des classes de congruence modulo \(n\), muni de l’addition, est cyclique d’ordre \(n\). De même, \(\mathbb{U}_n\) est cyclique, engendré par \(\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}\).
À isomorphisme près, il n’existe qu’un groupe monogène infini, à savoir \(\mathbb{Z}\). De même, pour chaque \(n \geqslant 1\), un groupe cyclique de cardinal \(n\) est une copie de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).
Soit \(G = \langle a \rangle\). L’application \(k \mapsto a^k\) est un morphisme surjectif de \(\mathbb{Z}\) sur \(G\). Si \(a\) est d’ordre infini, son noyau est \(\{0\}\), donc c’est un isomorphisme. Sinon, \(a\) est d’ordre \(n\), et \(a^k = a^l\) équivaut à \(k \equiv l \pmod n\). L’application \(\bar{k} \mapsto a^k\) est alors bien définie sur \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), et c’est un isomorphisme.
Dans un groupe cyclique \(\langle a \rangle\) d’ordre \(n\), l’élément \(a^k\) est d’ordre \(\frac{n}{\mathrm{pgcd}(n,k)}\). En particulier, \(a^k\) engendre le groupe si et seulement si \(\mathrm{pgcd}(n,k) = 1\).
Posons \(d = \mathrm{pgcd}(n,k)\), puis \(n = dn_1\) et \(k = dk_1\) avec \(n_1\) et \(k_1\) premiers entre eux. D’après la proposition précédente, \((a^k)^m = e\) équivaut à \(n \mid km\), donc à \(n_1 \mid k_1 m\). Par le lemme de Gauss, cela équivaut à \(n_1 \mid m\). Ainsi, le plus petit \(m \geqslant 1\) convenable est \(n_1 = \frac{n}{d}\).
- Identifier un générateur \(a\) et l’ordre \(n\) du groupe cyclique.
- Écrire l’élément étudié sous la forme \(a^k\), ou \(k\) en notation additive.
- Calculer \(d = \mathrm{pgcd}(n,k)\) : l’ordre cherché vaut \(\frac{n}{d}\).
Dans \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\), la classe de 8 est d’ordre \(\frac{20}{4} = 5\), car \(\mathrm{pgcd}(20, 8) = 4\). Celle de 6 est d’ordre \(\frac{20}{2} = 10\). Enfin, la classe de 7 est d’ordre 20 : elle engendre tout le groupe. Les générateurs sont les classes de 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17 et 19, soit huit éléments.
5. Classes modulo un sous-groupe et théorème de Lagrange
Dans cette partie, \(H\) est un sous-groupe de \(G\). Nous découpons \(G\) en morceaux qui ont tous la taille de \(H\). Le théorème de Lagrange en découle presque immédiatement.
Fixons \(x \in G\). En multipliant \(x\) à droite par tous les éléments de \(H\), on obtient l’ensemble \(xH = \{xh \mid h \in H\}\), appelé classe à gauche de \(x\) suivant \(H\). En multipliant à gauche, on obtient de façon symétrique \(Hx\).
La relation \(x \sim y \iff x^{-1}y \in H\) est une relation d’équivalence sur \(G\), et la classe d’équivalence de \(x\) est \(xH\). De plus, l’application \(h \mapsto xh\) est une bijection de \(H\) sur \(xH\).
D’abord, \(x^{-1}x = e \in H\) : la relation est réflexive. Ensuite, si \(x^{-1}y \in H\), son symétrique \(y^{-1}x\) aussi : elle est symétrique. De plus, \(x^{-1}z = (x^{-1}y)(y^{-1}z)\) donne la transitivité. Enfin, \(x^{-1}y = h\) équivaut à \(y = xh\), d’où la description de la classe. La bijection découle de la simplification : \(xh = xh^{\prime}\) entraîne \(h = h^{\prime}\).
Dans \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\), prenons \(H = \langle \bar{4} \rangle = \{\bar{0}, \bar{4}, \bar{8}\}\). En notation additive, les classes sont \(H\), \(\bar{1} + H = \{\bar{1}, \bar{5}, \bar{9}\}\), \(\bar{2} + H = \{\bar{2}, \bar{6}, \bar{10}\}\) et \(\bar{3} + H = \{\bar{3}, \bar{7}, \bar{11}\}\). Ainsi, les douze éléments se répartissent en quatre classes de trois éléments, et \(12 = 4 \times 3\).
La figure représente ces quatre classes : chacune forme un triangle équilatéral obtenu en tournant celui de \(H\).
5.1 Le théorème et sa preuve
Théorème de Lagrange. Dans un groupe \(G\) de cardinal fini, le cardinal de n’importe quel sous-groupe \(H\) est un diviseur de \(|G|\). Le quotient \(\frac{|G|}{|H|}\) est le nombre de classes à gauche, appelé indice de \(H\) dans \(G\).
Premier temps : une partition. Les classes à gauche sont les classes d’une relation d’équivalence. Elles forment donc une partition de \(G\) : deux classes sont disjointes ou égales, et leur réunion est \(G\).
Deuxième temps : des morceaux de même taille. D’après le lemme, chaque classe \(xH\) est en bijection avec \(H\). Toutes les classes ont donc \(|H|\) éléments.
Troisième temps : compter. Notons \(r\) le nombre de classes. En additionnant les cardinaux des morceaux, on obtient \(|G| = r\,|H|\). Par conséquent, \(|H|\) divise \(|G|\).
Toute la force de la preuve tient dans le deuxième temps : la translation \(h \mapsto xh\) déplace \(H\) sans le déformer.
Soit \(G\) un groupe fini d’ordre \(N\). Alors :
- l’ordre de tout élément divise \(N\), et donc \(x^N = e\) pour tout \(x \in G\) ;
- si \(N\) est un nombre premier, \(G\) est cyclique, engendré par n’importe quel élément différent de \(e\).
Pour le premier point, on applique Lagrange au sous-groupe \(\langle x \rangle\), dont le cardinal est \(\mathrm{ord}(x)\). Ensuite, en écrivant \(N = \mathrm{ord}(x)\, m\), on obtient \(x^N = (x^{\mathrm{ord}(x)})^m = e\). Pour le second point, si \(x \neq e\), l’ordre de \(x\) divise \(N\) premier et vaut au moins 2. Il est donc égal à \(N\), et \(\langle x \rangle = G\).
Piège à éviter :
Le théorème de Lagrange donne une condition nécessaire, jamais une existence. Par exemple, il interdit à un groupe d’ordre 15 d’avoir un sous-groupe d’ordre 4. Cependant, il ne garantit pas qu’un groupe d’ordre 12 possède un sous-groupe d’ordre 6.
Remarque :
Hors programme de ce chapitre, on établit que \(\mathfrak{A}_4\), formé des 12 permutations paires de quatre objets, ne contient aucun sous-groupe de cardinal 6. Ainsi, la réciproque de Lagrange tombe en défaut.
6. Le groupe symétrique et les cycles
Pour \(n \geqslant 1\), les bijections de \(\{1, \dots, n\}\) dans lui-même forment, pour la composition, le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_n\). Ses éléments s’appellent des permutations, et il compte \(n!\) éléments.
On compose les permutations comme des applications, donc de droite à gauche. Par exemple, dans \(\mathfrak{S}_3\), on obtient \((1\ 2) \circ (2\ 3) = (1\ 2\ 3)\), tandis que \((2\ 3) \circ (1\ 2) = (1\ 3\ 2)\). Ainsi, \(\mathfrak{S}_n\) n’est pas abélien dès que \(n \geqslant 3\).
On se donne \(k \geqslant 2\) entiers deux à deux distincts \(a_1, \dots, a_k\) pris entre 1 et \(n\). On note \((a_1\ a_2\ \dots\ a_k)\) et l’on appelle cycle la permutation \(c\) telle que \(c(a_i) = a_{i+1}\) pour \(i < k\), \(c(a_k) = a_1\), et \(c(x) = x\) pour tout autre \(x\). L’entier \(k\) est la longueur du cycle, et \(\{a_1, \dots, a_k\}\) son support. Un cycle de longueur 2 s’appelle une transposition.
Un cycle de longueur \(k\) est d’ordre \(k\) : il faut \(k\) applications pour ramener chaque point de son support à sa place. De plus, deux cycles à supports disjoints commutent, car ils agissent sur des points différents.
Toute permutation différente de l’identité s’écrit comme un produit de cycles à supports deux à deux disjoints. Cette écriture est unique, à l’ordre des facteurs près.
Soit \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\). Pour un point \(x\), la suite \(x, \sigma(x), \sigma^2(x), \dots\) prend un nombre fini de valeurs. Elle revient donc à \(x\) après \(\ell\) étapes, où \(\ell\) est la taille de l’orbite de \(x\). Sur cette orbite, \(\sigma\) agit comme le cycle \(\big(x\ \sigma(x)\ \dots\ \sigma^{\ell – 1}(x)\big)\).
Ensuite, les orbites forment une partition de \(\{1, \dots, n\}\), car ce sont les classes de la relation « \(y\) est un \(\sigma^k(x)\) ». Le produit des cycles associés aux orbites de taille au moins 2 coïncide avec \(\sigma\) en chaque point. Enfin, tout cycle d’une décomposition est forcément le cycle d’une orbite, d’où l’unicité.
- Partir du plus petit entier non encore utilisé et suivre ses images successives jusqu’au retour : on obtient un cycle.
- Recommencer avec le plus petit entier qui n’apparaît dans aucun cycle déjà écrit.
- Omettre les points fixes, puis contrôler que chaque entier apparaît au plus une fois.
- L’ordre de la permutation est le PPCM des longueurs des cycles obtenus.
Dans \(\mathfrak{S}_9\), considérons la permutation \(\sigma\) définie par
\[\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 4 & 9 & 3 & 7 & 2 & 8 & 1 & 6 & 5 \end{pmatrix}.\]
D’abord, \(1 \mapsto 4 \mapsto 7 \mapsto 1\) donne le cycle \((1\ 4\ 7)\). Ensuite, \(2 \mapsto 9 \mapsto 5 \mapsto 2\) donne \((2\ 9\ 5)\). Le point 3 est fixe, et enfin \(6 \mapsto 8 \mapsto 6\). Ainsi, \(\sigma = (1\ 4\ 7)(2\ 9\ 5)(6\ 8)\), et son ordre vaut \(\mathrm{ppcm}(3, 3, 2) = 6\).
Le schéma ci-dessous traduit cette décomposition : chaque flèche relie un point à son image.
Remarque :
Un cycle se décompose en transpositions : \((a_1\ a_2\ \dots\ a_k) = (a_1\ a_2)(a_2\ a_3) \cdots (a_{k-1}\ a_k)\). Par conséquent, les transpositions engendrent \(\mathfrak{S}_n\). Cette écriture n’est cependant pas unique, contrairement à la décomposition en cycles disjoints.
Les erreurs fréquentes
- Oublier de vérifier qu’une loi est interne avant d’examiner les axiomes de groupe.
- Écrire \((xy)^{-1} = x^{-1}y^{-1}\) dans un groupe non abélien.
- Croire que la réunion de deux sous-groupes est un sous-groupe.
- Utiliser le théorème de Lagrange pour affirmer l’existence d’un sous-groupe d’ordre donné.
- Composer des permutations de gauche à droite, ou additionner les longueurs des cycles au lieu d’en prendre le PPCM.
- Appliquer la formule de l’ordre d’un produit \(ab\) sans vérifier que \(a\) et \(b\) commutent.
Fiche mémo
- Groupe : loi associative, neutre, symétriques ; neutre et symétriques sont uniques.
- Sous-groupe : \(H \neq \varnothing\) et \(xy^{-1} \in H\) pour tous \(x, y \in H\).
- \(\langle a \rangle = \{a^k \mid k \in \mathbb{Z}\}\), et les sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) sont les \(n\mathbb{Z}\).
- Morphisme : \(f(xy) = f(x)f(y)\) ; il est injectif si et seulement si son noyau est \(\{e\}\).
- Si \(\mathrm{ord}(a) = n\), alors \(a^k = e \iff n \mid k\), et \(|\langle a \rangle| = n\).
- Cyclique d’ordre \(n\) : isomorphe à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ; \(\mathrm{ord}(a^k) = \frac{n}{\mathrm{pgcd}(n,k)}\).
- Lagrange : \(|H|\) divise \(|G|\) ; l’ordre d’un élément divise \(|G|\) ; un groupe d’ordre premier est cyclique.
- Toute permutation est un produit de cycles disjoints, unique à l’ordre près ; son ordre est le PPCM des longueurs.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre l'ordre d'un groupe et l'ordre d'un élément ?
L’ordre d’un groupe fini est son nombre d’éléments. L’ordre d’un élément est le plus petit entier n non nul tel que la puissance n-ième de cet élément soit le neutre. Les deux notions sont reliées : l’ordre d’un élément est le cardinal du sous-groupe qu’il engendre, et il divise donc l’ordre du groupe.
La réciproque du théorème de Lagrange est-elle vraie ?
Non en général. Un diviseur de l’ordre du groupe ne correspond pas toujours à un sous-groupe. Ainsi, parmi les permutations paires de quatre objets, qui forment un groupe de cardinal 12, on ne trouve aucun sous-groupe de cardinal 6. En revanche, dans un groupe cyclique d’ordre n, il existe exactement un sous-groupe pour chaque diviseur de n.
Comment calculer rapidement l'ordre d'une permutation ?
On décompose d’abord la permutation en cycles à supports disjoints. Son ordre est alors le plus petit commun multiple des longueurs de ces cycles. Par exemple, une permutation formée d’un 3-cycle et d’un 4-cycle disjoints est d’ordre 12.
Pourquoi suffit-il de vérifier que x fois l'inverse de y reste dans la partie ?
Cette condition unique contient à la fois la présence du neutre, la stabilité par inverse et la stabilité par produit. Il faut seulement ne pas oublier de vérifier que la partie est non vide, en général en montrant qu’elle contient le neutre.
Pour aller plus loin
- S’exercer : exercices corrigés de L2 de maths sur groupes et théorème de Lagrange
- Bases utiles : Anneaux, idéaux, Z/nZ et chiffrement RSA
- Chapitre d’avant : Anneaux, idéaux, Z/nZ et chiffrement RSA
- Chapitre d’après : Normes de R^n, ouverts, fermés et continuité
- Vérifier ses acquis : QCM de L2 de maths sur groupes et théorème de Lagrange
- Contrôle corrigé en temps limité : Ordre, Lagrange et permutations : contrôle de maths en L2
- Un autre sujet noté sur 20 : Partiel d'algèbre du semestre 3 : contrôle de maths en L2
- Tous les chapitres : le sommaire de la L2 de maths
- Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3
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