Quiz ordres, sous-groupes et permutations en L2

Quiz ordres, sous-groupes et permutations en L2 de maths

Dix questions éclair pour vérifier tes réflexes sur l'ordre d'un élément, le théorème de Lagrange, les groupes cycliques et les permutations.

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz rapide fait travailler les réflexes de théorie des groupes de deuxième année : calculer l'ordre d'un élément dans un groupe cyclique, compter ses générateurs, décrire un sous-groupe de Z engendré par deux entiers, reconnaître un morphisme injectif par son noyau. Il te fait appliquer le théorème de Lagrange pour éliminer les ordres impossibles et manipuler le groupe symétrique : cardinal, ordre d'un produit de cycles disjoints, signature d'un cycle.

Lance-le avant un TD d'algèbre ou une colle, en répondant de tête. Chaque erreur se corrige en revenant à une définition : ordre, sous-groupe engendré, noyau. Si l'ordre d'une permutation te résiste, écris ses cycles au brouillon et prends le PPCM des longueurs. Refais-le avant le partiel : ces petits calculs servent dans presque tous les exercices sur les groupes finis.

Aller plus loin sur ordres, sous-groupes et permutations

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Questions fréquentes : ordres, sous-groupes et permutations en L2

Comment calculer l'ordre de k dans Z/nZ ?

C'est n divisé par le PGCD de k et n. Par exemple 4 est d'ordre 5 dans Z/10Z, car le PGCD de 4 et 10 vaut 2.

Le théorème de Lagrange a-t-il une réciproque ?

Non en général : un diviseur de l'ordre du groupe n'est pas toujours l'ordre d'un sous-groupe. Le groupe alterné A4, d'ordre 12, n'a aucun sous-groupe d'ordre 6.

Pourquoi décompose-t-on une permutation en cycles disjoints ?

Les cycles disjoints commutent, ce qui donne directement l'ordre de la permutation (PPCM des longueurs) et sa signature (produit des signatures des cycles).

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Ordre de la classe de 6 dans \(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\) ?

Lequel de ces entiers peut être l'ordre d'un sous-groupe d'un groupe d'ordre 35 ?

Un groupe d'ordre 13 est forcément :

Combien d'éléments engendrent \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) ?

Sous-groupe de \(\mathbb{Z}\) engendré par 12 et 18 ?

Ordre de la permutation \((1\ 3\ 5)(2\ 4)\) ?

Signature d'un cycle de longueur 4 ?

Un morphisme de groupes dont le noyau est réduit au neutre est :

Cardinal du groupe symétrique \(S_5\) ?

Image du morphisme \(x \mapsto e^{ix}\) de \((\mathbb{R}, +)\) dans \((\mathbb{C}^*, \times)\) ?

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

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