Quiz topologie et limites en dimension finie en L2

Quiz topologie et limites en dimension finie en L2 de maths

Dix questions rapides pour tester tes réflexes de topologie : calcul de normes, ouverts et fermés, adhérence, compacts et limites en deux variables.

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz express travaille les automatismes de topologie de deuxième année de licence : calculer les normes 1, 2 et infinie d'un vecteur, comparer ces normes avec la bonne constante, reconnaître un ouvert ou un fermé, identifier un compact, et surtout décider vite si une fonction de deux variables admet une limite en (0, 0). Les réponses s'affichent aussitôt pour que tu voies où tu hésites.

Fais-le avant un TD ou une interrogation d'analyse, et refais-le la veille du partiel. Les distracteurs viennent d'erreurs fréquentes : croire qu'une partie qui n'est pas ouverte est fermée, oublier qu'un fermé non borné n'est pas compact, conclure à une limite après avoir testé seulement les droites passant par l'origine. Si une question te bloque, reprends la définition, teste un chemin parabolique sur ton brouillon, puis relance le quiz. Le théorème des bornes atteintes doit devenir un réflexe.

Aller plus loin sur topologie et limites en dimension finie

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Questions fréquentes : topologie et limites en dimension finie en L2

Tester toutes les droites passant par l'origine suffit-il pour prouver une limite ?

Non. Une fonction peut avoir la même limite sur toutes les droites et une autre sur une parabole. Pour prouver une limite, il faut une majoration qui tend vers 0 indépendamment du chemin.

Comment montrer rapidement qu'une partie est ouverte ?

Écris-la comme image réciproque d'un ouvert par une fonction continue, par exemple l'ensemble des points où une fonction continue est strictement inférieure à une constante.

Pourquoi le choix de la norme n'a-t-il pas d'importance dans R^n ?

En dimension finie toutes les normes sont équivalentes, donc les notions de suite convergente, d'ouvert, de partie bornée et de continuité ne dépendent pas de la norme choisie.

Quiz topologie et limites en dimension finie en L2 de maths

Norme 1 du vecteur \((3, -4, 1)\) ?

Plus petite constante \(c\) telle que \(\|x\|_1 \leq c\,\|x\|_\infty\) dans \(\mathbb{R}^4\) ?

Intérieur de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\) ?

Frontière du disque ouvert unité de \(\mathbb{R}^2\) ?

Laquelle de ces parties de \(\mathbb{R}^2\) est compacte ?

Limite en \((0, 0)\) de \(\frac{x^3 y}{x^4 + y^2}\) ?

Limite en \((0, 0)\) de \(\frac{x^2 y}{x^4 + y^2}\) ?

La partie \(\{(x, y) : 0 < x \leq 1\}\) de \(\mathbb{R}^2\) est :

Une fonction continue de \([0, 1]^2\) dans \(\mathbb{R}\) est forcément :

En dimension finie, deux normes quelconques sont toujours :

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Questions fréquentes : topologie et limites en dimension finie en L2