Quiz calcul différentiel à plusieurs variables en L2

Pour une fonction de deux variables réelles, quelle implication est toujours vraie ?

A.différentiable implique classe C1B.partielles existantes implique continueC.continue implique différentiableD.classe C1 implique différentiable

f est C1 sur le plan et \(g(t)=f(t^2,3t)\). Que vaut la dérivée de g en t ?

A.\(3\,\partial_1 f(t^2,3t)+2t\,\partial_2 f(t^2,3t)\)B.\(\partial_1 f(t^2,3t)+\partial_2 f(t^2,3t)\)C.\(2t\,\partial_1 f(t,t)+3\,\partial_2 f(t,t)\)D.\(2t\,\partial_1 f(t^2,3t)+3\,\partial_2 f(t^2,3t)\)

\(h(x,y)=\frac{x^3y}{x^6+y^2}\) prolongée par 0 en l'origine. En ce point, h :

A.a des partielles nulles mais est discontinueB.est différentiable de différentielle nulleC.n'a aucune dérivée partielleD.est de classe C1

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz express travaille les réflexes du calcul différentiel en deuxième année de licence : calculer une dérivée partielle en un point, écrire un gradient, lire la taille d'une matrice jacobienne, trouver une dérivée directionnelle par produit scalaire et appliquer la règle de la chaîne à une fonction d'une variable composée avec une fonction de deux variables. Deux questions vérifient la hiérarchie entre dérivées partielles, continuité, classe C1 et différentiabilité.

Chaque calcul se fait de tête ou en une ligne de brouillon. Lance le quiz avant un TD d'analyse à plusieurs variables, puis la veille du partiel : une erreur sur une implication montre qu'un contre-exemple classique t'échappe encore, une erreur de calcul révèle une variable mal figée. Reprends alors l'exemple correspondant dans ton cours et refais le quiz jusqu'au sans-faute.

Aller plus loin sur calcul différentiel à plusieurs variables

Une erreur ? Reprends le cours de L2 de maths, les exercices corrigés ou le QCM détaillé sur Maths PDF, puis retente le quiz. Tous les chapitres de l’année sont réunis sur la page L2 de maths.

Questions fréquentes : calcul différentiel à plusieurs variables en L2

L'existence des dérivées partielles suffit-elle pour la différentiabilité ?

Non, ni même pour la continuité. Il faut un argument de plus : par exemple la continuité des dérivées partielles sur un voisinage, qui donne la classe C1 et donc la différentiabilité.

Comment calculer vite une dérivée directionnelle ?

Si f est différentiable au point a, la dérivée selon le vecteur v est le produit scalaire du gradient de f en a avec v. Il suffit donc de calculer le gradient une seule fois.

Quelle est la taille de la jacobienne d'une application de R^n dans R^p ?

Elle a p lignes, une par composante de l'arrivée, et n colonnes, une par variable de départ. Cet ordre permet d'écrire la règle de la chaîne comme un produit de matrices.

Quiz calcul différentiel à plusieurs variables en L2 de maths

Pour \(f(x,y)=x^3y+e^{2y}\), que vaut \(\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)\) ?

Gradient de \(g(x,y)=x^2y-3y\) au point \((2,1)\) ?

Pour une fonction de deux variables réelles, quelle implication est toujours vraie ?

Une application de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^2\) a une jacobienne de taille :

Déterminant jacobien de \(F(u,v)=(u+v,\,uv)\) ?

\(f(x,y)=x^2+3y\). Dérivée en \((1,1)\) selon le vecteur \((1,2)\) ?