Quiz points critiques et leur nature en L2

Quiz points critiques et leur nature en L2 de maths

Dix questions rapides pour localiser un point critique, lire la hessienne en un coup d'œil et savoir quand elle ne permet pas de conclure.

Ce que ce quiz de L2 fait réviser

Ce quiz express entraîne tes réflexes sur les extrema des fonctions de deux variables : annuler le gradient pour trouver les points critiques, calculer un déterminant de matrice hessienne, conclure avec le signe des valeurs propres ou les notations de Monge, et écrire le développement de Taylor-Young à l'ordre 2 avec le bon facteur. Il insiste aussi sur les pièges : cas douteux, hypothèse du théorème de Schwarz et maximum atteint sur le bord d'un compact.

Utilise-le avant une colle ou au début d'un TD : chaque question demande moins d'une minute et la bonne réponse s'affiche aussitôt. Une erreur répétée sur le facteur un demi ou sur le signe de la hessienne mérite une relecture du cours. Refais ensuite le quiz à froid quelques jours plus tard, et vise au moins 8 sur 10 avant ton partiel.

Aller plus loin sur points critiques et leur nature

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Questions fréquentes : points critiques et leur nature en L2

Un point critique est-il toujours un extremum ?

Non. Le gradient s'annule aussi en un point col, où la fonction monte dans une direction et descend dans une autre. Il faut étudier la hessienne ou le signe de la différence.

Que faire quand la hessienne est dégénérée ?

Elle ne permet pas de conclure. On étudie alors directement le signe de \(f(a+h)-f(a)\), par exemple le long de droites ou de courbes bien choisies.

Pourquoi chercher aussi sur le bord pour un extremum global ?

Sur un compact, la fonction continue atteint ses bornes, mais pas forcément en un point intérieur. Le bord n'est pas un ouvert, donc le gradient n'y est pas forcément nul.

Quiz points critiques et leur nature en L2 de maths

Point critique de \(f(x,y)=x^2+y^2-4x+6y\) ?

Déterminant de la hessienne de \(x^3+xy^2\) au point \((1,1)\) ?

En un point critique, \(rt-s^2>0\) et \(r<0\). Nature du point ?

En un point critique, la hessienne a pour valeurs propres \(3\) et \(-2\). Nature ?

Pour \(x^4+y^4\) en \((0,0)\), la hessienne permet-elle de conclure ?

Quelle hypothèse du théorème de Schwarz garantit l'égalité des dérivées croisées ?

Un extremum local d'une fonction différentiable sur un ouvert est forcément :

Sur un disque fermé, le maximum d'une fonction \(C^1\) est atteint :

En \((0,0)\), \(f\) est critique, \(f(0,0)=1\) et la hessienne est \(\mathrm{diag}(2,6)\). Ordre 2 de \(f(h,k)\) ?

Points critiques de \(x^3-3x+y^2\) et leur nature ?

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