Normes et continuité dans R^n en L2 de maths : cours et méthodes

On appelle norme sur \(\mathbb{R}^n\) toute fonction \(N : \mathbb{R}^n \to [0,+\infty[\) soumise à trois règles. D’abord la séparation : \(N(x)=0\) entraîne \(x=0\). Ensuite l’homogénéité : \(N(\lambda x)=|\lambda|\,N(x)\) pour tout réel \(\lambda\). Enfin l’inégalité triangulaire : \(N(x+y)\leqslant N(x)+N(y)\).

\[\|x\|_1=|x_1|+\dots+|x_n|,\qquad \|x\|_2=\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2},\qquad \|x\|_\infty=\max\big(|x_1|,\dots,|x_n|\big).\]

La norme 2 est la norme euclidienne. La norme infinie retient seulement la plus grande coordonnée en valeur absolue.

Prenons \(w=(1,-2,2,4)\) dans \(\mathbb{R}^4\). D’abord, \(\|w\|_1=1+2+2+4=9\). Ensuite, \(\|w\|_2=\sqrt{1+4+4+16}=5\). Enfin, \(\|w\|_\infty=4\). Nous constatons que \(\|w\|_\infty\leqslant\|w\|_2\leqslant\|w\|_1\). Ce classement n’est pas un hasard : il vaut pour tout vecteur, comme nous le verrons dans la partie 2.

Soit \(N\) une norme, \(a\in\mathbb{R}^n\) et \(r>0\). On note \(B(a,r)\) l’ensemble des \(x\) tels que \(N(x-a)<r\) : c’est la boule ouverte centrée en \(a\), de rayon \(r\). En remplaçant l’inégalité stricte par \(N(x-a)\leqslant r\), on obtient la boule fermée \(B_f(a,r)\). Avec l’égalité \(N(x-a)=r\), on décrit la sphère \(S(a,r)\).

On dit que \(A\subset\mathbb{R}^n\) est bornée lorsque les normes de ses éléments restent sous un même plafond \(M\). Cela revient à placer \(A\) dans une boule de centre 0.

Montrons que \(E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2+xy+y^2\leqslant 3\}\) est bornée. L’inégalité \(|xy|\leqslant \frac{1}{2}(x^2+y^2)\) donne \(x^2+xy+y^2\geqslant \frac{1}{2}(x^2+y^2)\). Par conséquent, tout point de \(E\) vérifie \(x^2+y^2\leqslant 6\). Ainsi, \(E\) est contenue dans la boule euclidienne fermée de rayon \(\sqrt{6}\).

Une suite \((u_k)\) de \(\mathbb{R}^n\) converge vers \(\ell\) pour la norme \(N\) lorsque \(N(u_k-\ell)\to 0\) quand \(k\to+\infty\). La limite est alors unique, grâce à l’inégalité triangulaire.

Pour la norme infinie, \(u_k\to\ell\) équivaut à la convergence de chaque suite coordonnée \((u_{k,i})_k\) vers \(\ell_i\).

Pour chaque indice \(i\), on a \(|u_{k,i}-\ell_i|\leqslant\|u_k-\ell\|_\infty\). Donc la convergence pour la norme infinie entraîne celle de chaque coordonnée. Réciproquement, le maximum de \(n\) suites qui tendent vers 0 tend lui aussi vers 0. En effet, il est majoré par leur somme.

Étudions \(u_k=\big(k(e^{1/k}-1),\ (-1)^k/\sqrt{k},\ \arctan k\big)\). La première coordonnée est un taux d’accroissement de l’exponentielle en 0, donc elle tend vers 1. Ensuite, la deuxième est bornée en valeur absolue par \(1/\sqrt{k}\), donc elle tend vers 0. Enfin, la troisième tend vers \(\pi/2\). Par conséquent, \(u_k\to(1,0,\pi/2)\).

Deux normes \(N\) et \(N^{\prime}\) sont équivalentes lorsqu’on peut trouver des constantes \(\alpha>0\) et \(\beta>0\) avec \(\alpha N\leqslant N^{\prime}\leqslant\beta N\) sur tout \(\mathbb{R}^n\).

Pour tout \(x\in\mathbb{R}^n\) : \[\|x\|_\infty\leqslant\|x\|_2\leqslant\|x\|_1\leqslant\sqrt{n}\,\|x\|_2\leqslant n\,\|x\|_\infty.\]

Soit \(j\) un indice où \(|x_j|\) est maximal. Alors \(\|x\|_\infty^2=x_j^2\leqslant\sum x_i^2\), d’où la première inégalité. Ensuite, \(\|x\|_1^2\) contient tous les carrés \(x_i^2\) et des doubles produits positifs, donc \(\|x\|_2\leqslant\|x\|_1\). De plus, Cauchy-Schwarz appliqué aux vecteurs \((|x_i|)\) et \((1,\dots,1)\) donne \(\|x\|_1\leqslant\sqrt{n}\,\|x\|_2\). Enfin, chaque \(x_i^2\) est au plus \(\|x\|_\infty^2\), donc \(\|x\|_2\leqslant\sqrt{n}\,\|x\|_\infty\).

Deux normes quelconques sur \(\mathbb{R}^n\) sont toujours équivalentes.

On dit que \(U\subset\mathbb{R}^n\) est ouvert lorsque chaque point \(a\) de \(U\) est le centre d’une boule \(B(a,r)\), de rayon \(r>0\), entièrement logée dans \(U\). On dit que \(F\) est fermé lorsque \(\mathbb{R}^n\setminus F\) est ouvert.

Une boule ouverte est un ouvert, et une boule fermée est un fermé.

Soit \(b\in B(a,r)\) et \(\rho=r-N(b-a)>0\). Pour \(x\in B(b,\rho)\), l’inégalité triangulaire donne \(N(x-a)\leqslant N(x-b)+N(b-a)<\rho+N(b-a)=r\). Ainsi, \(B(b,\rho)\subset B(a,r)\). De même, si \(N(b-a)>r\), la boule de centre \(b\) et de rayon \(N(b-a)-r\) évite \(B_f(a,r)\). Le complémentaire de la boule fermée est donc ouvert.

Réunir autant d’ouverts qu’on veut donne un ouvert, et en croiser un nombre fini aussi. Côté fermés, on peut croiser une famille quelconque, ou réunir une famille finie, sans quitter les fermés.

Caractérisation séquentielle : \(F\) est fermé exactement quand il retient les limites de ses suites. Autrement dit, si \(u_k\in F\) pour tout \(k\) et \(u_k\to\ell\), alors \(\ell\in F\).

Soit \(A\subset\mathbb{R}^n\). L’intérieur \(\mathring{A}\) réunit les points \(a\) autour desquels une boule \(B(a,r)\) reste dans \(A\) ; c’est aussi le plus gros ouvert inclus dans \(A\). L’adhérence \(\overline{A}\) rassemble les limites des suites de points de \(A\) ; c’est aussi le fermé minimal qui englobe \(A\). On appelle frontière l’ensemble \(\mathrm{Fr}(A)=\overline{A}\setminus\mathring{A}\).

Considérons le demi-disque \(A=\{(x,y) : x^2+y^2<4,\ x\geqslant 0\}\). L’ensemble \(\{x^2+y^2<4,\ x>0\}\) est ouvert et inclus dans \(A\), donc il est inclus dans l’intérieur. En revanche, un point \((0,y)\) de \(A\) n’est pas intérieur, car les points \((-1/k,y)\) sont hors de \(A\). Ainsi, \(\mathring{A}=\{x^2+y^2<4,\ x>0\}\). De même, on obtient \(\overline{A}=\{x^2+y^2\leqslant4,\ x\geqslant0\}\). La frontière est donc la réunion du demi-cercle de rayon 2 et du segment vertical \(\{0\}\times[-2,2]\).

Pour prouver qu’une partie est ouverte ou fermée :

1. Chercher d’abord une écriture \(A=f^{-1}(V)\), avec \(f\) continue et \(V\) ouvert (ou fermé) de \(\mathbb{R}\). C’est la méthode la plus rapide, justifiée dans la partie 5.
2. Sinon, pour un ouvert, fixer \(a\in A\) et construire un rayon \(r\) explicite tel que \(B(a,r)\subset A\).
3. Pour un fermé, prendre une suite de \(A\) qui converge et montrer que sa limite reste dans \(A\).
4. Pour une réponse négative, exhiber un point sans boule incluse, ou une suite qui converge hors de \(A\).

On appelle compacte une partie \(K\) dans laquelle chaque suite possède une sous-suite convergente dont la limite reste dans \(K\).

Bolzano-Weierstrass : de toute suite bornée de \(\mathbb{R}^n\), on peut tirer une sous-suite convergente. On en déduit que les compacts de \(\mathbb{R}^n\) sont exactement les parties à la fois fermées et bornées.

Pour la première affirmation, on extrait successivement. D’abord, les premières coordonnées forment une suite réelle bornée, dont on tire une sous-suite convergente. Ensuite, on extrait de nouveau pour la deuxième coordonnée, et ainsi de suite \(n\) fois. Une sous-suite d’une suite convergente converge encore, donc toutes les coordonnées finissent par converger.

Pour la caractérisation, supposons \(K\) fermé et borné. Une suite de \(K\) est bornée, donc elle admet une sous-suite convergente, et la limite reste dans \(K\) car \(K\) est fermé. Réciproquement, si \(K\) n’est pas borné, on choisit \(u_k\in K\) avec \(\|u_k\|\geqslant k\) : aucune sous-suite ne converge. Enfin, si \(K\) n’est pas fermé, une suite de \(K\) converge vers un point hors de \(K\), et toutes ses sous-suites aussi.

Soit \(K=\{(x,y,z) : x^2+y^2\leqslant z\leqslant 2\}\). D’une part, \(K\) est l’intersection des images réciproques de \([0,+\infty[\) par \((x,y,z)\mapsto z-x^2-y^2\) et de \(]-\infty,2]\) par \((x,y,z)\mapsto z\). Ces deux fonctions sont continues, donc \(K\) est fermé. D’autre part, tout point de \(K\) vérifie \(0\leqslant z\leqslant2\) et \(x^2+y^2\leqslant2\). Par conséquent, \(\|(x,y,z)\|_\infty\leqslant2\), et \(K\) est compact.

Les deux hypothèses sont indispensables. La droite \(\{(t,0)\}\) est fermée mais non bornée : la suite \((k,0)\) n’a aucune sous-suite convergente. Le disque ouvert \(B(0,1)\) est borné mais non fermé : la suite \((1-1/k,0)\) a pour limite \((1,0)\), situé hors du disque.

Soit \(f : A\to\mathbb{R}\) avec \(A\subset\mathbb{R}^2\). Pour un réel \(c\), on appelle ligne de niveau \(c\) de \(f\) la partie \(L_c=\{(x,y)\in A : f(x,y)=c\}\). Une fonction à valeurs dans \(\mathbb{R}^p\) se décrit par ses \(p\) fonctions coordonnées \(f_1,\dots,f_p\).

Soit \(a\) un point adhérent à \(A\). On dit que \(f(x)\) tend vers \(\ell\) quand \(x\) tend vers \(a\) lorsque, à chaque \(\varepsilon>0\), correspond un \(\delta>0\) vérifiant \(\|f(x)-\ell\|<\varepsilon\) dès que \(x\in A\) et \(\|x-a\|<\delta\).

Pour étudier une limite en \((0,0)\) :

1. Tester d’abord quelques chemins : les axes, puis les droites \(y=mx\). Si deux chemins donnent des limites différentes, il n’y a pas de limite.
2. Si tous les chemins donnent la même valeur \(\ell\), chercher une majoration \(|f(x,y)-\ell|\leqslant g(r)\), où \(r=\|(x,y)\|_2\) et \(g(r)\to0\).
3. Pour majorer, utiliser \(|x|\leqslant r\), \(|y|\leqslant r\) et \(|xy|\leqslant r^2/2\), ou passer en coordonnées polaires.
4. Si la majoration résiste, essayer des courbes adaptées, comme \(y=x^2\) ou \(y=x^3\).

Soit \(f(x,y)=\dfrac{x^2y+3y^3}{x^2+y^2}\) sur \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\). On factorise : \(f(x,y)=y\cdot\dfrac{x^2+3y^2}{x^2+y^2}\). Le quotient est compris entre 0 et 3, donc \(|f(x,y)|\leqslant3|y|\leqslant3r\). Par conséquent, \(f\) tend vers 0 en \((0,0)\).

Soit \(g(x,y)=\dfrac{x^3y}{x^6+y^2}\) hors de l’origine. Le long de l’axe des abscisses, \(g\) s’annule. Prenons maintenant \(m\neq0\) et la droite \(y=mx\) : on trouve \(g(x,mx)=\dfrac{mx^4}{x^6+m^2x^2}=\dfrac{mx^2}{x^4+m^2}\), qui tend vers 0. Pourtant, sur la courbe \(y=x^3\), \(g(x,x^3)=\dfrac{x^6}{2x^6}=\dfrac12\). Conclusion : aucune limite en \((0,0)\), même si chaque droite fournit la valeur 0.

On dit que \(f : A\to\mathbb{R}^p\) est continue au point \(a\in A\) lorsque \(f(x)\) tend vers \(f(a)\) quand \(x\) tend vers \(a\). La continuité sur \(A\) signifie la continuité en tout point de \(A\).

Les projections \((x_1,\dots,x_n)\mapsto x_i\) sont continues. Additionner, multiplier ou composer des fonctions continues donne encore une fonction continue ; diviser aussi, tant que le dénominateur ne s’annule pas. En particulier, toute fonction polynomiale en \(x_1,\dots,x_n\) est continue sur \(\mathbb{R}^n\). Enfin, une fonction à valeurs dans \(\mathbb{R}^p\) est continue exactement quand ses \(p\) composantes le sont.

Si \(f : \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p\) est continue, l’image réciproque d’un ouvert est un ouvert, et l’image réciproque d’un fermé est un fermé.

Traitons les fermés par la caractérisation séquentielle. Prenons un fermé \(F\) et une suite \((u_k)\) de \(f^{-1}(F)\) de limite \(\ell\). La continuité donne \(f(u_k)\to f(\ell)\). Comme les \(f(u_k)\) restent dans le fermé \(F\), leur limite \(f(\ell)\) y reste aussi. Ainsi, \(\ell\in f^{-1}(F)\). Le cas des ouverts s’en déduit par passage au complémentaire.

Soit \(h(x,y)=\dfrac{x^4-y^4}{x^2+y^2}\) pour \((x,y)\neq(0,0)\) et \(h(0,0)=0\). Hors de l’origine, \(h\) est un quotient de polynômes à dénominateur non nul, donc elle est continue. De plus, \(x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)\). Ainsi, \(h(x,y)=x^2-y^2\) hors de l’origine, et cette formule reste vraie en \((0,0)\). Par conséquent, \(h\) coïncide avec un polynôme : elle est continue sur \(\mathbb{R}^2\).

L’image d’un compact par une fonction continue est un compact. En particulier, toute fonction réelle continue \(f\) définie sur un compact non vide \(K\) possède un maximum et un minimum.

Soit \((v_k)\) une suite de \(f(K)\), avec \(v_k=f(u_k)\) et \(u_k\in K\). Le compact \(K\) fournit une extraction \((u_{\varphi(k)})\) de limite \(\ell\in K\). La continuité de \(f\) entraîne alors \(v_{\varphi(k)}\to f(\ell)\), qui appartient à \(f(K)\). Donc \(f(K)\) est compact. Lorsque \(p=1\), \(f(K)\) est une partie fermée, bornée et non vide de \(\mathbb{R}\). Elle possède donc un plus grand et un plus petit élément.

Notons \(e_1,\dots,e_n\) la base canonique et \(\beta=\sum N(e_i)\). L’inégalité triangulaire donne \(N(x)\leqslant\sum|x_i|N(e_i)\leqslant\beta\|x\|_\infty\). On en déduit \(|N(x)-N(y)|\leqslant N(x-y)\leqslant\beta\|x-y\|_\infty\). Ainsi, \(N\) est continue pour la norme infinie. Or la sphère \(S=\{\|x\|_\infty=1\}\) forme un compact, puisqu’elle est à la fois fermée et bornée. Le théorème fournit alors un point \(x_0\in S\) où \(N\) est minimale, et \(\alpha=N(x_0)\) est strictement positif car \(x_0\neq0\). Pour conclure, on applique cette minoration au vecteur \(x/\|x\|_\infty\), qui appartient à \(S\) dès que \(x\neq0\). Par homogénéité, \(N(x)\geqslant\alpha\|x\|_\infty\).

Cherchons le maximum de \(f(x,y)=x+2y\) sur l’ellipse pleine \(K=\{x^2+4y^2\leqslant4\}\). D’abord, \(K\) est fermé et borné, donc compact, et \(f\) est continue : le maximum existe. Ensuite, \(f\) est linéaire et non nulle, donc ce maximum est atteint au bord. En effet, si \(p\) est intérieur, \(f(p+t(1,2))=f(p)+5t\) dépasse \(f(p)\) pour \(t>0\) petit. On paramètre le bord par \(x=2\cos t\), \(y=\sin t\). Alors \(f=2\cos t+2\sin t=2\sqrt2\cos(t-\pi/4)\). Par conséquent, le maximum vaut \(2\sqrt2\), atteint en \((\sqrt2,\sqrt2/2)\).

Si le domaine n’est pas borné, on se ramène souvent à un compact. Par exemple, pour minimiser une distance à un fermé, on se restreint à son intersection avec une boule fermée assez grande.

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