Séries positives, Riemann, Bertrand en L2 de maths : cours et méthodes
Ce cours ouvre le semestre 3 par l’étude des séries positives L2. Nous partons des sommes partielles et du reste, puis nous construisons un à un les critères de convergence à partir d’un seul principe : une suite croissante et majorée converge.
Viennent ensuite les théorèmes de comparaison, les séries de Riemann et les séries de Bertrand, toutes démontrées grâce à la comparaison série-intégrale. Les règles de d’Alembert et de Cauchy traitent les factorielles et les puissances n-ièmes. Enfin, la sommation des relations de comparaison donne des équivalents de sommes partielles et de restes.
Chaque résultat est accompagné de sa preuve commentée, d’une méthode en étapes et d’un contre-exemple qui en marque les limites. Ce chapitre sert ensuite aux séries alternées, aux intégrales impropres et aux séries entières.
Ce que vous saurez faire
- Manipuler sommes partielles et restes, et reconnaître une divergence grossière au premier coup d’œil.
- Calculer la somme d’une série géométrique ou télescopique.
- Décider de la nature d’une série positive par majoration, par équivalent ou par une règle de quotient ou de racine.
- Comparer une série à une série de Riemann ou de Bertrand, en choisissant le bon exposant.
- Encadrer une somme partielle ou un reste par des intégrales.
- Obtenir un équivalent de sommes partielles ou de restes grâce à la sommation des relations de comparaison.
1. Le vocabulaire des séries numériques
Une série n’est pas une somme infinie posée d’emblée. C’est d’abord une suite, celle des sommes partielles. Ce point de vue évite bien des erreurs : toute question de convergence se ramène à une question sur une suite, que l’on sait traiter depuis la première année.
1.1 Sommes partielles, somme et reste
Soit \((u_n)_{n \geq n_0}\) une suite réelle. La série de terme général \(u_n\), notée \(\sum u_n\), est la suite des sommes partielles
\[S_N = \sum_{n=n_0}^{N} u_n, \qquad N \geq n_0.\]
La série converge si \((S_N)\) a une limite finie \(S\), appelée sa somme et notée \(\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n\). Dans ce cas, le reste d’ordre \(N\) est \(R_N = S – S_N = \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n\), et il tend vers \(0\). Sinon, la série diverge.
La nature d’une série ne dépend pas de ses premiers termes. En effet, modifier un nombre fini de termes décale toutes les sommes partielles, à partir d’un certain rang, d’une même constante. En revanche, la valeur de la somme change. Ainsi, nous écrirons souvent \(\sum u_n\) sans préciser l’indice de départ quand seule la nature compte.
1.2 Divergence grossière
Si la série \(\sum u_n\) converge, alors \(u_n \to 0\). Par contraposée, une série dont le terme général ne tend pas vers \(0\) diverge ; on dit qu’elle diverge grossièrement.
Pour \(N > n_0\), on a \(u_N = S_N – S_{N-1}\). Si \((S_N)\) tend vers \(S\), la suite décalée \((S_{N-1})\) aussi. La différence tend donc vers \(S – S = 0\).
La réciproque est fausse. Prenons \(u_n = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \ln(n+1) – \ln n\), qui tend vers \(0\). Les termes se compensent deux à deux et \(S_N = \ln(N+1)\). Cette somme partielle tend vers \(+\infty\) : la série diverge, bien que son terme général tende vers \(0\).
Piège à éviter :
Le test \(u_n \to 0\) ne sert qu’à réfuter. Une copie qui écrit « \(u_n \to 0\), donc la série converge » perd tous les points de la question. Ce test se fait en premier, mais il ne conclut jamais à la convergence.
1.3 Séries géométriques et télescopiques
Deux familles de séries se somment explicitement. Elles servent ensuite d’étalons pour toutes les comparaisons.
Soit \(q\) un réel. La série géométrique \(\sum_{n \geq 0} q^n\) converge si et seulement si \(|q| < 1\), et alors
\[\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}.\]
Par ailleurs, si \(u_n = a_{n+1} – a_n\), la série télescopique \(\sum u_n\) a même nature que la suite \((a_n)\). En cas de convergence, \(\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n = \lim a_n – a_{n_0}\).
Pour la série géométrique, la somme partielle vaut \(\frac{1-q^{N+1}}{1-q}\) lorsque \(q \neq 1\). Sa limite existe exactement quand \(q^{N+1}\) en possède une finie, donc pour \(|q| < 1\). Dès que \(|q| \geq 1\), on a \(|q^n| \geq 1\), et la série diverge grossièrement.
Calculons \(\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n(n+2)}\). D’abord, une décomposition en éléments simples donne
\[\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+2}\right).\]
Ensuite, dans la somme partielle, les termes se compensent avec un décalage de deux rangs. Il reste \(S_N = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{N+1} – \frac{1}{N+2}\right)\). Par conséquent, la série converge et sa somme vaut \(\frac{3}{4}\).
2. Séries positives : majoration, comparaison, équivalence
Dans toute la suite, sauf mention contraire, les termes sont positifs à partir d’un certain rang. Cette hypothèse change tout : la suite des sommes partielles devient croissante, et le théorème de la limite monotone s’applique.
2.1 Le critère des sommes partielles majorées
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs. Pour qu’elle converge, il faut et il suffit qu’un même réel \(M\) majore toutes ses sommes partielles. Lorsqu’aucun tel \(M\) n’existe, \(S_N\) tend vers \(+\infty\).
Comme \(S_{N+1} – S_N = u_{N+1} \geq 0\), la suite \((S_N)\) croît. Une suite croissante et majorée converge ; une suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\). Enfin, une suite convergente est bornée, ce qui donne l’autre sens.
Ce théorème est la source de tous les critères qui suivent. Il réduit la convergence à une simple majoration, souvent obtenue en comparant les termes un à un.
2.2 Théorèmes de comparaison
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries telles que \(0 \leq u_n \leq v_n\) à partir d’un certain rang.
- Si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge.
- Si \(\sum u_n\) diverge, alors \(\sum v_n\) diverge.
Quitte à oublier les premiers termes, l’inégalité vaut pour tout \(n\). Les sommes partielles vérifient alors \(\sum_{n \leq N} u_n \leq \sum_{n \leq N} v_n \leq \sum_{n=n_0}^{+\infty} v_n\) dans le premier cas. Elles sont donc majorées, et le critère précédent conclut. Le second point est la contraposée du premier.
En pratique, les inégalités exactes sont rares. Nous utilisons plutôt les relations de comparaison de la première année : domination, négligeabilité et équivalence.
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) positives à partir d’un certain rang.
- Si \(u_n = O(v_n)\), ou si \(u_n = o(v_n)\), et si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge.
- Si \(u_n \sim v_n\), les deux séries ont la même nature.
Si \(u_n = O(v_n)\), il existe \(C > 0\) avec \(u_n \leq C v_n\) pour \(n\) grand. La série \(\sum C v_n\) converge, d’où le résultat par comparaison. Le cas \(o\) est un cas particulier. Pour l’équivalence, \(\frac{u_n}{v_n} \to 1\) donne, pour \(n\) assez grand, l’encadrement \(\frac{v_n}{2} \leq u_n \leq \frac{3 v_n}{2}\). On applique alors la comparaison dans les deux sens.
Pour étudier une série positive \(\sum u_n\) :
- vérifier que \(u_n \to 0\), sinon conclure à la divergence grossière ;
- chercher un équivalent simple de \(u_n\), à l’aide des développements limités usuels ;
- comparer cet équivalent à une série de référence : géométrique, Riemann ou Bertrand ;
- si aucun équivalent simple n’apparaît, tenter une majoration, ou une règle de quotient.
Étudions \(u_n = \frac{n+3}{n^3 + 2n}\) pour \(n \geq 1\). Le numérateur est équivalent à \(n\) et le dénominateur à \(n^3\). Donc \(u_n \sim \frac{1}{n^2}\), et \(u_n\) est positif.
Ensuite, on montrera dans la partie 3 que \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge. Les deux séries ayant même nature, \(\sum u_n\) converge. Remarquons que la somme exacte reste inconnue : la méthode donne la nature, pas la valeur.
Piège à éviter :
Le critère d’équivalence exige un signe constant. Pour des termes de signe variable, deux suites équivalentes peuvent fournir des séries de natures différentes. Ce phénomène relève de la semi-convergence, étudiée au chapitre suivant. Ainsi, avant d’écrire « par équivalence », on vérifie toujours la positivité.
3. Comparaison série-intégrale et séries de Riemann
3.1 Encadrer une somme par des intégrales
Lorsque \(u_n = f(n)\) pour une fonction \(f\) monotone, chaque terme se compare à l’aire sous la courbe sur un intervalle de longueur \(1\). Cette idée fournit à la fois des critères de convergence et des estimations précises.
Soit \(f\) continue, positive et décroissante sur \([n_0, +\infty[\). Pour tout entier \(k \geq n_0 + 1\),
\[\int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \leq f(k) \leq \int_{k-1}^{k} f(t)\,\mathrm{d}t.\]
En particulier, \(\sum f(n)\) et la suite des intégrales \(\int_{n_0}^{N} f(t)\,\mathrm{d}t\) sont simultanément bornées ou non : la série converge exactement lorsque ces intégrales restent bornées.
Pour \(t \in [k, k+1]\), la décroissance donne \(f(t) \leq f(k)\). On intègre sur cet intervalle de longueur \(1\) : on obtient l’inégalité de gauche. De même, pour \(t \in [k-1, k]\), on a \(f(k) \leq f(t)\), d’où celle de droite.
Sommons ensuite l’inégalité de droite pour \(k\) allant de \(n_0+1\) à \(N\). Il vient \(S_N – f(n_0) \leq \int_{n_0}^{N} f\). Ainsi, si les intégrales sont majorées, les sommes partielles aussi. Réciproquement, l’inégalité de gauche sommée donne \(\int_{n_0+1}^{N+1} f \leq S_N\), ce qui transmet la majoration dans l’autre sens.
La figure montre les deux familles de rectangles. Les rectangles verts restent sous la courbe ; les rectangles orangés la dépassent. La somme des termes est donc prise en sandwich entre deux aires.
3.2 Le théorème des séries de Riemann
Soit \(\alpha\) un réel. La série de Riemann \(\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\).
Lorsque \(\alpha \leq 0\), on a \(n^{-\alpha} \geq 1\) pour tout \(n\) : la série diverge grossièrement. Supposons donc \(\alpha > 0\). La fonction \(t \mapsto t^{-\alpha}\) est alors continue, positive et décroissante sur \([1, +\infty[\).
Pour \(\alpha > 1\), on calcule \(\int_1^N t^{-\alpha}\,\mathrm{d}t = \frac{1 – N^{1-\alpha}}{\alpha – 1}\). Cette quantité reste inférieure à \(\frac{1}{\alpha-1}\) : la série converge. Pour \(\alpha = 1\), l’intégrale vaut \(\ln N\), qui n’est pas majorée. Enfin, pour \(0 < \alpha < 1\), elle vaut \(\frac{N^{1-\alpha} – 1}{1-\alpha}\), qui tend vers \(+\infty\). Dans ces deux derniers cas, la série diverge.
Le cas \(\alpha = 1\) donne la série harmonique. L’encadrement de la partie 3.1 fournit même \(\ln(N+1) \leq H_N \leq 1 + \ln N\), avec \(H_N = \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}\). On en déduit l’équivalent \(H_N \sim \ln N\), très utile dans la suite.
Sur cette figure, la courbe pour \(\alpha = 2\) se stabilise vite près de \(\frac{\pi^2}{6}\). Celle pour \(\alpha = 1\) monte très lentement, comme un logarithme ; pourtant, elle dépasse toute borne. Celle pour \(\alpha = \frac{1}{2}\) croît nettement, comme \(2\sqrt{N}\).
3.3 Estimer un reste
Estimons le reste \(R_N = \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}\). On somme l’encadrement de 3.1 pour \(k\) allant de \(N+1\) à l’infini, avec \(f(t) = t^{-4}\) :
\[\frac{1}{3(N+1)^3} = \int_{N+1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^4} \leq R_N \leq \int_{N}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^4} = \frac{1}{3N^3}.\]
Les deux bornes sont équivalentes à \(\frac{1}{3N^3}\). Par encadrement, \(R_N \sim \frac{1}{3N^3}\). Par exemple, pour \(N = 10\), l’erreur commise en tronquant la somme est inférieure à \(3{,}4 \times 10^{-4}\).
- Vérifier que \(u_n = f(n)\) avec \(f\) continue, positive et monotone, au moins à partir d’un rang.
- Écrire l’encadrement de \(f(k)\) par deux intégrales sur \([k-1,k]\) et \([k,k+1]\).
- Sommer sur les bons indices : de \(1\) à \(N\) pour une somme partielle, de \(N+1\) à l’infini pour un reste.
- Calculer les intégrales, puis conclure par encadrement à un équivalent.
4. Les séries de Bertrand
Les séries de Riemann laissent un vide autour de \(\alpha = 1\). Que dire de \(\sum \frac{1}{n \ln n}\), qui décroît un peu plus vite que la série harmonique ? Les séries de Bertrand comblent ce vide en insérant une puissance du logarithme.
4.1 Énoncé et preuve
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels. La série de Bertrand
\[\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n^{\alpha} (\ln n)^{\beta}}\]
converge si et seulement si \(\alpha > 1\), ou bien \(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\).
Notons \(u_n\) le terme général. Cas \(\alpha > 1\). Choisissons \(\gamma = \frac{1+\alpha}{2}\), strictement compris entre \(1\) et \(\alpha\). Alors \(n^{\gamma} u_n = \frac{n^{\gamma – \alpha}}{(\ln n)^{\beta}}\) tend vers \(0\) par croissances comparées, car \(\gamma – \alpha < 0\). Ainsi \(u_n = o\left(\frac{1}{n^{\gamma}}\right)\), et la série converge par comparaison à une série de Riemann.
Cas \(\alpha < 1\). Cette fois, \(n u_n = \frac{n^{1-\alpha}}{(\ln n)^{\beta}}\) tend vers \(+\infty\). Donc \(u_n \geq \frac{1}{n}\) pour \(n\) assez grand, et la série diverge.
Cas \(\alpha = 1\). Si \(\beta \leq 0\), on a \(u_n \geq \frac{1}{n}\) dès que \(\ln n \geq 1\) : divergence. Si \(\beta > 0\), la fonction \(f(t) = \frac{1}{t (\ln t)^{\beta}}\) est continue et positive sur \([2, +\infty[\). Elle y décroît, puisque son dénominateur \(t(\ln t)^{\beta}\) croît. Une primitive est \(\frac{(\ln t)^{1-\beta}}{1-\beta}\) si \(\beta \neq 1\), et \(\ln(\ln t)\) si \(\beta = 1\). Elle est majorée sur \([2,+\infty[\) exactement lorsque \(\beta > 1\). La comparaison série-intégrale conclut.
La figure compare deux séries de Bertrand voisines. Celle de terme \(\frac{1}{k \ln k}\) diverge, mais ses sommes partielles croissent comme \(\ln(\ln n)\) : elles dépassent à peine \(3\) au rang cent mille. À l’œil, rien ne la distingue d’une série convergente.
Remarque :
Cette lenteur explique pourquoi un calcul numérique ne prouve jamais une convergence. Seul un argument de majoration ou de comparaison permet de conclure.
4.2 La règle des puissances de n
Pour comparer une série positive à une série de Riemann sans équivalent exact :
- si l’on devine la convergence, chercher \(\gamma > 1\) tel que \(n^{\gamma} u_n \to 0\) ; alors \(u_n = o\left(\frac{1}{n^{\gamma}}\right)\) et la série converge ;
- si l’on devine la divergence, montrer que \(n u_n \to +\infty\) ; alors \(u_n \geq \frac{1}{n}\) à partir d’un rang ;
- pour un logarithme isolé avec la puissance \(1\) de \(n\), revenir à la comparaison série-intégrale.
Considérons \(u_n = \frac{\ln n}{n^{3/2}}\). Le logarithme empêche un équivalent de Riemann. Choisissons alors un exposant intermédiaire, \(\gamma = \frac{5}{4}\). On obtient \(n^{5/4} u_n = \frac{\ln n}{n^{1/4}}\), qui tend vers \(0\). Par conséquent, \(\sum u_n\) converge.
À l’inverse, pour \(v_n = \frac{1}{\sqrt{n}\,\ln n}\), on a \(n v_n = \frac{\sqrt{n}}{\ln n} \to +\infty\). La série \(\sum v_n\) diverge donc.
5. Les règles de d’Alembert et de Cauchy
Quand le terme général contient des factorielles ou des puissances \(n\)-ièmes, les équivalents deviennent pénibles. On compare alors directement à une série géométrique, à travers le quotient de deux termes consécutifs ou à travers la racine \(n\)-ième.
5.1 La règle de d’Alembert
Soit \((u_n)\) strictement positive telle que \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell \in [0, +\infty]\).
- Si \(\ell < 1\), la série \(\sum u_n\) converge.
- Si \(\ell > 1\), elle diverge grossièrement.
- Si \(\ell = 1\), on ne peut rien conclure en général.
Supposons \(\ell < 1\) et posons \(q = \frac{1+\ell}{2}\), de sorte que \(\ell < q < 1\). Il existe un rang \(N\) à partir duquel \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq q\). En multipliant ces inégalités, on obtient \(u_n \leq u_N q^{n-N}\) pour \(n \geq N\). La série géométrique de raison \(q\) converge, donc \(\sum u_n\) aussi.
Supposons maintenant \(\ell > 1\). À partir d’un rang, \(u_{n+1} \geq u_n\) : la suite croît et reste supérieure à un terme strictement positif. Elle ne tend donc pas vers \(0\).
Soit \(u_n = \frac{2^n\, n!}{n^n}\). Le quotient se simplifie bien :
\[\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2 (n+1)\, n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{2}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}.\]
Or \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\). Le quotient tend donc vers \(\frac{2}{e} < 1\), et la série converge. Notons que, si l’on remplace \(2\) par \(3\), la limite devient \(\frac{3}{e} > 1\) et la série diverge.
5.2 La règle de Cauchy
Supposons \(u_n \geq 0\) et \(u_n^{1/n}\) de limite \(\ell\), finie ou égale à \(+\infty\). Une limite \(\ell < 1\) entraîne la convergence de \(\sum u_n\). Une limite \(\ell > 1\) entraîne une divergence grossière. Enfin, la valeur \(\ell = 1\) laisse la question ouverte.
La preuve suit le même schéma. Avec \(q = \frac{1+\ell}{2}\), on a \(u_n \leq q^n\) à partir d’un rang lorsque \(\ell < 1\). De même, \(u_n \geq 1\) à partir d’un rang lorsque \(\ell > 1\).
Pour \(n \geq 4\), posons \(u_n = \left(1 – \frac{3}{n}\right)^{n^2}\). Sa racine \(n\)-ième vaut \(\left(1 – \frac{3}{n}\right)^n = \exp\left(n \ln\left(1 – \frac{3}{n}\right)\right)\). Comme \(n \ln\left(1 – \frac{3}{n}\right) \to -3\), la racine tend vers \(e^{-3} < 1\). La série converge.
Pour \(u_n = \frac{1}{n}\) comme pour \(u_n = \frac{1}{n^2}\), le quotient et la racine \(n\)-ième tendent vers \(1\). Pourtant, la première série diverge et la seconde converge. Le cas limite \(\ell = 1\) est donc réellement indécis : il faut alors une comparaison plus fine, par exemple de Riemann.
6. Sommation des relations de comparaison
Jusqu’ici, nous avons seulement décidé si une série converge. Souvent, on veut davantage : la vitesse à laquelle les sommes partielles explosent, ou à laquelle le reste s’annule. La sommation des relations de comparaison transporte une relation entre termes généraux vers une relation entre sommes.
6.1 Énoncé et preuve
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites positives. On note \(U_n\), \(V_n\) les sommes partielles jusqu’au rang \(n\).
- Si \(\sum v_n\) diverge et si \(u_n = o(v_n)\), alors \(U_n = o(V_n)\). Si \(u_n \sim v_n\), alors \(U_n \sim V_n\).
- Si \(\sum v_n\) converge et si \(u_n = o(v_n)\), alors les restes vérifient \(\sum_{k>n} u_k = o\left(\sum_{k>n} v_k\right)\). Si \(u_n \sim v_n\), les restes sont équivalents.
Traitons le cas divergent avec \(o\). Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe \(N\) tel que \(u_k \leq \varepsilon v_k\) pour \(k > N\). En sommant, \(U_n \leq U_N + \varepsilon V_n\) pour \(n > N\). Comme \(V_n \to +\infty\), le nombre fixe \(U_N\) est inférieur à \(\varepsilon V_n\) pour \(n\) grand. Ainsi \(U_n \leq 2\varepsilon V_n\) à partir d’un rang, ce qui signifie \(U_n = o(V_n)\).
Pour l’équivalence, on écrit \(|u_n – v_n| = o(v_n)\). Le point précédent, appliqué à la suite positive \(|u_n – v_n|\), donne \(|U_n – V_n| \leq \sum_{k \leq n} |u_k – v_k| = o(V_n)\). Donc \(U_n \sim V_n\). Le cas convergent se traite de la même façon, en sommant de \(n+1\) à l’infini, sans terme fixe à absorber.
Piège à éviter :
Dans le cas divergent, on somme les débuts ; dans le cas convergent, on somme les restes. Écrire que les sommes partielles de deux séries convergentes équivalentes sont équivalentes n’apporte rien : elles tendent vers deux limites finies, en général différentes.
6.2 Deux applications
Cherchons un équivalent de \(T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+1}\). D’abord, \(\frac{1}{2k+1} \sim \frac{1}{2k}\), et ces termes sont positifs. Ensuite, la série \(\sum \frac{1}{2k}\) diverge, et ses sommes partielles valent \(\frac{1}{2} H_n \sim \frac{1}{2} \ln n\). Par sommation des équivalents, \(T_n \sim \frac{1}{2}\ln n\).
Cherchons maintenant un équivalent du reste \(\rho_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2 + \sqrt{k}}\). Le terme est équivalent à \(\frac{1}{k^2}\), terme positif d’une série convergente. Les restes sont donc équivalents. Or la comparaison série-intégrale donne \(\frac{1}{n+1} \leq \sum_{k>n} \frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{n}\). Finalement, \(\rho_n \sim \frac{1}{n}\).
Les erreurs fréquentes
- Conclure à la convergence parce que le terme général tend vers \(0\).
- Utiliser un équivalent sans vérifier que les termes gardent un signe constant.
- Appliquer la règle de d’Alembert quand la limite du quotient vaut \(1\), puis conclure quand même.
- Oublier la monotonie de \(f\) dans la comparaison série-intégrale, ou sommer l’encadrement sur de mauvais indices.
- Croire que \(\sum \frac{1}{n \ln n}\) converge parce que ses sommes partielles semblent stables numériquement.
- Sommer des équivalents de sommes partielles pour deux séries convergentes, au lieu de sommer les restes.
Fiche mémo
- Une série converge si ses sommes partielles ont une limite finie ; son reste tend alors vers \(0\).
- Terme général qui ne tend pas vers \(0\) : divergence grossière.
- Géométrique : convergence si et seulement si \(|q| < 1\), de somme \(\frac{1}{1-q}\) à partir du rang \(0\).
- Série positive : ses sommes partielles croissent ; elle converge dès qu’elles restent bornées.
- Termes positifs équivalents : même nature ; un \(O\) d’un terme de série convergente converge.
- Riemann : \(\sum \frac{1}{n^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\).
- Bertrand : \(\sum \frac{1}{n^{\alpha}(\ln n)^{\beta}}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\), ou \(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\).
- Série-intégrale : \(\int_k^{k+1} f \leq f(k) \leq \int_{k-1}^k f\) pour \(f\) décroissante positive.
- D’Alembert et Cauchy : limite \(\ell < 1\) converge, \(\ell > 1\) diverge, \(\ell = 1\) ne conclut pas.
- Sommation : sommes partielles si la série diverge, restes si elle converge.
Questions fréquentes
Comment savoir à quelle série de Riemann comparer ?
Cherchez un équivalent du terme général sous la forme C/n^a, en utilisant les développements limités usuels. L’exposant a vous donne la série de comparaison. Si un logarithme subsiste, encadrez-le entre deux puissances de n avec la règle des puissances, ou passez à une série de Bertrand.
La règle de d'Alembert suffit-elle pour toutes les séries ?
Non, elle échoue dès que le quotient tend vers 1, ce qui arrive pour toutes les fractions rationnelles en n. Elle est surtout efficace avec des factorielles ou des puissances n-ièmes. Dans le cas limite, une comparaison à une série de Riemann reste nécessaire.
Faut-il connaître les séries de Bertrand par cœur ?
Oui, leur critère se cite comme un résultat du cours en L2. Il est toutefois prudent de savoir le redémontrer, car certains sujets demandent la preuve du cas où la puissance de n vaut 1. Elle tient en quelques lignes grâce à la comparaison série-intégrale.
Pour aller plus loin
- S’exercer : exercices corrigés de L2 de maths sur séries positives, Riemann, Bertrand
- Chapitre d’après : Convergence absolue, séries alternées et Abel
- Vérifier ses acquis : QCM de L2 de maths sur séries positives, Riemann, Bertrand
- Contrôle corrigé en temps limité : Séries de Bertrand et comparaisons : contrôle de maths en L2
- Tous les chapitres : le sommaire de la L2 de maths
- Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3
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